Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর চরমমান নির্ণয় কর।

উত্তর: ধরি, [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] পুনরায় [গণিত] এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, [গণিত] চরম মানের জন্য, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হলে, [গণিত] সুতরাং [গণিত] বিন্দুতে [গণিত] ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান । [গণিত] সর্বনিম মান, [গণিত] সুতরাং [গণিত] সীমার মধ্যে উদ্দীপকের [গণিত] এর চরম মান তথা সর্বোচ্চ ও সর্বনিম মান যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 9: অন্তরীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 9: অন্তরীকরণ · সৃজনশীল

এর চরমমান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(x)=excos⁡x,g(x)=3xf(x)=e^x \cos x, g(x)=3^x দুইটি ফাংশন।

Mymensingh · 2025

উত্তর

ধরি, y=xxy=x \sqrt{x} উভয়পক্ষে ln⁡নিয়েপাই,ln⁡y=ln⁡xx=xln⁡x\ln নিয়ে পাই,\ln \mathrm{y}=\ln \mathrm{x} \sqrt{\mathrm{x}}=\sqrt{\mathrm{x}} \ln \mathrm{x} xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, 1ydydx=xddx(ln⁡x)+ln⁡xddx(x)\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\sqrt{x} \frac{d}{d x}(\ln x)+\ln x \frac{d}{d x}(\sqrt{x}) বা, 1ydydx=x⋅1x+ln⁡x⋅12x\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}+\ln x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} বা, 1ydydx=1x+ln⁡x2x\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2 \sqrt{x}} বা, 1ydydx=2+ln⁡x2x\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2+\ln \mathrm{x}}{2 \sqrt{\mathrm{x}}} বা, dydx=y(2+ln⁡x2x)\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{y}\left(\frac{2+\ln \mathrm{x}}{2 \sqrt{\mathrm{x}}}\right) ∴dydx=xx(ln⁡x+22x)\therefore \frac{d y}{d x}=x \sqrt{x}\left(\frac{\ln x+2}{2 \sqrt{x}}\right) ∴ddx(xx)=xx(ln⁡x+22x)\therefore \frac{d}{d x}\left(x^x\right)=x \sqrt{x}\left(\frac{\ln x+2}{2 \sqrt{x}}\right)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=3x\mathrm{g}(\mathrm{x})=3^{\mathrm{x}}. ∴g(−x)=3−x\therefore g(-x)=3^{-x} এবং g<g(−(x+h))=3−(x+h)=3−x⋅3−hg<g(-(x+h))=3^{-(x+h)}=3^{-x} \cdot 3^{-h} মূল নিয়মের সংজ্ঞানুসারে, d{g(−x)}dx=lim⁡h→0g(−(x+h))−g(−x)h\frac{d\{g(-x)\}}{d x}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(-(x+h))-g(-x)}{h} বা, ddx(3−x)=lim⁡h→03−x⋅3−h−3−xh\frac{d}{d x} \left(3^{-x}\right)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{3^{-x} \cdot 3^{-h}-3^{-x}}{h} lim⁡h→03−x(3−h−1)h=3−xlim⁡h→03−h−1h\lim_{h \rightarrow 0} \frac{3^{-x}\left(3^{-h}-1\right)}{h}=3^{-x} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{3^{-h}-1}{h} =3−xlim⁡h→01+(−hln⁡3)+(−hln⁡3)22!+(−hln⁡3)33!+…….−1h=3^{-x} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1+(-h \ln 3)+\frac{(-h \ln 3)^2}{2!}+\frac{(-h \ln 3)^3}{3!}+\ldots \ldots .-1}{h} =3−xlim⁡h→0(−ln⁡3+h(ln⁡3)22!−h2(ln⁡3)33!+…….)=−3−xln⁡3=3^{-x} \lim_{h \rightarrow 0}\left(-\ln 3+\frac{h(\ln 3)^2}{2!}-\frac{h^2(\ln 3)^3}{3!}+\ldots \ldots .\right)=-3^{-x} \ln 3 নির্ণেয় অন্তরজ : −3−⋆ln⁡3-3^{-\star} \ln 3.

উত্তর

ধরি, y=f(x)=excos⁡x\mathrm{y}=f(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \cos \mathrm{x} xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=ex(−sin⁡x)+ex⋅cos⁡x\frac{d y}{d x}=e^x(-\sin x)+e^x \cdot \cos x ∴dydx=excos⁡x−exsin⁡x\therefore \frac{d y}{d x}=e^x \cos x-e^x \sin x পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, d2ydx2=(−exsin⁡x+excos⁡x)−(excos⁡x+exsin⁡x)\frac{d^2 y}{d x^2} =\left(-e^x \sin x+e^x \cos x\right)-\left(e^x \cos x+e^x \sin x\right) =−exsin⁡x+excos⁡x−excos⁡x−exsin⁡x=-e^x \sin x+e^x \cos x-e^x \cos x-e^x \sin x ∴d2ydx2=−2exsin⁡x\therefore \frac{d^2 y}{d x^2} =-2 e^x \sin x চরম মানের জন্য, dydx=0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0 বা, excos⁡x−exsin⁡x=0e^x \cos x-e^x \sin x=0 বা, excos⁡x=exsin⁡xe^x \cos x=e^x \sin x বা, sin⁡xcos⁡x=exex\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{e^x}{e^x} বা, tan⁡x=1=tan⁡π4\tan x=1=\tan \frac{\pi}{4} ∴x=π4\therefore \quad x=\frac{\pi}{4} x=π4x=\frac{\pi}{4} হলে, d2ydx2=−2eπ4sin⁡(π4)<0\frac{d^2 y}{d x^2}=-2 e^{\frac{\pi}{4}} \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)<0 ∴x=π4\therefore \quad \mathrm{x}=\frac{\pi}{4} বিন্দুতে f(x)f(\mathrm{x}) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বোচ্চ মান, ymax⁡=eπ4cos⁡π4=eπ42y_{\max }=e^{\frac{\pi}{4}} \cos \frac{\pi}{4}=\frac{e^{\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}}. নির্ণেয় চরম মান : eπ42\frac{\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}}. লক্ষ কর : ধরি, y=f(x)=excos⁡x\mathrm{y}=f(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \cos \mathrm{x} xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, dydx=ddx(excos⁡x)\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(e^x \cos x\right) বা, dydx=cos⁡xddx(ex)+exddx(cos⁡x)\frac{d y}{d x}=\cos x \frac{d}{d x}\left(e^x\right)+e^x \frac{d}{d x}(\cos x) বা, dydx=excos⁡x+ex(−sin⁡x)=ex(cos⁡x−sin⁡x)\frac{d y}{d x} =e^x \cos x+e^x(-\sin x)=e^x(\cos x-\sin x) =ex⋅2(12cos⁡x−12sin⁡x)=e^x \cdot \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x-\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right) =2ex(cos⁡xcos⁡π4−sin⁡xsin⁡π4)=\sqrt{2} e^x\left(\cos x \cos \frac{\pi}{4}-\sin x \sin \frac{\pi}{4}\right) বা, dydx=2excos⁡(x+π4)[∵cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A+B)]\frac{d y}{d x}=\sqrt{2} e^x \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)[\because \cos A \cos B-\sin A \sin B=\cos (A+B)] আবার, d2ydx2=2excos⁡(x+π2)=−2exsin⁡x\frac{d^2 y}{d x^2}=2 e^x \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-2 e^x \sin x এখন, চরম মানের জন্য, dydx=0\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0 বা, 2excos⁡(x+π4)=0\sqrt{2} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \cos \left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{4}\right)=0 বা, excos⁡(x+π4)=0e^x \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 বা, cos⁡(x+π4)=0\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 [যেহেতু ex≠0e^x \neq 0 ] বা, cos⁡(x+π4)=cos⁡(2n+1)π2\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\cos (2 n+1) \frac{\pi}{2} বা, x+π4=nπ+π2;n∈Zx+\frac{\pi}{4}=n \pi+\frac{\pi}{2} ; n \in \mathbb{Z} বা, x=nπ+π2−π4=nπ+π4x=n \pi+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=n \pi+\frac{\pi}{4} অর্থাৎ xx এর অসংখ্য মানের জন্য f(x)f(x) এর চরম মান পাওয়া যাবে এবং সেই মানগুলো হবে স্থানীয়। আর স্থানীয় চরম মানের জন্য প্রশ্নে একটি সীমা থাকা আবশ্যক। যেহেতু প্রশ্নে কোনো সীমা দেওয়া নেই, তাই 0≤x≤2π0 \leq x \leq 2 \pi সীমা ধরে নেওয়া হলো। n=0n=0 হলে, x=π4x=\frac{\pi}{4} হবে। ∴d2ydx2=−2eπ4sin⁡π4<0।\therefore \frac{d^2 y}{d x^2}=-2 e^{\frac{\pi}{4}} \sin \frac{\pi}{4}<0। সুতরাং x=π4\mathrm{x}=\frac{\pi}{4} বিন্দুতে f(x)f(\mathrm{x}) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান। ∴\therefore সর্বোচ্চ মান ymax⁡=eπ4cos⁡π4=eπ42y_{\max }=e^{\frac{\pi}{4}} \cos \frac{\pi}{4}=\frac{e^{\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}} n=1n=1 হলে, x=π+π4=5π4x=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5 \pi}{4} হবে। ∴d2ydx2=−2e5π4sin⁡5π4=2>0।\therefore \frac{d^2 y}{d x^2}=-2 e^{\frac{5 \pi}{4}} \sin \frac{5 \pi}{4}=\sqrt{2}>0। সুতরাং x=5π4\mathrm{x}=\frac{5 \pi}{4} বিন্দুতে f(x)f(\mathrm{x}) ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান । ∴\therefore সর্বনিম মান, ymin⁡=e5π4cos⁡5π4=−e5π42y_{\min }=e^{\frac{5 \pi}{4}} \cos \frac{5 \pi}{4}=-\frac{e^{\frac{5 \pi}{4}}}{\sqrt{2}} সুতরাং 0≤x≤2π0 \leq \mathrm{x} \leq 2 \pi সীমার মধ্যে উদ্দীপকের f(x)f(\mathrm{x}) এর চরম মান তথা সর্বোচ্চ ও সর্বনিম মান যথাক্রমে eπ42\frac{\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}} ও −e5π42-\frac{\mathrm{e}^{\frac{5 \pi}{4}}}{\sqrt{2}}
HSCHigher Math 1st PaperChapter 9: অন্তরীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′′′(π3)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\text{}কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • খ
    −12-\frac{1}{2}
  • গ
    12\frac{1}{2}
  • ঘ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cosxf(x) = cosx lim⁡x→0f(π2−3x)3x=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-3 x\right)}{3 x}=কত?

Chittagong · 2017

  • ক
    −1-1
  • খ
    00
  • গ
    11
  • ঘ
    ∞\infty

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.f(x)f(x) ফাংশন x=ax = a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে—  i. f(a)\text{ i. } f(a) সংজ্ঞায়িত হয়  ii. lim⁡x→af(x)\text{ ii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x) বিদ্যমান থাকে  iii. lim⁡x→af(x)=f(a)\text{ iii. } \lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a) হয় নিচের কোনটি সঠিক?

Jessore · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x−x-এর কোন মানের জন্য f(x)=13x3−52x2+6x−1f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{5}{2} x^{2}+6 x-1 এর চরম মান পাওয়া যাবে ?

Rajshahi · 2017

  • ক
    −2,−3-2,-3
  • খ
    −2,3-2,3
  • গ
    2,−32,-3
  • ঘ
    2,32,3

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?

Comilla · 2017

  • ক
    x=π4x=\frac{\pi}{4}
  • খ
    x=π2x=\frac{\pi}{2}
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    5π4\frac{5 \pi}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.y=x2−x+1y=x^{2}-x+1 বক্ররেখার (2,3)(2, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    33
  • খ
    −3-3
  • গ
    13\frac{1}{3}
  • ঘ
    −13-\frac{1}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.x3+x2y+xy2=0x^{3}+x^{2} y+x y^{2}=0 একটি -

Barisal · 2017

  • ক
    ব্যক্ত ফাংশন
  • খ
    অব্যক্ত ফাংশন
  • গ
    পরামিতিক ফাংশন
  • ঘ
    সংযোজিত ফাংশন

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.dndxn(xn)\frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n}\right) এর মান কোনটি ?

Dinajpur · 2017

  • ক
    n!n !
  • খ
    xx
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ddxlog⁡2x\frac{d}{d x} \log_{2} x এর মান কত ?

Sylhet · 2017

  • ক
    1x\frac{1}{x}
  • খ
    2x2^{x}
  • গ
    12ln⁡x\frac{1}{2 \ln x}
  • ঘ
    1xln⁡2\frac{1}{x \ln 2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.xx-এর সাপেক্ষে esin⁡2xe^{\sin^{2} x} এর অন্তরজ কোনটি?

Comilla · 2017

  • ক
    esin⁡2xsin⁡2xe^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • খ
    2esin⁡2xsin⁡x2 e^{\sin^{2} x} \sin x
  • গ
    −esin⁡2xsin⁡2x-e^{\sin^{2} x} \sin 2 x
  • ঘ
    esin⁡2xe^{\sin^{2} x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ddx(1+sin⁡2xsin⁡x+cos⁡x)=?\frac{d}{d x}\left(\frac{\sqrt{1+\sin 2 x}}{\sin x+\cos x}\right)=?

Barisal · 2017

  • ক
    11
  • খ
    00
  • গ
    2sin⁡2x2 \sin 2 x
  • ঘ
    2cos⁡2x2 \cos 2 x

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ddx(5x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(5^{x}\right)=কত ?

Chittagong · 2017

  • ক
    x5x−1x 5^{x-1}
  • খ
    5xln⁡5x5^{x} \ln 5^{x}
  • গ
    5xln⁡55^{x} \ln 5
  • ঘ
    xln⁡5xx \ln 5^{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত?[গণিত] ফাংশন [গণিত] বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হলে— [গণিত] সংজ্ঞায়িত হয় [গণিত] বিদ্যম[গণিত] এর কোন মানের জন্য [গণিত] এর চরম মান পাওয়া যাবে ?[গণিত] ফাংশনটি নিচের কোন বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান?[গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল কোনটি ?[গণিত] একটি -[গণিত] এর মান কোনটি ?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত] -এর সাপেক্ষে [গণিত] এর অন্তরজ কোনটি?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন