Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] নির্ণয় কর।

উত্তর: [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 10: যোগজীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 10: যোগজীকরণ · সৃজনশীল

[গণিত] নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

f(θ)=sin⁡θf(\theta)=\sin \theta

Dinajpur · 2025

উত্তর

∫11+tan⁡xdx=∫11+sin⁡xcos⁡xdx=∫cos⁡xcos⁡x+sin⁡xdx=∫12⋅2cos⁡xcos⁡x+sin⁡xdx=12∫(cos⁡x+sin⁡x)+(cos⁡x−sin⁡x)cos⁡x+sin⁡xdx=12∫(1+cos⁡x−sin⁡xcos⁡x+sin⁡x)dx=12∫[1+ddx(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡x+cos⁡x]dx=12[x+ln⁡∣sin⁡x+cos⁡x∣]+c[∵∫f′(x)f(x)dx=ln⁡∣f(x)∣+c]∴∫11+tan⁡xdx=12[x+ln⁡∣sin⁡x+cos⁡x∣]+c\begin{aligned} & \int \frac{1}{1+\tan x} d x \\ & =\int \frac{1}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} d x=\int \frac{\cos x}{\cos x+\sin x} d x \\ & =\int \frac{\frac{1}{2} \cdot 2 \cos x}{\cos x+\sin x} d x=\frac{1}{2} \int \frac{(\cos x+\sin x)+(\cos x-\sin x)}{\cos x+\sin x} d x \\ & =\frac{1}{2} \int\left(1+\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right) d x=\frac{1}{2} \int\left[1+\frac{\frac{d}{d x}(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}\right] d x \\ & =\frac{1}{2}[x+\ln |\sin x+\cos x|]+c\left[\because \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} d x=\ln |f(x)|+c\right] \\ & \therefore \int \frac{1}{1+\tan x} d x=\frac{1}{2}[x+\ln |\sin x+\cos x|]+c\end{aligned}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=sin⁡θf(\theta)=\sin \theta ∴∫0πf(2x){f(π2+x)}4+{f(x)}4dx\therefore \int_0^\pi \frac{f(2 x)}{\left\{f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\right\}^4+\{f(x)\}^4} d x =∫0π4sin⁡2x{sin⁡(π2+x)}4+sin⁡4xdx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{\left\{\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)\right\}^4+\sin^4 x} d x =∫0π4sin⁡2xcos⁡4x+sin⁡4xdx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{\cos^4 x+\sin^4 x} d x =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{\left(\cos^2 x+\sin^2 x\right}^2-2 \sin^2 x \cos^2 x} d x =∫0π4sin⁡2x1−12(2sin⁡xcos⁡x)2dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{1-\frac{1}{2}(2 \sin x \cos x)^2} d x =∫0π4sin⁡2x1−12sin⁡22xdx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{1-\frac{1}{2} \sin^2 2 x} d x =∫0π4sin⁡2x1−12(1−cos⁡22x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{1-\frac{1}{2}\left(1-\cos^2 2 x\right)} d x =∫0π4sin⁡2x1−12+12cos⁡2xdx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos^2 x} d x =∫0π4sin⁡2x2−1+cos⁡2x2dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2 x}{\frac{2-1+\cos^2 x}{2}} d x =∫0π42sin⁡2x1+cos⁡22xdx=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2 \sin 2 x}{1+\cos^2 2 x} d x ধরি, cos⁡2x=z\cos 2 x=z বা, −2sin⁡2xdx=dz-2 \sin 2 x d x=d z question image =∫10−dz1+z2=\int_1^0 \frac{-d z}{1+z^2} =∫01dz1+z2=\int_0^1 \frac{d z}{1+z^2} =[tan⁡−1z]01=\left[\tan^{-1} z\right]_0^1 =tan⁡−11−tan⁡−10=π4=\tan^{-1} 1-\tan^{-1} 0=\frac{\pi}{4} নির্ণেয় মান : π4\frac{\pi}{4}.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=sin⁡θf(\theta)=\sin \theta ∴f′(θ)=cos⁡θ\therefore f^{\prime}(\theta)=\cos \theta আবার, x=5f′(θ)x=5 f^{\prime}(\theta) বা, x=5cos⁡θx=5 \cos \theta বা, x2=52cos⁡2θ….(1)x^2=5^2 \cos^2 \theta \ldots . (1) [বর্গ করে] এবং y=5f(θ)\mathrm{y}=5 f(\theta) বা, y=5sin⁡θy=5 \sin \theta বা, y2=52sin⁡2θ……..(2)y^2=5^2 \sin^2 \theta \ldots \ldots . .(2) [বর্গ করে] (1) নং ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, x2+y2=52(cos⁡2θ+sin⁡2θ)x^2+y^2=5^2\left(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta\right) বা, x2+y2=52x^2+y^2=5^2 ……(3)\ldots\ldots (3) ∴y=52−x2\therefore y=\sqrt{5^2-x^2} question image ∴\therefore (3) নং বৃত্ত এবং x=3x = 3 রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম অংশের ক্ষেত্রফল =2∫35ydx=2 \int_3^5 y d x =2∫3552−x2dx= 2 \int_3^5 \sqrt{5^2-x^2} d x =2[x52−x22+522sin⁡−1x5]35= 2\left[\frac{x \sqrt{5^2-x^2}}{2}+\frac{5^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{5}\right]_3^5 [∵a2−x2dx=xa2−x22+a22sin⁡−1xa]\left[\because \sqrt{a^2-x^2} d x=\frac{x \sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a}\right] =2[(552−522+522sin⁡−155)=2\left[\left(\frac{5 \sqrt{5^2-5^2}}{2}+\frac{5^2}{2} \sin^{-1} \frac{5}{5}\right)\right. −(352−322+522sin⁡−135)]\left.-\left(\frac{3 \sqrt{5^2-3^2}}{2}+\frac{5^2}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}\right)\right] =2[0+252×π2122−252sin⁡−135]=2\left[0+\frac{25}{2} \times \frac{\pi}{2} \frac{12}{2}-\frac{25}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}\right] =25π2−25sin⁡−135−12=\frac{25 \pi}{2}-25 \sin^{-1} \frac{3}{5}-12 =25{π2−sin⁡−1(35)}−12=25\left\{\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\right\}-12 ∴\therefore ক্ষুদ্রতম অথশের ক্ষেত্রফল =25{π2−sin⁡−1(35)}−12=25\left\{\frac{\pi}{2}-\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\right\}-12 বর্গ একক
HSCHigher Math 1st PaperChapter 10: যোগজীকরণDinajpur
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.∫f(x)dx\int f(x) d x এর মান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=ln⁡2xf(x)=\ln 2 x f(x)f(x)বক্ররেখার x=2x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: f(x)=cot⁡x,g(x)=cosec⁡⁡2xf(x)=\cot x, g(x)=\operatorname{\cosec}^{2} x ∫f(x)dx=\int f(x) d x= কত ?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.f(x)=4xf(x)=4 x ı. ∫dxf(x)=14ln⁡x+c\ii. ∫ef(x)dx=14e4x+c\iii. ∫02f(x)dx=8\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \int \frac{d x}{f(x)}=\frac{1}{4} \ln x+c\text{\ii. } \int e^{f(x)} d x=\frac{1}{4} e^{4 x}+c\text{\iii. } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{dx}=8\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2 x হলে - ı. lim⁡x→0(̸x)2x=1\ii. f′(x)=2cos⁡2x\iii. ∫f(x)dx=cos⁡2x+c\begin{array}{l}\text{\i. } \quad \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\not(x)}{2 x}=1\text{\ii. } f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x\text{\iii. } \int f(x) \mathrm{dx}=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{c}\end{array} নিচের কোনটি সঠিক?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x216+y29=1\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1 উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∫23xx2−1dx\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}-1} d x এর মান কত ?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.∫013dx1+x2=?\int_{0}^{1} \frac{3 d x}{1+x^{2}}=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.∫0π22sin⁡2xdx=?\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^{2} x d x=?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.∫0π2sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x এর মান নিচের কোনটি ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∫ln⁡xdx=?\int \ln x d x=?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.∫dx36−x2=\int \frac{d x}{\sqrt{36-x^{2}}}= কত ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] বক্ররেখার [গণিত] বিন্দুতে স্পর্নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] কত ?[গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক?[গণিত] উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল কোনটি?[গণিত] এর মান কত ?[গণিত][গণিত][গণিত] এর মান নিচের কোনটি ?[গণিত][গণিত] কত ?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
[গণিত] নির্ণয় কর। | Prosthuti