Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .

উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] প্রথম দুইটি কলাম একই] = 0 = ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: A=\left[\[\begin{array}{rrr}2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\]\right], f(α)=α2−5αf(\alpha)=\alpha^2-5 \alpha দৃশ্যকক্স-২ : \beta=\left[\[\begin{array}{lll}3 x+2 y+z & x+2 y+3 z & 2 x+y+4 z\end{array}\]\right] এবং \gamma=\left[\[\begin{array}{lll}3 & -1 & 2\end{array}\]\right]

Mymensingh · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =\left|\[\begin{array}{lll}3+a & a & 12-a \\ 4+b & b & 16-b \\ 5+c & c & 20-c\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{lll}4(3+a)-(12-a) & a & 12-a \\ 4(4+b)-(16-b) & b & 16-b \\ 4(5+c)-(20-c) & c & 20-c\end{array}\]\right| [c1′=4c1−c3]\left[c_1^{\prime}=4 c_1-c_3\right] =\left|\[\begin{array}{lll}12+4 a-12+a & a & 12-a \\ 16+4 b-16+b & b & 16-b \\ 20+4 c-20+c & c & 20-c\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{ccc}5 \mathrm{a} & \mathrm{a} & 12-\mathrm{a} \\ 5 \mathrm{~b} & \mathrm{~b} & 16-\mathrm{b} \\ 5 \mathrm{c} & \mathrm{c} & 20-\mathrm{c}\end{array}\]\right| =5\left|\[\begin{array}{ccc}\mathrm{a} & \mathrm{a} & 12-\mathrm{a} \\ \mathrm{b} & \mathrm{b} & 16-\mathrm{b} \\ \mathrm{c} & \mathrm{c} & 20-\mathrm{c}\end{array}\]\right| =5×0[∵=5 \times 0 [\because প্রথম দুইটি কলাম একই] = 0 = ডানপক্ষ \therefore\left|\[\begin{array}{ccc}3+a & a & 12-a \\ 4+b & b & 16-b \\ 5+c & c & 20-c\end{array}\]\right|=0. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{rrr}2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\]\right] এবং f(α)=α2−5αf(\alpha)=\alpha^2-5 \alpha ∴f( A)=A2−5 A\therefore f(\mathrm{~A})=\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A} এখন, f( A)+4I3=0f(\mathrm{~A})+4 \mathrm{I}_3=0; যেখানে, \mathrm{I}_3=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right] বা, A2−5 A+4I3=0\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+4 \mathrm{I}_3=0 বা, A−1(A2−5A+4I3)=A−1⋅0A^{-1}\left(A^2-5 A+4 I_3\right)=A^{-1} \cdot 0 বা, A−1⋅A2−5A−1⋅A+4A−1⋅I3=0A^{-1} \cdot A^2-5 A^{-1} \cdot A+4 A^{-1} \cdot I_3=0 বা, A−1⋅A⋅A−5A−1⋅A+4A−1⋅I3=0A^{-1} \cdot A \cdot A-5 A^{-1} \cdot A+4 A^{-1} \cdot I_3=0 বা, I3A−5I3+4A−1=0[∵A−1A=II_3 A-5 I_3+4 A^{-1}=0\left[\because A^{-1} A=I\right. এবং A−1⋅I=A−1]\left.A^{-1} \cdot I=A^{-1}\right] বা, A−5I3+4 A−1=0\mathrm{A}-5 \mathrm{I}_3+4 \mathrm{~A}^{-1}=0 বা, 4 A−1=5I3−A4 \mathrm{~A}^{-1}=5 \mathrm{I}_3-\mathrm{A} বা, 4 A^{-1}=5\left[\[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{rrr}2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\]\right] বা, 4 A^{-1}=\left[\[\begin{array}{lll}5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{rrr}2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{lll}5-2 & 0-3 & 0+1 \\ 0-2 & 5-0 & 0-2 \\ 0-1 & 0+2 & 5-0\end{array}\]\right] \therefore A^{-1}=\frac{1}{4}\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 1 \\ -2 & 5 & -2 \\ -1 & 2 & 5\end{array}\]\right] নির্ণেয় A^{-1}=\frac{1}{4}\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 1 \\ -2 & 5 & -2 \\ -1 & 2 & 5\end{array}\]\right].

উত্তর

দেওয়া আছে, \beta=\left[\[\begin{array}{lll}3 x+2 y+z & x+2 y+3 z & 2 x+y+4 z\end{array}\]\right] এবং \gamma=\left[\[\begin{array}{lll}3 & -1 & 2\end{array}\]\right] এখন, βT=γT\beta^{\mathrm{T}}=\gamma^{\mathrm{T}} হলে, \left[\[\begin{array}{lll}3 x+2 y+z & x+2 y+3 z & 2 x+y+4 z\end{array}\]\right]^T =\left[\[\begin{array}{lll}3 & -1 & 2\end{array}\]\right]^T বা, \left[\[\begin{array}{l}3 x+2 y+z \x+2 y+3 z \\ 2 x+y+4 z\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{r}3 \\ -1 \\ 2\end{array}\]\right] ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে পাই, 3x+2y+z=33 x+2 y+z =3 x+2y+3z=−1x+2 y+3 z =-1 এবং 2x+y+4z=22 x+y+4 z =2 x,y,zx, y, z এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \mathrm{D} =\left|\[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4\end{array}\]\right| =3(8−3)−2(4−6)+1(1−4)=3(8-3)-2(4-6)+1(1-4) =15+4−3=16=15+4-3=16 এখন, D_x =\left|\[\begin{array}{rrr}3 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4\end{array}\]\right| =3(8−3)−2(−4−6)+1(−1−4)=3(8-3)-2(-4-6)+1(-1-4) =15+20−5=30=15+20-5=30 D_y =\left|\[\begin{array}{rrr}3 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & 4\end{array}\]\right| =3(−4−6)−3(4−6)+1(2+2)=3(-4-6)-3(4-6)+1(2+2) =−30+6+4=−20=-30+6+4=-20 এবং D_2 =\left|\[\begin{array}{rrr}3 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 2\end{array}\]\right| =3(4+1)−2(2+2)+3(1−4)=3(4+1)-2(2+2)+3(1-4) =15−8−9=−2=15-8-9=-2 ∴x=DxD=3016=158,\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{30}{16}=\frac{15}{8}, y=DyD=−2016=−54y=\frac{D_y}{D}=\frac{-20}{16}=-\frac{5}{4} এবং z=DzD=−216=−18z=\frac{D_z}{D}=\frac{-2}{16}=-\frac{1}{8} নির্ণেয় সমাধান, (x,y,z)=(158,−54,−18)(x, y, z)=\left(\frac{15}{8},-\frac{5}{4},-\frac{1}{8}\right).
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়কMymensingh
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.∣a2abacab−b2bc]6pt]acbc−c2∣\begin{vmatrix} a^2& ab& ac\\[6pt] ab&-b^2 &bc\\]6pt] ac&bc& -c^2\end{vmatrix}এর মান কত?

  • ক
    a2b2c2a^2b^2c^2
  • খ
    2abc
  • গ
    4a2b2c24a^2b^2c^2
  • ঘ
    4abc

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.A=\left[\[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 4 & 1\end{array}\]\right] হলে Adj⁡(A)=?\operatorname{Adj}(A)= ?

যশোর বোর্ড

  • ক
    \left[\[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 4 & 2\end{array}\]\right]
  • খ
    \left[\[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 3 & 1\end{array}\]\right]
  • গ
    \left[\[\begin{array}{rr}1 & -3 \\ -4 & 2\end{array}\]\right]
  • ঘ
    \left[\[\begin{array}{rr}-1 & 3 \\ 4 & -2\end{array}\]\right]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.\left(\[\begin{array}{cc}k \sqrt{k} & 2 \\ 2 & \sqrt{k}\end{array}\]\right)একটি বাস্তব মেট্রিক্স। k এর কোন মানের জন্য মেট্রিক্সটির বিপরীত মেট্রিক্স পাওয়া যাবে না।

  • ক
    −2-2
  • খ
    22
  • গ
    ±2\pm 2
  • ঘ
    2\sqrt{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.x এর কোন কোন মানের জন্য (\left[

2−x13510−x\begin{array}{ll}2-x & 13 \\ 5 & 10-x\end{array}
\right]\) ম্যাট্রিক্সটি একটি ব্যতিক্রেমী ম্যাট্রিক্স হবে?

  • ক
    -15 ও -3
  • খ
    -15 ও 3
  • গ
    15 ও -3
  • ঘ
    13 ও 5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.' a ' এর মান কত হলে ( \left|

1000a000a\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}
\right|=1\) হবে

  • ক
    11
  • খ
    ±1\pm 1
  • গ
    00
  • ঘ
    −1-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.A=\left[\[\begin{array}{lll}2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\]\right]একটি- i. বর্গ ম্যাট্রিক্স ii. ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স iii. প্রতিসম ম্যাট্রিক্স निচের কোনটি সঠিক?

কুমিল্লা বোর্ড

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.A=\left[\[\begin{array}{cc}1 & -4 \\ 1 & 2\end{array}\]\right]ও (B=\left[

x003412−21\begin{array}{ccc}x & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & -2 & 1\end{array}
\right]\) হলে, x-এর কোন মানের জন্য ∣A∣=∣B∣|A|=|B|হবে?

  • ক
    1
  • খ
    −1-1
  • গ
    0
  • ঘ
    2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে (IAI = ?\)

  • ক
    II
  • খ
    AA
  • গ
    A−1\mathrm{A}^{-1}
  • ঘ
    IAIA

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.M=\left[\[\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 4 & 3\end{array}\]\right] হলে M−2I=M-2 I= কত? [I হলো একক ম্যাট্রিক্স]

  • ক
    \left[\[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 2 & 2\end{array}\]\right]
  • খ
    \left[\[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\]\right]
  • গ
    \left[\[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\]\right]
  • ঘ
    \left[\[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\]\right]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.নির্ণায়ক (\left|

101112202124101010\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 20 & 21 & 24 \\ 10 & 10 & 10\end{array}
\right|\) এর মান কত?

  • ক
    1010
  • খ
    2020
  • গ
    11
  • ঘ
    00

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.A=\left[\[\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 5 & -3\end{array}\]\right]হলে,A−1A^{-1} এর মাन কোনটি?

ঢাকা বোর্ড

  • ক
    \left[\[\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 5 & -3\end{array}\]\right]
  • খ
    \left[\[\begin{array}{ll}-3 & -1 \\ -5 & -2\end{array}\]\right]
  • গ
    \left[\[\begin{array}{ll}3 & -1 \\ 5 & -2\end{array}\]\right]
  • ঘ
    \left[\[\begin{array}{rr}3 & 1 \\ -5 & 2\end{array}\]\right]

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.x এর কোন মানের জন্য \left|\[\begin{array}{rr}3 & -2 \\ 2 & 2\end{array}\]\right|=\left|\[\begin{array}{rrr}x & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & -2 & 0\end{array}\]\right|হবে?

চট্রগ্রাম বোর্ড

  • ক
    -5
  • খ
    -1
  • গ
    1
  • ঘ
    5

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কত?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] একটি বাস্তব মেট্রিক্স। k এর কোন মানের জন্য মেট্রিক্সটির বিপরীত মেট্রিক্স x এর কোন কোন মানের জন্য ( [গণিত] [ [গণিত] ] ) ম্যাট্রিক্সটি একটি ব্যতিক্রেমী ম্য' a ' এর মান কত হলে ( [গণিত] | [গণিত] |=1 ) হবে[গণিত] একটি- i. বর্গ ম্যাট্রিক্স ii. ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স iii. প্রতিসম ম্যাট্র[গণিত] ও (B= [গণিত] [ [গণিত] x & 0 & 0 3 & 4 & 1 2 & -2 & 1 [গণিত] ] ) হলে, x-এরযদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে (IAI = ? )[গণিত] হলে [গণিত] কত? [I হলো একক ম্যাট্রিক্স]নির্ণায়ক ( [গণিত] | [গণিত] | ) এর মান কত?[গণিত] হলে, [গণিত] এর মাन কোনটি?x এর কোন মানের জন্য [গণিত] হবে?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন