[গণিত] হলে, [গণিত] নির্ণয় কর।
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] হলে, [গণিত] বিদ্যমান। Adj [গণিত] এর সহগুণকগুলি হচ্ছে: [গণিত] নির্ণেয় [গণিত] .
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
হলে, নির্ণয় কর।
উদ্দীপক
M=\left[\[\begin{array}{ccc}(b+c)^2 & a^2 & a^2 \b^2 & (c+a)^2 & b^2 \c^2 & c^2 & (a+b)^2\end{array}\]\right]
Chittagong · 2025
উত্তর
\left[\[\begin{array}{cc}x-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] ম্যাট্রিক্সটি একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে যদি \left|\[\begin{array}{cc}x-2 & 3 \\4 & 5\end{array}\]\right|=0 হয়।
অর্থাৎ, \left|\[\begin{array}{cc}x-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right|=0
বা,
বা, .
বা,
বা,
হলে, \left[\[\begin{array}{cc}x-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে।
নির্ণেয় মান : .
উত্তর
দেওয়া আছে, M=\left[\[\begin{array}{ccc}(b+c)^2 & a^2 & a^2 \b^2 & (c+a)^2 & b^2 \c^2 & c^2 & (a+b)^2\end{array}\]\right]
বামপক্ষ
=\left|\[\begin{array}{ccc}(b+c)^2 & a^2 & a^2 \b^2 & (c+a)^2 & b^2 \c^2 & c^2 & (a+b)^2\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc}(b+c)^2 & a^2-(b+c)^2 & a^2-(b+c)^2 \b^2 & (c+a)^2-b^2 & b^2-b^2 \c^2 & c^2-c^2 & (a+b)^2-c^2\end{array}\]\right|
\left[\[\begin{array}{l}c^2=c_2-c_1 \c_3=c_3-c_1\end{array}\]\right]
=\left|\[\begin{array}{cccc}(b+c)^2 & (a+b+c)(a-b-c) & (a+b+c)(a-b-c) \b^2 & (a+b+c)(c+a-b) & 0 \c^2 & 0 & (a+b+c)(a+b-c)\end{array}\]\right|
=(a+b+c)^2\left|\[\begin{array}{ccc}b^2+2 b c+c^2 & a-b-c & a-b-c \b^2 & c+a-b & 0 \c^2 & 0 & a+b-c\end{array}\]\right|
=(a+b+c)^2\left|\[\begin{array}{ccc}2 b c & -2 c & -2 b \b^2 & c+a-b & 0 \c^2 & 0 & a+b-c\end{array}\]\right|
=2(a+b+c)^2\left|\[\begin{array}{ccc}b c & -c & -b \b^2 & c+a-b & 0 \c^2 & 0 & a+b-c\end{array}\]\right|
=2(a+b+c)^2\left|\[\begin{array}{ccc}b c & 0 & 0 \b^2 & c+a & \frac{b^2}{c} \c^2 & \frac{c^2}{b} & a+b\end{array}\]\right|
\left[\[\begin{array}{l}c_2^{\prime}=c_2+\frac{1}{b} c_1 \c_3^{\prime}=c_3+\frac{1}{c} c_1\end{array}\]\right]
=\frac{2}{b c}(a+b+c)^2\left|\[\begin{array}{ccc}b c & 0 & 0 \b^2 & b c+a b & b^2 \c^2 & c^2 & a c+b c\end{array}\]\right|
=\frac{2}{b c}(a+b+c)^2 b c\left|\[\begin{array}{ccc}b c & 0 & 0 \b & c+a & b \c & c & a+b\end{array}\]\right|
ডানপক্ষ
. (দেখানো হলো)
উত্তর
দেওয়া আছে, M=\left[\[\begin{array}{ccc}(b+c)^2 & a^2 & a^2 \b^2 & (c+a)^2 & b^2 \c^2 & c^2 & (a+b)^2\end{array}\]\right]
হলে, M=\left[\[\begin{array}{ccc}(1+1)^2 & 1^2 & 1^2 \\ 1^2 & (1+1)^2 & 1^2 \\ 1^2 & 1^2 & (1+1)^2\end{array}\]\right]
\therefore M=\left[\[\begin{array}{lll}4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4\end{array}\]\right]
\therefore |M|=\left|\[\begin{array}{lll}4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4\end{array}\]\right|
বিদ্যমান।
Adj \mathbf{M}=\left[\[\begin{array}{lll}\mathbf{M}_{11} & \mathbf{M}_{12} & \mathbf{M}_{13} \\ \mathbf{M}_{21} & \mathbf{M}_{22} & \mathbf{M}_{23} \\ \mathbf{M}_{31} & \mathbf{M}_{32} & \mathbf{M}_{33}\end{array}\]\right]^{\mathbf{T}}
এর সহগুণকগুলি হচ্ছে:
M_{11}=\left|\[\begin{array}{ll}4 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\]\right|=16-1=15
M_{12}=-\left|\[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\]\right|=-(4-1)=-3
M_{13}=\left|\[\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 1 & 1\end{array}\]\right|=1-4=-3
M_{21}=-\left|\[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\]\right|=-(4-1)=-3
M_{22}=\left|\[\begin{array}{ll}4 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\]\right|=16-1=15
M_{23}=-\left|\[\begin{array}{ll}4 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\]\right|=-(4-1)=-3
M_{31}=\left|\[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 4 & 1\end{array}\]\right|=1-4=-3
M_{32}=-\left|\[\begin{array}{ll}4 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\]\right|=-(4-1)=-3
M_{33}=\left|\[\begin{array}{ll}4 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\]\right|=16-1=15
\therefore \operatorname{Adj}(\mathrm{M})=\left[\[\begin{array}{rrr}15 & -3 & -3 \\ -3 & 15 & -3 \\ -3 & -3 & 15\end{array}\]\right]^{\top}
=\left[\[\begin{array}{ccc}15 & -3 & -3 \\ -3 & 15 & -3 \\ -3 & -3 & 15\end{array}\]\right]
=\frac{1}{54}\left[\[\begin{array}{rrr}15 & -3 & -3 \\ -3 & 15 & -3 \\ -3 & -3 & 15\end{array}\]\right]
=\frac{1}{54} \times 3\left[\[\begin{array}{rrr}5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5\end{array}\]\right]
=\frac{1}{18}\left[\[\begin{array}{rrr}5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5\end{array}\]\right]
নির্ণেয় \mathrm{M}^{-1}=\frac{1}{18}\left[\[\begin{array}{rrr}5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5\end{array}\]\right].