Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের ফাংশন [গণিত] এর ক্ষেত্রে দেখাও যে, ইহার লঘুমান গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর: ধরি, [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, [গণিত] পুনরায় [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] সুতরাং, [গণিত] বিন্দুতে [গণিত] ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান। [গণিত] লঘুমান [গণিত] যেহেতু, [গণিত] অর্থাৎ, লঘুমান > গুরুমান, সুতরাং, [গণিত] ফাংশনটির লঘুমান গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপকের ফাংশন এর ক্ষেত্রে দেখাও যে, ইহার লঘুমান গুরুমান অপেক্ষা …

উদ্দীপক

f(x)=1+x+1xg(x,y)=y(x−2)(x−3)−x+10\begin{aligned} & f(x)=1+x+\frac{1}{x} \\ & g(x, y)=y(x-2)(x-3)-x+10\end{aligned}

Comilla · 2025

উত্তর

ধরি, y=xcot⁡−1xy=x^{\cot^{-1} x} উভয়পক্ষকে ln⁡\ln নিয়ে পাই, ln⁡y=ln⁡xcot⁡−1x\ln y=\ln x^{\cot^{-1} x} বা, ln⁡y=(cot⁡−1x)ln⁡x\ln y=\left(\cot^{-1} x\right) \ln x বা, ddx(ln⁡y)=ln⁡x⋅ddx(cot⁡−1x)+cot⁡−1xddx(ln⁡x)\frac{d}{d x}(\ln y)=\ln x \cdot \frac{d}{d x}\left(\cot^{-1} x\right)+\cot^{-1} x \frac{d}{d x}(\ln x) বা, 1y⋅dydx=ln⁡x⋅(−11+x2)+cot⁡−1x⋅1x\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}=\ln x \cdot\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)+\cot^{-1} x \cdot \frac{1}{x} বা, 1y⋅dydx=−ln⁡x1+x2+cot⁡−1xx\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}=-\frac{\ln x}{1+x^2}+\frac{\cot^{-1} x}{x} বা, dydx=y(cot⁡−1xx−ln⁡x1+x2)\frac{d y}{d x}=y\left(\frac{\cot^{-1} x}{x}-\frac{\ln x}{1+x^2}\right) ∴dydx=xcot⁡−1x(cot⁡−1xx−ln⁡x1+x2)\therefore \quad \frac{d y}{d x}=x^{\cot^{-1} x}\left(\frac{\cot^{-1} x}{x}-\frac{\ln x}{1+x^2}\right) ∴ddx(xcot⁡−1x)=xcot⁡−1x(cot⁡−1xx−ln⁡x1+x2)\therefore \frac{d}{d x}\left(x^{\cot^{-1} x}\right)=x^{\cot^{-1} x}\left(\frac{\cot^{-1} x}{x}-\frac{\ln x}{1+x^2}\right)

উত্তর

ধরি, y=f(x)=1+x+1x\mathrm{y}=f(\mathrm{x})=1+\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}} xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, বা, dydx=0+1−1x2\frac{d y}{d x}=0+1-\frac{1}{x^2} ∴dydx=1−1x2\therefore \quad \frac{d y}{d x}=1-\frac{1}{x^2} পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে, d2ydx2=0−ddx(x−2)\frac{d^2 y}{d x^2}=0-\frac{d}{d x}\left(x^{-2}\right) বা, d2ydx2=−(−2)x−2−1\frac{d^2 y}{d x^2}=-(-2) x^{-2-1} বা, dydx2=2×x−3\frac{d y}{d x^2}=2 \times x^{-3} ∴d2y dx2=2x3\therefore \quad \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} \mathrm{x}^2}=\frac{2}{\mathrm{x}^3} গুরুমান ও লঘুমানের জন্য, dydx=0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0 বা, 1−1x2=01-\frac{1}{\mathrm{x}^2}=0 বা, 1x2=1\frac{1}{\mathrm{x}^2}=1 বা, x=±1x= \pm 1 এখন, x=−1x=-1 হলে, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{dx}^2}=\frac{2}{(-1}^3}=-2<0 সুতরাং x=−1\mathrm{x}=-1 বিন্দুতে f(x)f(\mathrm{x}) ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান। ∴\therefore গুরুমান =1−1+1−1=−1=1-1+\frac{1}{-1}=-1 আবার, x=1x=1 হলে, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{dx}^2}=\frac{2}{(1}^3}=2>0 সুতরাং, x=2\mathrm{x}=2 বিন্দুতে f(x)f(\mathrm{x}) ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান। ∴\therefore লঘুমান =1+1+11=3=1+1+\frac{1}{1}=3 যেহেতু, 3>−13>-1 অর্থাৎ, লঘুমান > গুরুমান, সুতরাং, f(x)f(x) ফাংশনটির লঘুমান গুরুমান অপেক্ষা বৃহত্তর।

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x,y)=y(x−2)(x−3)−x+10\mathrm{g}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{y}(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)-\mathrm{x}+10 ∴g(x,y)=0\therefore g(x, y)=0 হলে, y(x−2)(x−3)−x+10=0y(x-2)(x-3)-x+10=0 বা, y(x2−5x+6)−x+10=0y\left(x^2-5 x+6\right)-x+10=0 বা, x2y−5xy−x+6y+10=0x^2 y-5 x y-x+6 y+10=0 রেখাটি xx অক্ষকে ছেদ করলে y=0y=0 ∴x3⋅0−5⋅x⋅0−x+6⋅0+10=0\therefore \mathrm{x}^3 \cdot 0-5 \cdot \mathrm{x} \cdot 0-\mathrm{x}+6 \cdot 0+10=0 বা, 0−0−x+0+10=00-0-x+0+10=0 বা, 0−x+10=00-x+10=0 বা, x=10x=10 ∴x\therefore \mathrm{x} অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (10,0)(10,0) এখন, (1) নং কে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, x2⋅dydx+yddx(x2)−5(ydxdx+xdydx)−dxdx+6dydx+ddx(10)=0x^2 \cdot \frac{d y}{d x}+y \frac{d}{d x}\left(x^2\right)-5\left(y \frac{d x}{d x}+x \frac{d y}{d x}\right)-\frac{d x}{d x}+6 \frac{d y}{d x}+\frac{d}{d x}(10)=0 বা, x2dydx+2xy−5y−5xdydx−1+6dydx+0=0x^2 \frac{d y}{d x}+2 x y-5 y-5 x \frac{d y}{d x}-1+6 \frac{d y}{d x}+0=0 বা, (x2−5x+6)dydx=1+5y−2xy\left(x^2-5 x+6\right) \frac{d y}{d x}=1+5 y-2 x y বা, dydx=1+5y−2xyx2−5x+6\frac{d y}{d x}=\frac{1+5 y-2 x y}{x^2-5 x+6} ∴(10,0)\therefore (10,0) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল, m_1=\frac{d y}{d x}=\frac{1+0-0}{10^2-(5 \times 10}+6}=\frac{1}{100-50+6}=\frac{1}{56} এবং (10,0)(10,0) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাঁল, m2=−1 m1=−56\mathrm{m}_2=-\frac{1}{\mathrm{~m}_1}=-56 ∴(10,0)\therefore(10,0) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, y−0=156(x−10)y-0=\frac{1}{56}(x-10) বা, 56y=x−1056 y=x-10 ∴x−56y−10=0\therefore \quad x-56 y-10=0 এবং (10,0)(10,0) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের সমীকরণ, y−0=−56(x−10)y-0=-56(x-10) বা, y=−56x+560y=-56 x+560 ∴56x+y−560=0\therefore \quad 56 x+y-560=0 নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, x−56y−10=0x-56 y-10=0 এবং অভিলম্বের সমীকরণ 56x+y−560=056 x+y-560=0.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণComilla
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন