Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] পুনরায় [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . [প্রমাণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

হলে, প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: g(x)=epxsin⁡qx\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{px}} \sin \mathrm{qx} দৃশ্যকল্প-২ : f(x)=13x3+12x2−6x+8f(x)=\frac{1}{3} x^3+\frac{1}{2} x^2-6 x+8.

Jessore · 2025

উত্তর

tan⁡−11−x1+x=tan⁡−11−x1+1⋅x\tan^{-1} \frac{1-x}{1+x}=\tan^{-1} \frac{1-x}{1+1 \cdot x} =tan⁡−1(1)−tan⁡−1(x)=\tan^{-1}(1)-\tan^{-1}(x) =π4−tan⁡−1x=\frac{\pi}{4}-\tan^{-1} x [∵tan⁡−1A−tan⁡−1B=tan⁡−1A−B1−AB]\left[\because \tan^{-1} A-\tan^{-1} B=\tan^{-1} \frac{A-B}{1-A B}\right] ∴ddx(tan⁡−11−x1+x)\therefore \frac{d}{d x}\left(\tan^{-1} \frac{1-x}{1+x}\right) =ddx(π4−tan⁡−1x)=\frac{d}{d x}\left(\frac{\pi}{4}-\tan^{-1} x\right) =ddx(π4)−ddxtan⁡−1x=\frac{d}{d x}\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{d}{d x} \tan^{-1} x =0−11+x2=−11+x2=0-\frac{1}{1+x^2}=-\frac{1}{1+x^2} নির্ণেয় অন্তরজ : −11+x2-\frac{1}{1+\mathrm{x}^2}

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=epxsin⁡qxg(x)=e^{p x} \sin q x এবং y=g(x)y=g(x) ∴y=g(x)=epxsin⁡qx\therefore y=g(x)=e^{p x} \sin q x xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y1=sin⁡qx⋅ddx(epx)+epx⋅ddx(sin⁡qx)y_1 =\sin q x \cdot \frac{d}{d x}\left(e^{p x}\right)+e^{p x} \cdot \frac{d}{d x}(\sin q x) =pepxsin⁡qx+qepxcos⁡qx=epx(psin⁡qx+qcos⁡qx)=p e^{p x} \sin q x+q e^{p x} \cos q x=e^{p x}(p \sin q x+q \cos q x) পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y2=(psin⁡qx+qcos⁡qx)ddxepx+epxddx(psin⁡qx+qcos⁡qx)y_2=(p \sin q x+q \cos q x) \frac{d}{d x} e^{p x}+e^{p x} \frac{d}{d x}(p \sin q x+q \cos q x) বা, y2=pepx(psin⁡qx+qcos⁡qx)+epx(pqcos⁡qx−q2sin⁡qx)y_2=p e^{p x}(p \sin q x+q \cos q x)+e^{p x}\left(p q \cos q x-q^2 \sin q x\right) বা, y2=epx(p2sin⁡qx+pqcos⁡qx+pqcos⁡qx−q2sin⁡qx)y_2=e^{p x}\left(p^2 \sin q x+p q \cos q x+p q \cos q x-q^2 \sin q x\right) বা, y2=epx(2p2sin⁡qx+2pqcos⁡qx−p2sin⁡qx−q2sin⁡qx)y_2=e^{p x}\left(2 p^2 \sin q x+2 p q \cos q x-p^2 \sin q x-q^2 \sin q x\right) বা, y2=2pepx(psin⁡qx+qcos⁡qx)−(p2+q2)epxsin⁡qx=2py1−(p2+q2)yy_2=2 p e^{p x}(p \sin q x+q \cos q x)-\left(p^2+q^2\right) e^{p x} \sin q x=2 p y_1-\left(p^2+q^2\right) y ∴y2−2py1+(p2+q2)y=0\therefore \quad \mathrm{y}_2-2 \mathrm{py}_1+\left(\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2\right) \mathrm{y}=0. [প্রমাণিত]

উত্তর

ধরি, y=f(x)=13x3+12x2−6x+8y=f(x)=\frac{1}{3} x^3+\frac{1}{2} x^2-6 x+8 xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=13⋅3x2+12⋅2x−6⋅1+0\frac{d y}{d x} =\frac{1}{3} \cdot 3 x^2+\frac{1}{2} \cdot 2 x-6 \cdot 1+0 ∴dydx=x2+x−6\therefore \frac{d y}{d x} =x^2+x-6 পুনরায় x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, d2ydx2=2x+1\frac{d^2 y}{d x^2}=2 x+1 চরম মানের জন্য dydx=0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0 বা, x2+x−6=0x^2+x-6=0 বা, x2+3x−2x−6=0x^2+3 x-2 x-6=0 বা, x(x+3)−2(x+3)=0x(x+3)-2(x+3)=0 বা, (x+3)(x−2)=0(x+3)(x-2)=0 ∴x=−3,2\therefore x=-3,2 এখন, x=−3x=-3 হলে, d2ydx2=2(−3)+1=−5<0\frac{d^2 y}{d x^2}=2(-3)+1=-5<0 সুতরাং x=−3x=-3 বিন্দুতে f(x)f(x) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বোচ্চ মান, ymax⁡=13(−3)3+12(−3)2−6(−3)+8=432y_{\max }=\frac{1}{3}(-3)^3+\frac{1}{2}(-3)^2-6(-3)+8=\frac{43}{2} x=2x=2 হলে, d2ydx2=2(2)+1=5>0\frac{d^2 y}{d x^2}=2(2)+1=5>0 সুতরাং x=2x=2 বিন্দুতে f(x)f(x) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বনিম্ন মান, ymin =13×23+12×22−6×2+8=23y_{\text{min }}=\frac{1}{3} \times 2^3+\frac{1}{2} \times 2^2-6 \times 2+8=\frac{2}{3} ∴f(x)\therefore f(x) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান যথাক্রমে 432\frac{43}{2} ও 23\frac{2}{3}.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণJessore
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন