Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-১ হতে [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, [গণিত] [বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] দ্বারা ভাগ করে] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] হলে [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-১ হতে হলে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : y=cos⁡(msin⁡−1x)y=\cos \left(\mathrm{m} \mathrm{\sin}^{-1} \mathrm{x}\right) দৃশ্যকল্প-২ : f(x,y)=x3−2y2−5f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x}^3-2 \mathrm{y}^2-5.

Dhaka · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, ln⁡(2xy)=x+y\ln (2 x y)=x+y বা, ddx(ln⁡(2xy))=ddy(x+y)[x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\ln (2 \mathrm{xy}))=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dy}}(\mathrm{x}+\mathrm{y})[\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, 12xy×2(xdydx+ydxdx)=1+dydx\frac{1}{2 x y} \times 2\left(x \frac{d y}{d x}+y \frac{d x}{d x}\right)=1+\frac{d y}{d x} বা, 1xy(xdydx+y)=1+dydx\frac{1}{x y}\left(x \frac{d y}{d x}+y\right)=1+\frac{d y}{d x} বা, 1ydydx−dydx=1−1x\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}-\frac{d y}{d x}=1-\frac{1}{x} বা, (1y−1)dydx=1−1x\left(\frac{1}{y}-1\right) \frac{d y}{d x}=1-\frac{1}{x} বা, (1−yy)dydx=x−1x\left(\frac{1-y}{y}\right) \frac{d y}{d x}=\frac{x-1}{x} ∴dydx=y(x−1)x(1−y)\therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{y}(\mathrm{x}-1)}{\mathrm{x}(1-\mathrm{y})} নির্ণেয় dydx=y(x−1)x(1−y)\frac{d y}{d x}=\frac{y(x-1)}{x(1-y)} :

উত্তর

দেওয়া আছে, y=cos⁡(msin⁡−1x)\mathrm{y}=\cos \left(\mathrm{m} \sin^{-1} \mathrm{x}\right) বা, dydx=−sin⁡(msin⁡−1x)⋅m1−x2[x\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\sin \left(\mathrm{m} \mathrm{\sin}^{-1} \mathrm{x}\right) \cdot \frac{\mathrm{m}}{\sqrt{1-\mathrm{x}^2}}[\mathrm{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে] বা, (dydx)2=sin⁡2(msin⁡−1x)⋅m21−x2\left(\frac{d y}{d x}\right)^2=\sin^2\left(m \sin^{-1} x\right) \cdot \frac{m^2}{1-x^2} [বর্গ করে] বা, (1−x2)(dydx)2=m2sin⁡2(msin⁡−1x)=m2(1−cos⁡2(msin⁡−1x))=m2(1−y2)\left(1-x^2\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)^2=m^2 \sin^2\left(m \sin^{-1} x\right)=m^2\left(1-\cos^2\left(m \sin^{-1} x\right)\right)=m^2\left(1-y^2\right) বা, (1−x2)×2dydxd2ydx2+(0−2x)(dydx)2=m2(0−2ydydx)\left(1-x^2\right) \times 2 \frac{d y}{d x} \frac{d^2 y}{d x^2}+(0-2 x)\left(\frac{d y}{d x}\right)^2=m^2\left(0-2 y \frac{d y}{d x}\right) বা, (1−x2)d2ydx2−xdydx=−m2y[2dydx\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}=-m^2 y\left[2 \frac{d y}{d x}\right. দ্বারা ভাগ করে] বা, (1−x2)d2ydx2−xdydx+m2y=0\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}+m^2 y=0 এখন, m=3m=3 হলে (1−x2)d2ydx2−xdydx+9y=0\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}+9 y=0. (প্রমাণিত)

উত্তর

উদ্দীপক হতে, f(x,y)=x3−2y2−6f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x}^3-2 \mathrm{y}^2-6 এখন, f(x,y)=0f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0 হলে, x3−2y2−6=0\mathrm{x}^3-2 \mathrm{y}^2-6=0 উভয়পক্ষকে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, 3x2−4ydydx−0=03 x^2-4 y \frac{d y}{d x}-0=0 বা, 4dydx=3x24 \frac{d y}{d x}=3 x^2 বা, dydx=3x24y\frac{d y}{d x}=\frac{3 x^2}{4 y} ∴(2,1)\therefore(2,1) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, m1=dydx=3×224×1=3\mathrm{m}_1=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{3 \times 2^2}{4 \times 1}=3 ∴(2,1)\therefore(2,1) বিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল, m2=−1 m1=−13\mathrm{m}_2=\frac{-1}{\mathrm{~m}_1}=-\frac{1}{3} ∴(2,1)\therefore(2,1) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, y−1=3(x−2)y-1=3(x-2) বা, y−1=3x−6y-1=3 x-6 ∴3x−y−5=0\therefore 3 x-y-5=0 আবার, (2,1)(2,1) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, y−1=−13(x−2)y-1=-\frac{1}{3}(x-2) বা, 3y−3=−x+23 y-3=-x+2 ∴x+3y−5=0\therefore \quad x+3 y-5=0 নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, 3x−y−5=03 \mathrm{x}-\mathrm{y}-5=0 এবং অভিলম্বের সমীকরণ, x+3y−5=0x+3 y-5=0. প্রশ্নটি ত্রুটিপূর্ণ। কারণ (2,1)(2,1) বিন্দু দ্বারা x3−2y2−5=0x^3-2 y^2-5=0 সমীকরণটি সিদ্ধ নয়। এজন্য x3−2y2−6=0x^3-2 y^2-6=0 ধরে সমাধান করা হয়েছে।]
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণDhaka
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন