Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] = ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

P=nsin⁡αcos⁡α1−nsin⁡2α−tan⁡βP=\frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1-n \sin^2 \alpha}-\tan \beta Q=cot⁡A+cot⁡B+cot⁡CQ=\cot A+\cot B+\cot C

Chittagong · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =sec⁡(π4+θ)sec⁡(π4−θ)=\sec \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) \sec \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right) =1cos⁡(π4+θ)⋅1cos⁡(π4−θ)=\frac{1}{\cos \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)} \cdot \frac{1}{\cos \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)} =112⋅2cos⁡(π4+θ)cos⁡(π4−θ)=\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot 2 \cos \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) \cos \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)} =22cos⁡(π2+2θ2)⋅cos⁡(π2−2θ2)=\frac{2}{2 \cos \left(\frac{\frac{\pi}{2}+2 \theta}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{\frac{\pi}{2}-2 \theta}{2}\right)} =2cos⁡π2+cos⁡2θ[cos⁡C+cos⁡D=2cos⁡C+D2⋅cos⁡C−D2]=\frac{2}{\cos \frac{\pi}{2}+\cos 2 \theta}\left[\cos C+\cos D=2 \cos \frac{C+D}{2} \cdot \cos \frac{C-D}{2}\right] =2cos⁡2θ[∵cos⁡π2=0]=\frac{2}{\cos 2 \theta}\left[\because \cos \frac{\pi}{2}=0\right] =2⋅1cos⁡2θ=2 \cdot \frac{1}{\cos 2 \theta} =2sec⁡2θ=2 \sec 2 \theta = ডানপক্ষ ∴(sec⁡π4+θ)⋅(sec⁡π4−θ)=2sec⁡2θ\therefore \left(\sec \frac{\pi}{4}+\theta\right) \cdot\left(\sec \frac{\pi}{4}-\theta\right)=2 \sec 2 \theta. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, P=nsin⁡αcos⁡α1−nsin⁡2α−tan⁡β\mathrm{P}=\frac{\mathrm{n} \sin \alpha \cos \alpha}{1-\mathrm{n} \sin^2 \alpha}-\tan \beta P=0P=0 হলে, nsin⁡αcos⁡α1−nsin⁡2α−tan⁡β=0\frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1-n \sin^2 \alpha}-\tan \beta=0 বা, tan⁡β=nsin⁡αcos⁡α1−nsin⁡2α\tan \beta=\frac{n \sin \alpha \cos \alpha}{1-n \sin^2 \alpha} =nsin⁡α⋅cos⁡α⋅1cos⁡2α(1−nsin⁡2α)⋅1cos⁡2α= \frac{n \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}}{\left(1-n \sin^2 \alpha\right) \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}} =nsin⁡αcos⁡α⋅cos⁡αcos⁡α1cos⁡2α−nsin⁡2αcos⁡2α= \frac{n \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}-\frac{n \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} =ntan⁡α⋅1sec⁡2α−ntan⁡2α= \frac{n \tan \alpha \cdot 1}{\sec^2 \alpha-n \tan^2 \alpha} ∴tan⁡β=ntan⁡α1+tan⁡2α−ntan⁡2α\therefore \quad \tan \beta= \frac{n \tan \alpha}{1+\tan^2 \alpha-n \tan^2 \alpha} বামপক্ষ =tan⁡(α−β)=\tan (\alpha-\beta) =tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β=tan⁡α−ntan⁡α1+tan⁡2α−ntan⁡2α1+tan⁡αntan⁡α1+tan⁡2α−ntan⁡2α=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}=\frac{\tan \alpha-\frac{n \tan \alpha}{1+\tan^2 \alpha-n \tan^2 \alpha}}{1+\tan \alpha \frac{n \tan \alpha}{1+\tan^2 \alpha-n \tan^2 \alpha}} =tan⁡α+tan⁡3α−ntan⁡3α−ntan⁡α1+tan⁡2α−ntan⁡2α1+tan⁡2α−ntan⁡2α+ntan⁡2α1+tan⁡2α−ntan⁡2α=\frac{\frac{\tan \alpha+\tan^3 \alpha-n \tan^3 \alpha-n \tan \alpha}{1+\tan^2 \alpha-n \tan^2 \alpha}}{\frac{1+\tan^2 \alpha-n \tan^2 \alpha+n \tan^2 \alpha}{1+\tan^2 \alpha-n \tan^2 \alpha}} =tan⁡α(1+tan⁡2α)−ntan⁡α(1+tan⁡2α)1+tan⁡2α−ntan⁡2α1+tan⁡2α1+tan⁡2α−ntan⁡2α=\frac{\frac{\tan \alpha\left(1+\tan^2 \alpha\right)-n \tan \alpha\left(1+\tan^2 \alpha\right)}{1+\tan^2 \alpha-n \tan^2 \alpha}}{\frac{1+\tan^2 \alpha}{1+\tan^2 \alpha-n \tan^2 \alpha}} =(1+tan⁡2α)(tan⁡α−ntan⁡α)1+tan⁡2α−ntan⁡2α×1+tan⁡2α−ntan⁡2α1+tan⁡2α=\frac{\left(1+\tan^2 \alpha\right)(\tan \alpha-n \tan \alpha)}{1+\tan^2 \alpha-n \tan^2 \alpha} \times \frac{1+\tan^2 \alpha-n \tan^2 \alpha}{1+\tan^2 \alpha} =\frac{\left(1+\tan^2 \alpha\right)(\tan \alpha-n \tan \alpha)}{\left.(1+\tan }^2 \alpha\right)} =tan⁡α−ntan⁡αtan⁡α=\frac{\tan \alpha-n \tan \alpha}{\tan \alpha} =(1−n)tan⁡α==(1-n) \tan \alpha= ডানপক্ষ ∴tan⁡(α−β)=(1−n)tan⁡α\therefore \tan (\alpha-\beta)=(1-n) \tan \alpha (দেশানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, A+B+C=π\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi এবং θ=cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C\theta=\cot \mathrm{A}+\cot \mathrm{B}+\cot \mathrm{C} এখন, A+B+C=π\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi বা, B+C=π−A\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi-\mathrm{A} বা, cot⁡(B+C)=cot⁡(π−A)\cot (B+C)=\cot (\pi-A) বা, cot⁡Bcot⁡C−1cot⁡B+cot⁡C=−cot⁡A\frac{\cot B \cot C-1}{\cot B+\cot C}=-\cot A বা, cot⁡Bcot⁡C−1=−cot⁡Acot⁡B−cot⁡Ccot⁡A\cot \mathrm{B} \cot \mathrm{C}-1=-\cot \mathrm{A} \cot \mathrm{B}-\cot \mathrm{C} \cot \mathrm{A} ∴cot⁡Acot⁡B+cot⁡Bcot⁡C+cot⁡Ccot⁡A=1\therefore \quad \cot A \cot B+\cot B \cot C+\cot C \cot A=1 …….(1)\ldots\ldots. (1) আবার, Q2=3\mathrm{Q}^2=3 হলে, (cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C)2=3(\cot A+\cot B+\cot C)^2=3 বা, cot⁡2 A+cot⁡2 B+cot⁡2C+2cot⁡ Acot⁡ B+2cot⁡ Bcot⁡C\cot^2 \mathrm{~A}+\cot^2 \mathrm{~B}+\cot^2 \mathrm{C}+2 \cot \mathrm{~A} \cot \mathrm{~B}+2 \cot \mathrm{~B} \cot \mathrm{C} +2cot⁡Ccot⁡A=3×1=3(cot⁡Acot⁡B+cot⁡Bcot⁡C+cot⁡Ccot⁡A)+2 \cot C \cot A=3 \times 1=3(\cot A \cot B+\cot B \cot C+\cot C \cot A) [(1)নং হতে] বা, cot⁡2 A+cot⁡2 B+cot⁡2C+2cot⁡ Acot⁡ B+2cot⁡ Bcot⁡C\cot^2 \mathrm{~A}+\cot^2 \mathrm{~B}+\cot^2 \mathrm{C}+2 \cot \mathrm{~A} \cot \mathrm{~B}+2 \cot \mathrm{~B} \cot \mathrm{C} +2cot⁡Ccot⁡A−3cot⁡Acot⁡B−3cot⁡Bcot⁡C−3cot⁡Ccot⁡A=0+2 \cot C \cot A-3 \cot A \cot B-3 \cot B \cot C-3 \cot C \cot A=0 বা, cot⁡2 A+cot⁡2 B+cot⁡2C−cot⁡Acot⁡B−cot⁡Bcot⁡C\cot^2 \mathrm{~A}+\cot^2 \mathrm{~B}+\cot^2 \mathrm{C}-\cot \mathrm{A} \cot \mathrm{B}-\cot \mathrm{B} \cot \mathrm{C} −cot⁡Ccot⁡A=0-\cot C \cot A=0 বা, 2cot⁡2 A+2cot⁡2 B+2cot⁡2C−2cot⁡ Acot⁡ B−2cot⁡ Bcot⁡C2 \cot^2 \mathrm{~A}+2 \cot^2 \mathrm{~B}+2 \cot^2 \mathrm{C}-2 \cot \mathrm{~A} \cot \mathrm{~B}-2 \cot \mathrm{~B} \cot \mathrm{C} −2cot⁡Ccot⁡ A=2×0-2 \cot \mathrm{C} \cot \mathrm{~A}=2 \times 0 [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে] বা, cot⁡2 A−2cot⁡ Acot⁡ B+cot⁡2 B+cot⁡2 B−2cot⁡ Bcot⁡C\cot^2 \mathrm{~A}-2 \cot \mathrm{~A} \cot \mathrm{~B}+\cot^2 \mathrm{~B}+\cot^2 \mathrm{~B}-2 \cot \mathrm{~B} \cot \mathrm{C} +cot⁡2C+cot⁡2C−2cot⁡Ccot⁡ A+cot⁡2 A=0+\cot^2 \mathrm{C}+\cot^2 \mathrm{C}-2 \cot \mathrm{C} \cot \mathrm{~A}+\cot^2 \mathrm{~A}=0 ∴(cot⁡ A−cot⁡B)2+(cot⁡B−cot⁡C)2+(cot⁡C−cot⁡A)2=0\therefore (\cot \mathrm{~A}-\cot \mathrm{B})^2+(\cot \mathrm{B}-\cot \mathrm{C})^2+(\cot \mathrm{C}-\cot \mathrm{A})^2=0 আমরা জানি, কতগুলো রাশির বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে, রাশিগুলোর মান পৃথক পৃথকভাবে শূন্য হবে। ∴(cot⁡A−cot⁡B)2=0\therefore(\cot A-\cot B)^2=0 বা, cot⁡A=cot⁡B\cot A=\cot B ∴A=B\therefore A=B আবার, (cot⁡B−cot⁡C)2=0(\cot \mathrm{B}-\cot \mathrm{C})^2=0 বা, cot⁡B=cot⁡C\cot B=\cot C ∴B=C\therefore B=C আবার, (cot⁡C−cot⁡A)2=0(\cot C-\cot A)^2=0 বা, cot⁡C=cot⁡A\cot C=\cot A ∴C=A\therefore C=A ∴A=B=C\therefore \mathrm{A}=\mathrm{B}=\mathrm{C}. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতChittagong
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.23\sqrt{3} একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

  • ক
    3π\pi
  • খ
    4π\pi
  • গ
    2π\pi
  • ঘ
    π\pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?

  • ক
    45°, 135°
  • খ
    35°, 135°
  • গ
    40°, 45°
  • ঘ
    45°, 145°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.1−tan⁡25∘1+tan⁡25∘=?\frac{1 - \tan 25^\circ }{1 +\tan 25^\circ} = ?

  • ক
    cot⁡20\cot 20°
  • খ
    2tan20°
  • গ
    tan⁡70\tan 70°
  • ঘ
    cot⁡70\cot 70°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.tan⁡θ\tan \theta =1/2 হলে sin⁡2θ\sin 2 \theta এর মান কোনটি?

ময়মংসিংহ বোর্ড

  • ক
    3/4
  • খ
    4/3
  • গ
    5/4
  • ঘ
    4/5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?

  • ক
    ৪ একক
  • খ
    6 একক
  • গ
    4 একক
  • ঘ
    2 একক

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.2α+2β+2γ=π2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = \pi হলে cosec⁡(\cosec (α+γ\alpha + \gamma) এর মান কত?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    -cosec⁡\cosecẞ
  • খ
    cosec⁡\cosecẞ
  • গ
    - sec⁡\secẞ
  • ঘ
    sec⁡\secẞ

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.∆ABC এর ∠A=75∘,∠B=45∘\angle A = 75^\circ , \angle B = 45^ \circহলে b: c = কত?

  • ক
    3:2\sqrt{3}:\sqrt{2}
  • খ
    1:2\sqrt{2}
  • গ
    2:1\sqrt{2}:1
  • ঘ
    2:3\sqrt{2}:\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?

  • ক
    0
  • খ
    π2\pi \over 2
  • গ
    π\pi
  • ঘ
    2π2 \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.6 sin⁡20\sin 20° - 8 sin⁡320\sin 320° এর মান কত?

  • ক
    -3\sqrt{3}
  • খ
    3\sqrt{3}
  • গ
    1
  • ঘ
    3\sqrt{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.cot⁡4θ−cot⁡2θ\cot 4 \theta - \cot 2 \theta এর মান কোনটি?

  • ক
    sin⁡θ\sin \theta
  • খ
    cosec⁡4θ\cosec 4 \theta
  • গ
    −cos⁡4θ-\cos 4 \theta
  • ঘ
    −cosec⁡4θ-\cosec 4\theta

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 103\sqrt{3} একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    60°
  • খ
    120°
  • গ
    30°
  • ঘ
    90°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.△ABC\triangle ABCএর sinA+sinB + sinC = কত?

  • ক
    S/R
  • খ
    R/S
  • গ
    S-R
  • ঘ
    S+R

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

2 [গণিত] একক বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?a4+b4+c4 = 2c²(a² + b²) হলে C এর মান কত?[গণিত][গণিত] =1/2 হলে [গণিত] এর মান কোনটি?কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য 13, 14 ও 15 একক হলে, অন্তঃব্যাসার্ধ কত?[গণিত] হলে [গণিত] ( [গণিত] ) এর মান কত?∆ABC এর [গণিত] হলে b: c = কত?যদি tanA + tanB + tanC = tanAtanB tanC হয় তবে A + B + C এর মান নিচের কোনটি?6 [গণিত] 20° - 8 [গণিত] 320° এর মান কত?[গণিত] এর মান কোনটি?∆ABC এর পরিব্যাসার্ধ 10 একক। যদি = 10 [গণিত] একক হয়, তবে C কোণের মান নিচের কোনটি[গণিত] এর sinA+sinB + sinC = কত?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন