Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] বিন্দু হতে [গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অঙ্কিত স্পর্শক অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] , ব্যাসার্ধ, [গণিত] ধরি, [গণিত] ঢালবিশিষ্ট এবং [গণিত] বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ; যা অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শক। [গণিত] বা, [গণিত] . (1) প্রশ্নমতে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [চিত্র] m এর মান (1)নং এ বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (2) স্পর্শকটি অক্ষদ্বয়কে [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। [গণিত] এবং [গণিত] বিন্দু দ্বারা গঠিত [গণিত] এর ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক [গণিত] বর্গ একক [গণিত] বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

বিন্দু হতে কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অঙ্কিত স্পর্শক অক্ষদ্বয়ের সাথে …

উদ্দীপক

question image এখানে, C1\mathrm{C}_1 ও C2\mathrm{C}_2 বৃত্তের কেন্দ্র।

Dinajpur · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, বৃত্তের কেন্দ্র (3,π6)\left(3, \frac{\pi}{6}\right) এবং ব্যাসার্ধ 32\frac{3}{2} একক আমরা জানি, (r1,θ1)\left(\mathrm{r}_1, \theta_1\right) কেন্দ্র এবং a ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ : r2−2r1cos⁡(θ−θ1)+r12=a2r^2-2 r_1 \cos \left(\theta-\theta_1\right)+r_1^2=a^2 ∴(3,π6)\therefore \left(3, \frac{\pi}{6}\right) কেন্দ্র এবং 32\frac{3}{2} ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, r2−2r.3cos⁡(θ−π6)+(3)2=(32)2r^2-2 r .3 \cos \left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)+(3)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2 বা, r2−6rcos⁡(θ−π6)+9=94r^2-6 r \cos \left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)+9=\frac{9}{4} বা, r2−6r(cos⁡θcos⁡π6+sin⁡θsin⁡π6)+9=94r^2-6 r\left(\cos \theta \cos \frac{\pi}{6}+\sin \theta \sin \frac{\pi}{6}\right)+9=\frac{9}{4} বা, r2−6r⋅32cos⁡θ−6r⋅12sin⁡θ=94−9\mathrm{r}^2-6 \mathrm{r} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta-6 \mathrm{r} \cdot \frac{1}{2} \sin \theta=\frac{9}{4}-9 বা, r2−33rcos⁡θ−3rsin⁡θ=−274r^2-3 \sqrt{3} r \cos \theta-3 r \sin \theta=-\frac{27}{4} ∴r2−33rcos⁡θ−3rsin⁡θ+274=0\therefore r^2-3 \sqrt{3} r \cos \theta-3 r \sin \theta+\frac{27}{4}=0 ইহাই বৃত্তটির পোলার আকারের সমীকরণ। আবার, দেওয়া আছে, বৃত্তের কেন্দ্র (3,π6)\left(3, \frac{\pi}{6}\right) এবং ব্যাসাধ 32\frac{3}{2} একক পোলার স্থানাঙ্ককে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে রূপান্তর করি, x=rcos⁡θ=3cos⁡π6=332x=r \cos \theta=3 \cos \frac{\pi}{6}=\frac{3 \sqrt{3}}{2} y=rsin⁡θ=3sin⁡π6=32y=r \sin \theta=3 \sin \frac{\pi}{6}=\frac{3}{2} ∴(332,32)\therefore \left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right) কেন্দ্র এবং 32\frac{3}{2} ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, (x−332)2+(y−32)2=(32)2\left(x-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2 বা, x2−33x+274+y2−3y+94=94x^2-3 \sqrt{3} x+\frac{27}{4}+y^2-3 y+\frac{9}{4}=\frac{9}{4} বা, x2+y2−33x−3y+274=0x^2+y^2-3 \sqrt{3} x-3 y+\frac{27}{4}=0 ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের কার্তেসীয় আকারের সমীকরণ।

উত্তর

দেওয়া আছে, C1(−3,−1)\mathrm{C}_1(-3,-1), ব্যাসার্ধ, r1=2\mathrm{r}_1=2 ধরি, mm ঢালবিশিষ্ট এবং (−1,3)(-1,3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ; যা অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শক। y−3=m(x+1)y-3=m(x+1) বা, y−mx−m−3=0y-m x-m-3=0 …….(1)\ldots\ldots. (1) প্রশ্নমতে, ∣−1+3m−m−31+m2∣=2\left|\frac{-1+3 m-m-3}{\sqrt{1+m^2}}\right|=2 বা, ∣2m−41+m2∣=2\left|\frac{2 m-4}{\sqrt{1+m^2}}\right|=2 বা, 4m2−16m+16m2+1=4\frac{4 m^2-16 m+16}{m^2+1}=4 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] বা, 4m2−16m+16=4m2+44 m^2-16 m+16=4 m^2+4 বা, −16m+16=4-16 m+16=4 বা, 16−4=16 m16-4=16 \mathrm{~m} বা, m=1216\mathrm{m}=\frac{12}{16} ∴m=34\therefore m=\frac{3}{4} question image m এর মান (1)নং এ বসিয়ে পাই, y−3=34(x+1)y-3=\frac{3}{4}(x+1) বা, 4y−12=3x+34 y-12=3 x+3 বা, 4y−3x=3+124 y-3 x=3+12 বা, −3x+4y=15-3 x+4 y=15 বা, x−153+y154=1\frac{x}{-\frac{15}{3}}+\frac{y}{\frac{15}{4}}=1 ……(2)\ldots\ldots (2) স্পর্শকটি অক্ষদ্বয়কে D(−5,0),B(0,154)D(-5,0), B\left(0, \frac{15}{4}\right) বিন্দুতে ছেদ করে। ∴O(0,0),E(0,154)\therefore \mathrm{O}(0,0), \mathrm{E}\left(0, \frac{15}{4}\right) এবং D(−5,0)\mathrm{D}(-5,0) বিন্দু দ্বারা গঠিত △DEO\triangle \mathrm{DEO} এর ক্ষেত্রফল =12×DO×OE=\frac{1}{2} \times \mathrm{DO} \times \mathrm{OE} বর্গ একক =12×5×154=\frac{1}{2} \times 5 \times \frac{15}{4} বর্গ একক =758=\frac{75}{8} বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 758\frac{75}{8} বর্গ একক।

উত্তর

C1(−3,−1)\mathrm{C}_1(-3,-1) কেন্দ্র এবং 2 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, (x+3)2+(y+1)2=4(x+3)^2+(y+1)^2=4 বা, x2+6x+9+y2+2y+1=4x^2+6 x+9+y^2+2 y+1=4 বা, x2+y2+6x+2y+6=0x^2+y^2+6 x+2 y+6=0 আরার, C2(−4,−12)\mathrm{C}_2\left(-4,-\frac{1}{2}\right) কেন্দ্র এবং 52\frac{5}{2} ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, (x+4)2+(y+12)2=254(x+4)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{4} বা, x2+8x+16+y2+xy+14=254x^2+8 x+16+y^2+x y+\frac{1}{4}=\frac{25}{4} বা, x2+y2+8x+y+16+14−254=0x^2+y^2+8 x+y+16+\frac{1}{4}-\frac{25}{4}=0 বা, x2+y2+8x+y+64+1−254=0x^2+y^2+8 x+y+\frac{64+1-25}{4}=0 বা, x2+y2+8x+y+404=0x^2+y^2+8 x+y+\frac{40}{4}=0 ∴x2+y2+8x+y+10=0\therefore x^2+y^2+8 x+y+10=0 …….(2)\ldots\ldots. (2) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা AB এর সমীকরণ, x2+y2+6x+2y+6−x2−y2−8x−y−10=0x^2+y^2+6 x+2 y+6-x^2-y^2-8 x-y-10=0 বা, −2x+y−4=0-2 x+y-4=0 ∴2x−y+4=0\therefore 2 x-y+4=0
…….(3)AB\ldots\ldots. (3) AB
কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2+6x+2y+6+k(2x−y+4)=0x^2+y^2+6 x+2 y+6+k(2 x-y+4)=0 …….(4)\ldots\ldots. (4) বা, x2+y2+2(k+3)x+2(2−k)y2+6+4k=0x^2+y^2+2(k+3) x+\frac{2(2-k) y}{2}+6+4 k=0 ∴\therefore বৃত্তটির কেন্দ্র (−g,−f)=(−k−3,k−22)(-\mathrm{g},-f)=\left(-\mathrm{k}-3, \frac{\mathrm{k}-2}{2}\right) যা AB রেখার উপর অবস্থিত। ∴2(−k−3)−(k−22)+4=0\therefore 2(-k-3)-\left(\frac{k-2}{2}\right)+4=0 বা, −2k−6−(k−22)+4=0-2 k-6-\left(\frac{k-2}{2}\right)+4=0 বা, −2k−2−k−22=0-2 k-2-\frac{k-2}{2}=0 বা, −4k−4−k+2=0-4 k-4-k+2=0 বা, −5k−2=0-5 \mathrm{k}-2=0 বা, 5k=−25 \mathrm{k}=-2 ∴k=−25\therefore \mathrm{k}=-\frac{2}{5} k-এর মান (4)নং এ বসিয়ে পাই, x2+y2+6x+2y+6−25(2x−y+4)=0x^2+y^2+6 x+2 y+6-\frac{2}{5}(2 x-y+4)=0 বা, 5x2+5y2+30x+10y+30−4x+2y−8=05 x^2+5 y^2+30 x+10 y+30-4 x+2 y-8=0 ∴5x2+5y2+26x+12y+22=0\therefore 5 x^2+5 y^2+26 x+12 y+22=0 নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, 5x2+5y2+26x+12y+22=0.5 x^2+5 y^2+26 x+12 y+22=0 .
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্তDinajpur
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

  • ক
    (0,0)
  • খ
    (2,-5)
  • গ
    (-2,5)
  • ঘ
    (-2,-5)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.x²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    0
  • খ
    6\sqrt{6}
  • গ
    3
  • ঘ
    6

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 এবং x2+y2+6x+8y+c=0x^2 + y^2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে এর মান কত?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    -39
  • খ
    -21
  • গ
    21
  • ঘ
    39

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব ii. বৃত্তের উপরে কেবলমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে iii. (0, 0) বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত নিচের কোনটি সঠিক?

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

বরিশাল বোর্ড

  • ক
    2
  • খ
    252\sqrt{5}
  • গ
    4
  • ঘ
    454\sqrt{5}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.x2+y2−4x−6y=0x^2 + y^2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন করে iii. y-অক্ষকে (0, - 6) বিন্দুতে ছেদ করে নিচের কোনটি সঠিক?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    3/2
  • খ
    5/2
  • গ
    41/2\sqrt{41}/2
  • ঘ
    25/4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

  • ক
    5/2\sqrt{5}/2
  • খ
    5\sqrt{5}
  • গ
    25\sqrt{5}
  • ঘ
    5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে (\pi \over 2\) কোণ উৎপন্ন করে। উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত cm2?

  • ক
    21.5
  • খ
    20.5
  • গ
    22.5
  • ঘ
    23.0

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.পোলার স্থানাঙ্কে r2−2rsinr^2-2rsinθ\theta = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সিলেট বোর্ড

  • ক
    2 একক
  • খ
    ও একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    6 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x2+y2−6x+8y=0x^2 + y^2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    3
  • খ
    61\sqrt{61}
  • গ
    310\sqrt{10}
  • ঘ
    92\sqrt{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x−8y+c=02x^2+2y^2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে c = 8 iii. c = 2 হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 নিচের কোনটি সঠিক?

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

A(4, 7) ও B(-8, 3) বিন্দুদ্বয় একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু হলে বৃত্তটির কেx²+y² +6y=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?x 2 + y 2 = 9 এবং x 2 + y 2 + 6x + 8y + c = 0 বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্বৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দুতে স্পর্শককে সংজ্ঞায়িত করা হয়- i. স্পর্শবিন্দুগামী ব(0, 1) বিন্দু হতে x² + y² - 8x-6y +21 = 0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কx 2 + y 2- 4x - 6y = 0 বৃত্তটি- i. মূলবিন্দুগামী ii. x-অক্ষ থেকে 4 একক অংশ খণ্ডন(1, 0) এবং (0, 2) বিন্দুদ্বয়গামী এবং x-অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার(2, 3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ2 cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে ( [গণিত] 2 ) কোণ উৎপন্ন করে। উক্তপোলার স্থানাঙ্কে r 2-2rsin [গণিত] = 3 একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত(3,-1) বিন্দুগামী বৃত্তটি x 2 + y 2- 6x + 8y = 0 বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক হলে বৃ2x 2+2y 2 + 4x - 8y + c = 0 বৃত্তে- i. কেন্দ্র (1,-2) ii. বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন