[গণিত] এবং [গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত] .
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] হলে, [গণিত] কতগুলো বর্গরাশির যোগফল শূন্য হলে, তাদের প্রত্যেকটি রাশির মান আলাদা আলাদাভাবে শূন্য হয়। [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (দেখানো হলো)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
এবং হলে দেখাও যে, .
উদ্দীপক
A=\left[\[\begin{array}{lll}x y & y z & z x \x^2 & y^2 & z^2 \x & y & z\end{array}\]\right]
Barisal · 2025
উত্তর
বামপক্ষ =\left|\[\begin{array}{ccc}y z & z x & x y \\ \frac{1}{x} & \frac{1}{y} & \frac{1}{z} \P & Q & R\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc}\frac{x y z}{x} & \frac{x y z}{y} & \frac{x y z}{z} \\ \frac{1}{x} & \frac{1}{y} & \frac{1}{z} \p & Q & R\end{array}\]\right|
=x y z\left|\[\begin{array}{ccc}\frac{1}{x} & \frac{1}{y} & \frac{1}{z} \\ \frac{1}{x} & \frac{1}{y} & \frac{1}{z} \P & Q & R\end{array}\]\right|
প্রথম দুইটি সারি একই]
= 0 = ডানপক্ষ
\therefore\left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{yz} & \mathrm{zx} & \mathrm{xy} \\ \frac{1}{\mathrm{x}} & \frac{1}{\mathrm{y}} & \frac{1}{\mathrm{z}} \\ \mathrm{P} & \mathrm{Q} & \mathrm{R}\end{array}\]\right|=0. (দেখানো হলো)
উত্তর
দেওয়া আছে, A=\left[\[\begin{array}{ccc}x y & y z & z x \x^2 & y^2 & z^2 \x & y & z\end{array}\]\right]
\therefore |A| =\left|\[\begin{array}{ccc}x y & y z & z x \x^2 & y^2 & z^2 \x & y & z\end{array}\]\right|
=x y z\left|\[\begin{array}{ccc}y & z & x \x & y & z \\ 1 & 1 & 1\end{array}\]\right|
=x y z\left|\[\begin{array}{ccc}y-x & z-x & x \x-z & y-z & z \\ 1-1 & 1-1 & 1\end{array}\]\right|
\left[\[\begin{array}{cc}\because c_1^{\prime}=c_1-c_3 \c_2^{\prime}=c_2-c_3\end{array}\]\right]
=x y z\left|\[\begin{array}{ccc}y-x & z-x & x \x-z & y-z & z \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right|
=x y z\left|\[\begin{array}{cc}y-x & z-x \x-z & y-z\end{array}\]\right|
এবং হলে,
কতগুলো বর্গরাশির যোগফল শূন্য হলে, তাদের প্রত্যেকটি রাশির মান আলাদা আলাদাভাবে শূন্য হয়।
বা,
বা,
এবং
বা,
বা,
এবং
বা,
বা,
. (দেখানো হলো)
উত্তর
দেওয়া আছে, A=\left[\[\begin{array}{ccc}x y & y z & z x \x^2 & y^2 & z^2 \x & y & z\end{array}\]\right]
হলে, A=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\]\right]+2\left[\[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\]\right]+\left[\[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{lll}3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\]\right]=B (ধরি)
\therefore |B| =\left|\[\begin{array}{lll}3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\]\right|
নির্ণয়যোগ্য।
Adj B=\left[\[\begin{array}{lll}B_{11} & B_{12} & B_{13} \B_{21} & B_{22} & B_{23} \B_{31} & B_{32} & B_{33}\end{array}\]\right]^{\mathrm{T}}
B এর সহগসমূহ,
B_{11}=\left|\[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\]\right|=9-1=8 .
B_{12}=-\left|\[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\]\right|=-(3-1)=-2
B_{13}=\left|\[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 1 & 1\end{array}\]\right|=1-3=-2
B_{21}=-\left|\[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\]\right|=-(3-1)=-2
B_{22}=\left|\[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\]\right|=9-1=8
B_{23}=-\left|\[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\]\right|=-(3-1)=-2
B_{31}=\left|\[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 3 & 1\end{array}\]\right|=1-3=-2
\mathrm{B}_{32}=-\left|\[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\]\right|=-(3-1)=-2
\mathrm{~B}_{33}=\left|\[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\]\right|=9-1=8
Adj \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{rrr}8 & -2 & -2 \\ -2 & 8 & -2 \\ -2 & -2 & 8\end{array}\]\right]^{\mathrm{T}}
=\left[\[\begin{array}{rrr}8 & -2 & -2 \\ -2 & 8 & -2 \\ -2 & -2 & 8\end{array}\]\right]
=\frac{1}{|B|} \operatorname{Adj} B=\frac{1}{20}\left[\[\begin{array}{rrr}8 & -2 & -2 \\ -2 & 8 & -2 \\ -2 & -2 & 8\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rrr}\frac{8}{20} & \frac{-2}{20} & \frac{-2}{20} \\ \frac{-2}{20} & \frac{8}{20} & \frac{-2}{20} \\ \frac{-2}{20} & \frac{-2}{20} & \frac{8}{20}\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rrr}\frac{2}{5} & -\frac{1}{10} & -\frac{1}{10} \\ -\frac{1}{10} & \frac{2}{5} & -\frac{1}{10} \\ -\frac{1}{10} & -\frac{1}{10} & \frac{2}{5}\end{array}\]\right]
নির্ণেয় \left(A+2 I_3\right)^{-1}=\left[\[\begin{array}{rrr}\frac{2}{5} & -\frac{1}{10} & -\frac{1}{10} \\ -\frac{1}{10} & \frac{2}{5} & -\frac{1}{10} \\ -\frac{1}{10} & -\frac{1}{10} & \frac{2}{5}\end{array}\]\right].