Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর চরমমান নির্ণয় কর। যেখানে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] উভয়পক্ষকে [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] এর সাপেক্ষে পুনরায় অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] চরম মানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] বা, [গণিত] যখন [গণিত] তখন [গণিত] কিস্তু [গণিত] . অথবা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] সীমার মধ্যে [গণিত] এর কেবল একটি মান পাওয়া যাবে। [গণিত] সীমার মধ্যে x এর কোনো মান এর জন্য [গণিত] সত্য নয়। সুতরাং [গণিত] বিন্দুতে ফাংশনের কোনো চরমমান নেই। আবার, [গণিত] হলে, [গণিত] সুতরাং [গণিত] রিন্দুতে [গণিত] ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। [গণিত] সর্বোচ্চ মান, [গণিত] নির্ণেয় সর্বোচ্চ মান : [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

এর চরমমান নির্ণয় কর। যেখানে, .

উদ্দীপক

f(t)=tan⁡tf(\mathrm{t})=\tan \mathrm{t}

Dinajpur · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, y=xx\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{x}} উভয়পক্ষে ln⁡নিয়েআমরাপাই,ln⁡y=ln⁡xx=xln⁡x\ln নিয়ে আমরা পাই,\ln y=\ln x^x=x \ln x x\mathbf{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, 1ydydx=x ddx(ln⁡x)+ln⁡x ddx(x)\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{dx}}(\ln \mathrm{x})+\ln \mathrm{x} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{dx}}(\mathrm{x}) বা, 1ydydx=x1x+ln⁡x.1\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x} \frac{1}{\mathrm{x}}+\ln \mathrm{x} .1 বা, 1ydydx=16+ln⁡x\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{6}+\ln \mathrm{x} বা, dydx=y(1+ln⁡x)\frac{d y}{d x}=y(1+\ln x) ∴dydx=xx(1+ln⁡x)\therefore \frac{d y}{d x}=x^x(1+\ln x) নির্ণেয় dydx=xx(1+ln⁡x)\frac{d y}{d x}=x^x(1+\ln x)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(t)=tantf(t)= tant ধরি, y=4+2f(x)cos⁡x−3{f(x)}2cos⁡2x\mathrm{y}=4+2 f(\mathrm{x}) \cos \mathrm{x}-3\{f(\mathrm{x})\}^2 \cos^2 \mathrm{x} বা, y=4+2tan⁡xcos⁡x−3tan⁡2xcos⁡2x=⊕4y=4+2 \tan x \cos x-3 \tan^2 x \cos^2 x \stackrel{\oplus}{=} 4 +2sin⁡xcos⁡xcos⁡x−3sin⁡2xcos⁡2xcos⁡2x+2 \frac{\sin x}{\cos x} \cos x-3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cos^2 x বা, y=4+2sin⁡x−3sin⁡2xy=4+2 \sin x-3 \sin^2 x উভয়পক্ষকে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=0+2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x\frac{d y}{d x}=0+2 \cos x-6 \sin x \cos x =2cos⁡x−3.2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡x−3sin⁡2x=2 \cos x-3.2 \sin x \cos x=2 \cos x-3 \sin 2 x xx এর সাপেক্ষে পুনরায় অন্তরীকরণ করে পাই, d2ydx2=−2sin⁡x−3cos⁡2x.2\frac{d^2 y}{d x^2} =-2 \sin x-3 \cos 2 x .2 =−2sin⁡x−6cos⁡2x=−2sin⁡x−6(1−2sin⁡2x)=-2 \sin x-6 \cos 2 x=-2 \sin x-6\left(1-2 \sin^2 x\right) =−2sin⁡x−6+12sin⁡2x=12sin⁡2x−2sin⁡x−6=-2 \sin x-6+12 \sin^2 x=12 \sin^2 x-2 \sin x-6 চরম মানের জন্য, dydx=0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0 বা, 2cos⁡x−3sin⁡2x=02 \cos x-3 \sin 2 x=0 বা, 2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x=02 \cos x-6 \sin x \cos x=0 বা, 2cos⁡x(1−3sin⁡x)=02 \cos x(1-3 \sin x)=0 হয়, cos⁡x=0\cos \mathrm{x}=0 বা, cos⁡x=cos⁡π2\cos x=\cos \frac{\pi}{2} ∴x=π2\therefore x=\frac{\pi}{2} যখন cos⁡x=0\cos x=0 তখন sin⁡x=1\sin x=1 কিস্তু 0<x<π20<\mathrm{x}<\frac{\pi}{2}. অথবা, 1−3sin⁡x=01-3 \sin x=0 বা, sin⁡x=13\sin x=\frac{1}{3} বা, x=sin⁡−113x=\sin^{-1} \frac{1}{3} ∴0<x<π2\therefore 0<x<\frac{\pi}{2} সীমার মধ্যে sin⁡x\sin x এর কেবল একটি মান পাওয়া যাবে। ∴0<x<π2\therefore 0<\mathrm{x}<\frac{\pi}{2} সীমার মধ্যে x এর কোনো মান এর জন্য cos⁡x=0\cos \mathrm{x}=0 সত্য নয়। সুতরাং x=π2x=\frac{\pi}{2} বিন্দুতে ফাংশনের কোনো চরমমান নেই। আবার, sin⁡x=13\sin x=\frac{1}{3} হলে, d2ydx=12(13)2−2(13)−6\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{dx}}=12\left(\frac{1}{3}\right)^2-2\left(\frac{1}{3}\right)-6 =43−23−6=4−2−183=−163<01=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}-6=\frac{4-2-18}{3}=-\frac{16}{3}<01 সুতরাং x=sin⁡−113x=\sin^{-1} \frac{1}{3} রিন্দুতে yy ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বোচ্চ মান, ymax⁡=4+2(13)−3(13)2=4+23=13=12+2−13=133y_{\max }=4+2\left(\frac{1}{3}\right)-3\left(\frac{1}{3}\right)^2=4+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}=\frac{12+2-1}{3}=\frac{13}{3} নির্ণেয় সর্বোচ্চ মান : 133\frac{13}{3}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(t)=xtan⁡tf(\mathrm{t})=x \tan \mathrm{t} ∴x=f(t)=tan⁡t\therefore x=f(t)=\tan t বা, x=tan⁡tx=\tan t বা, t=tan⁡−1xt=\tan^{-1} x এবং y=f(pt)=tan⁡(pt)=tan⁡(ptan⁡−1x)y=f(p t)=\tan (p t)=\tan \left(p \tan^{-1} x\right) উভয়পক্ষকে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y1=sec⁡2(ptan⁡−1x)⋅p1+x2y_1=\sec^2\left(p \tan^{-1} x\right) \cdot \frac{p}{1+x^2} বা, y1={1+tan⁡2(Ptan⁡−1x)}⋅P1+x2\mathrm{y}_1=\left\{1+\tan^2\left(\mathrm{P} \tan^{-1} \mathrm{x}\right)\right\} \cdot \frac{\mathrm{P}}{1+\mathrm{x}^2} [∵sec⁡2θ=1+tan⁡2θ]\left[\because \sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\right] বা, y1=p1+x2(1+tan⁡2(ptan⁡−1x)y_1=\frac{p}{1+x^2}\left(1+\tan^2\left(p \tan^{-1} x\right)\right. বা, y1=p1+x2(1+y2)y_1=\frac{p}{1+x^2}\left(1+y^2\right) বা, (1+x2)y1=p(1+y2)\left(1+x^2\right) y_1=p\left(1+y^2\right) পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকর করে পাই, বা, (1+x2)y2+y1(0+2x)=p(0+2yy1)\left(1+x^2\right) y_2+y_1(0+2 x)=p\left(0+2 y y_1\right) বা, (1+x2)y2+2xy1=2pyy1\left(1+x^2\right) y_2+2 x y_1=2 p y y_1 বা, (1+x2)y2+2xy1−2pyy1=0\left(1+x^2\right) y_2+2 x y_1-2 p y y_1=0 ∴(1+x2)y2+2(x−py)y1=0\therefore\left(1+\mathrm{x}^2\right) \mathrm{y}_2+2(\mathrm{x}-\mathrm{py}) \mathrm{y}_1=0. (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণDinajpur
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন