Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] বা, [গণিত] পুনরায়, [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] দ্বারা উভয়পক্ষে ভাগ করে] [গণিত] [প্রমাণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

f(x)=emsin⁡−12xf(x)=e^{m \sin^{-1} 2 x} এবং g(x)=2x3−3x2−12x+1\mathrm{g}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2-12 \mathrm{x}+1.

Chittagong · 2025

উত্তর

lim⁡x→01−cos⁡x2x2\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{2 x^2} =lim⁡x→02sin⁡2x22x2=lim⁡x→0sin⁡2x2x2=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 x^2}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} =lim⁡x→0sin⁡x2x2⋅12×lim⁡x→0sin⁡x2x2⋅12=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} \times \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} =1×12×1×12=14=1 \times \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} নির্ণেয় মান : 14\frac{1}{4}.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=emsin−12xf(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{msin}^{-1} 2 \mathrm{x}} xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, f′(x)=ddx(emsin⁡−12x)f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x}\left(e^{m \sin -12 x}\right) বা, f′(x)=emsin⁡−12x⋅m⋅11−(2x)2⋅2f^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{m} \sin^{-1} 2 \mathrm{x}} \cdot \mathrm{m} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(2 \mathrm{x})^2}} \cdot 2 =2 m1−4x2⋅emsin⁡−12x=\frac{2 \mathrm{~m}}{\sqrt{1-4 \mathrm{x}^2}} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{m} \sin^{-1} 2 \mathrm{x}} =2m1−4x2⋅f(x)=\frac{2 m}{\sqrt{1-4 x^2}} \cdot f(x) বা, (f′(x))2=4 m21−4x2(f(x))2\left(f^{\prime}(\mathrm{x})\right)^2=\frac{4 \mathrm{~m}^2}{1-4 \mathrm{x}^2}(f(\mathrm{x}))^2 [বর্গ করে] বা, (1−4x2)(f′(x))2=4 m2(f(x))2\left(1-4 \mathrm{x}^2\right)\left(f^{\prime}(\mathrm{x})\right)^2=4 \mathrm{~m}^2(f(\mathrm{x}))^2 পুনরায়, xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, (1−4x2)⋅2f′(x)f′′(x)+(f′(x))2⋅(0−8x)=4 m2⋅2f(x)f′(x)\left(1-4 \mathrm{x}^2\right) \cdot 2 f^{\prime}(\mathrm{x}) f^{\prime \prime}(\mathrm{x})+\left(f^{\prime}(\mathrm{x})\right)^2 \cdot(0-8 \mathrm{x})=4 \mathrm{~m}^2 \cdot 2 f(\mathrm{x}) f^{\prime}(\mathrm{x}) বা, 2(1−4x2)f′(x)⋅f′′(x)−8x(f′(x))2=8 m2f(x)f′(x)2\left(1-4 \mathrm{x}^2\right) f^{\prime}(\mathrm{x}) \cdot f^{\prime \prime}(\mathrm{x})-8 \mathrm{x}\left(f^{\prime}(\mathrm{x})\right)^2=8 \mathrm{~m}^2 f(\mathrm{x}) f^{\prime}(\mathrm{x}) বা, (1−4x2)f′′(x)−4xf′(x)=4m2f(x)[2f′(x)\left(1-4 x^2\right) f^{\prime \prime}(x)-4 x f^{\prime}(x)=4 m^2 f(x)\left[2 f^{\prime}(x)\right. দ্বারা উভয়পক্ষে ভাগ করে] ∴(1−4x2)f′′(x)−4xf′(x)=4 m2f(x)\therefore\left(1-4 \mathrm{x}^2\right) f^{\prime \prime}(\mathrm{x})-4 \mathrm{x} f^{\prime}(\mathrm{x})=4 \mathrm{~m}^2 f(\mathrm{x}) [প্রমাণিত]

উত্তর

ধরি, y=g(x)=2x3−3x2−12x+1y=g(x)=2 x^3-3 x^2-12 x+1 xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y1=2.3x2−3.2x−12.1+0y_1=2.3 x^2-3.2 x-12.1+0 বা, y1=6x2−6x−12y_1=6 x^2-6 x-12 পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, y2=6.2x−6.1−0y_2=6.2 x-6.1-0 বা, y2=12x−6\mathrm{y}_2=12 \mathrm{x}-6 চরম মানের জন্য, y1=0\mathrm{y}_1=0 বা, 6x2−6x−12=06 x^2-6 x-12=0 বা, x2−x−2=0x^2-x-2=0 [উভয়পক্ষকে 6 घ্যারা ভাগ করে] বা, x2−2x+x−2=0x^2-2 x+x-2=0 বা, x(x−2)+1(x−2)=0x(x-2)+1(x-2)=0 বা, (x−2)(x+1)=0(x-2)(x+1)=0 ∴x=2,−1\therefore x=2,-1 x=2x=2 হলে, y2=12×2−6=18>0y_2=12 \times 2-6=18>0 সুতরাং x=2x=2 বিন্দুতে g(x)g(x) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বনিম্ন মান, ymin⁡=2(2)3−3(2)2−12(2)+1\mathrm{y}_{\min }=2(2)^3-3(2)^2-12(2)+1 =16−12−24+1=−19=16-12-24+1=-19 আবার, x=−1x=-1 হলে, y2=12×(−1)−6=−18<0y_2=12 \times(-1)-6=-18<0 সুতরাং x=−1x=-1 বিন্দুতে g(x)g(x) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বোচ্চ মান, ymax⁡=2(−1)3−3(−1)2−12(−1)+1y_{\max } =2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+1 =−2−3+12+1=8=-2-3+12+1=8 ∴g(x)\therefore \mathrm{g}(\mathrm{x}) ফাংশনটির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান যথাক্রমে 8 ও −19-19।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণChittagong
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন