Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] পুনরায় [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : mcot⁡−1x=cot⁡−1y\mathrm{m} \cot^{-1} \mathrm{x}=\cot^{-1} \mathrm{y} দৃশ্যকল্প-২ : f(x)=x−x2−x3f(\mathrm{x})=\mathrm{x}-\mathrm{x}^2-\mathrm{x}^3.

Barisal · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x2f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^2 ∴f(x+h)=(x+h)2\therefore f(x+h)=(x+h)^2 এখন, lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =lim⁡h→0(x+h)2−x2h=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} =lim⁡h→0x2+2hx+h2−x2h=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^2+2 h x+h^2-x^2}{h} =lim⁡h→02hx+h2h=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{2 h x+h^2}{h} =lim⁡h→0h(2x+h)h=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h(2 x+h)}{h} =lim⁡h→02x+h=2x+0=2x=\lim_{h \rightarrow 0} 2 x+h=2 x+0=2 x নির্ণেয় মান: 2x2x

উত্তর

দেওয়া আছে, mcot⁡−1x=cot⁡−1y\mathrm{m} \cot^{-1} \mathrm{x}=\cot^{-1} \mathrm{y} বা, y=cot⁡(mcot⁡−1x)\mathrm{y}=\cot \left(\mathrm{m} \cot^{-1} \mathrm{x}\right) xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=ddxcot⁡(mcot⁡−1x)\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} \cot \left(m \cot^{-1} x\right) বা, y1=−cosec⁡⁡2(mcot⁡−1x)⋅−m1+x2y_1 =-\operatorname{\cosec}^2\left(m \cot^{-1} x\right) \cdot \frac{-m}{1+x^2} =cosec⁡⁡2(mcot⁡−1x)⋅m1+x2=\operatorname{\cosec}^2\left(m \cot^{-1} x\right) \cdot \frac{m}{1+x^2} =(1+cot⁡2(mcot⁡−1x)⋅m1+x2=(1+\cot^2\left(m \cot^{-1} x\right) \cdot \frac{m}{1+x^2} [∵cosec⁡⁡2θ=1+cot⁡2θ].\left[\because \operatorname{\cosec}^2 \theta=1+\cot^2 \theta\right]. বা, (1+x2)y1=m(1+y2)\left(1+x^2\right) y_1=m\left(1+y^2\right) পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, (1+x2)y2+y1⋅(0+2x)=m(0+2yy1)\left(1+x^2\right) y_2+y_1 \cdot(0+2 x)=m\left(0+2 y y_1\right) বা, (1+x2)y2+2xy1=2myy1\left(1+x^2\right) y_2+2 x y_1=2 m y y_1 বা, (1+x2)y2+2xy1−2myy1=0\left(1+x^2\right) y_2+2 x y_1-2 m y y_1=0 ∴(1+x2)y2−2(my−x)y1=0\therefore\left(1+\mathrm{x}^2\right) \mathrm{y}_2-2(\mathrm{my}-\mathrm{x}) \mathrm{y}_1=0 (প্রমাণিত)

উত্তর

ধরি, y=f(x)=x−x2−x3\mathrm{y}=f(\mathrm{x})=\mathrm{x}-\mathrm{x}^2-\mathrm{x}^3 xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=ddx(x−x2−x3)\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x-x^2-x^3\right) বা, dydx=1−2x−3x2\frac{d y}{d x}=1-2 x-3 x^2 পুনরায় x\mathbf{x} এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, d2ydx2=0−2−6x\frac{d^2 y}{d x^2}=0-2-6 x ∴d2ydx2=−2−6x\therefore \frac{d^2 y}{d x^2}=-2-6 x চরম মানের জন্য, dydx=0\frac{d y}{d x}=0 বা, 1−2x−3x2=01-2 x-3 x^2=0 বা, 3x2+2x−1=03 x^2+2 x-1=0 বা, 3x2+3x−x−1=03 x^2+3 x-x-1=0 বা, 3x(x+1)−1(x+1)=03 x(x+1)-1(x+1)=0 বা, (x+1)(3x−1)=0(x+1)(3 x-1)=0 বা, x=−1,13x=-1, \frac{1}{3} এখন, x=13x=\frac{1}{3} হলে, d2ydx2=−2−6×13=−4<0\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{dx}^2}=-2-6 \times \frac{1}{3}=-4<0 । সুতরাং x=13\mathrm{x}=\frac{1}{3} বিন্দুতে f(x)f(\mathrm{x}) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বোচ্চ মান, ymax =13−(13)2−(13)3y_{\text{max }} =\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}\right)^2-\left(\frac{1}{3}\right)^3 =13−19−127=9−3−127=527=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}-\frac{1}{27}=\frac{9-3-1}{27}=\frac{5}{27} আবার, x=−1x=-1 হলে, d2ydx2=−2−6(−1)=4>0\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{dx}^2}=-2-6(-1)=4>0। সুতরাং x=−1\mathrm{x}=-1 বিন্দুতে f(x)f(\mathrm{x}) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বনিম্ন মান, ymin =−1−(−1)2−(−1)3=−1−1+1=−1y_{\text{min }}=-1-(-1)^2-(-1)^3=-1-1+1=-1 ∴f(x)\therefore f(\mathbf{x}) এর সর্বোচ্চমান ও সর্বনিম্ন মান যথাক্রমে 527\frac{5}{27} এবং - 1।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণBarisal
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন