Chapter 7 : ব্যাবহারিক জ্যামিতি সাধারণ গণিত

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ 60° এবং 45°। শীর্ষ থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 3 সে.মি.।

Chittagong · 2016

ক

প্রদত্ত তথ্যগুলিকে চিত্রের মাধ্যমে দেখাও।

উত্তর

চিত্রে, ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ $\angle x = 45^\circ$ এবং $\angle y = 60^\circ$ । ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য $d = 3$ সে.মি. ।

খ

অঙ্কনের বিবরণসহ ত্রিভুজটি আঁক।

উত্তর

'ক' থেকে পাই, ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি যথাক্রমে $\angle x = 45^\circ$ ও $\angle y = 60^\circ$ এবং শীর্ষ থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য $d = 3$ সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কনের বিবরণ: (১) যেকোনো রশ্মি $AE$ থেকে $AD = d$ নিই। $AD$ এর $A$ ও $D$ বিন্দুতে যথাক্রমে $PAQ$ এবং $MDN$ লম্ব আঁকি। (২) $PQ$ রেখাংশের $A$ বিন্দুতে $\angle x = \angle PAB$ এবং $\angle y = \angle QAC$ আঁকি। (৩) মনেকরি, $AB$ ও $AC$ রেখাংশ $MN$ রেখাকে $B$ ও $C$ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, $\triangle ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

গ

ত্রিভুজটি যদি $ABC$ হয় এবং এর ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি যদি $60^\circ$ এবং $45^\circ$ হয় এবং এদের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় $O$ বিন্দুতে মিলিত হলে, দেখাও যে, $\angle \mathrm{BOC} = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle \mathrm{A}$ ।

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$ এর ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ $\angle B = 60^\circ$ এবং $\angle C = 45^\circ$ এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় $O$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। অর্থাৎ, $BO$ এবং $CO$ যথাক্রমে $\angle \mathrm{ABC}$ এবং $\angle \mathrm{ACB}$ এর সমদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle \mathrm{BOC} = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle \mathrm{A}$। প্রমাণ: ধাপ (১) $\triangle \mathrm{ABC}$-এ $\angle \mathrm{A} + \angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{C} = 180^\circ$ [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$] বা, $\frac{1}{2}\angle \mathrm{A} + \frac{1}{2}\angle \mathrm{B} + \frac{1}{2}\angle \mathrm{C} = 90^\circ$ [উভয় পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে পাই] $\therefore \frac{1}{2}\angle \mathrm{B} + \frac{1}{2}\angle \mathrm{C} = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle \mathrm{A}$ $\ldots\ldots... (i)$ ধাপ (২) $\triangle \mathrm{BOC}$-এ $\angle \mathrm{BOC} + \angle \mathrm{OBC} + \angle \mathrm{OCB} = 180^\circ$ বা, $\angle \mathrm{BOC} + \frac{1}{2}\angle \mathrm{B} + \frac{1}{2}\angle \mathrm{C} = 180^\circ$ [$\because$ $BO$ এবং $CO$ রেখা যথাক্রমে $\angle B$ ও $\angle C$-এর সমদ্বিখণ্ডক] বা, $\angle \mathrm{BOC} + 90^\circ - \frac{1}{2}\angle \mathrm{A} = 180^\circ$ [(i) নং হতে] বা, $\angle \mathrm{BOC} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle \mathrm{A}$ $\therefore \angle \mathrm{BOC} = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle \mathrm{A}$ (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

দুইটি কর্ণ $a = 4$ cm এবং $b = 6.5$ cm, অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle C = 45^\circ$.

Comilla · 2016

ক

প্রদত্ত তথ্যগুলোকে চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

উত্তর

চিত্রে, দুইটি কর্ণ $a = 4$ সে.মি. এবং $b = 6.5$ সে.মি. এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle C = 45^\circ$ আঁকা হয়েছে।

খ

প্রদত্ত তথ্য নিয়ে একটি সামান্তরিক অঙ্কন কর এবং বর্ণনা দাও।

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, একটি সামান্তরিকের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $a = 4$ সে. মি. ও $b = 6.5$ সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle C = 45^\circ$ দেওয়া আছে। সামান্তরিকটি আঁকতে হবে। অঙ্কনের বিবরণ: (১) যেকোনো রশ্মি $AM$ থেকে $AC = a = 4$ সে.মি. কেটে নিই। $AC$ এর মধ্যবিন্দু $O$ নির্ণয় করি। (২) $O$ বিন্দুতে $\angle AOP = \angle C = 45^\circ$ আঁকি। (৩) $OP$ এর বিপরীত রশ্মি $OQ$ আঁকি। (৪) কর্ণ $b$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করি। $OP$ এবং $OQ$ থেকে $\frac{1}{2}b$ এর সমান করে $OB$ এবং $OD$ অংশ কেটে নিই। (৫) এখন, $A, B$; $B, C$; $C, D$ এবং $D, A$ যোগ করি। তাহলে, $ABCD$-ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।

গ

কোনো ত্রিভুজের ভূমি $a$, ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $\angle C$ এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $b$ দৈর্ঘ্যের সমান বিবেচনা করে ত্রিভুজটি আঁক এবং বর্ণনা দাও।

উত্তর

বিশেষ নির্বাচন: কোন ত্রিভুজের ভূমি $a = 4$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $\angle C = 45^\circ$ এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি $b = 6.5$ সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কনের বিবরণ: (১) যে কোন রশ্মি CE থেকে ভূমি a এর সমান করে CB অংশ কাঁটি। (২) C বিন্দুতে $\angle BCF = \angle C$ আঁকি। (৩) CF থেকে b এর সমান করে CD অংশ কাঁটি। B, D যোগ করি। (৪) B বিন্দুতে BD রেখাংশের যে পাশে C বিন্দু আছে সেই পাশে $\angle BDC$ এর সমান করে $\angle DBG$ আঁকি যা CD রেখাংশকে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে $\triangle ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুটি কোণ $\angle x$ ও $\angle y$, পরিসীমা $p$ দেওয়া আছে।

Dinajpur · 2016

ক

উপরের তথ্যের আলোকে চিত্র আঁক।

উত্তর

ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ $\angle x$ ও $\angle y$ এবং ত্রিভুজের পরিসীমা $p$ দেওয়া আছে।

খ

ত্রিভুজটি অংকন কর (অংকনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক)

উত্তর

মনে করি, একটি ত্রিভুজের পরিসীমা $p$ এবং ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ $\angle x$ ও $\angle y$ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কন: ১. যেকোনো একটি রশ্মি $DF$ থেকে পরিসীমা $p$ এর সমান করে $DE$ অংশ কেটে নিই। $D$ ও $E$ বিন্দুতে $DE$ রেখাংশের একই পাশে $\angle x$ এর সমান $\angle EDL$ এবং $\angle y$ এর সমান $\angle DEM$ আঁকি। ২. কোণ দুইটির দ্বিখণ্ডক $DG$ ও $EH$ আঁকি। ৩. মনে করি, $DG$ ও $EH$ রশ্মিদয় পরস্পরকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। $A$ বিন্দুতে $\angle ADE$ এর সমান $\angle DAB$ এবং $\angle AED$ এর সমান $\angle EAC$ আঁকি। ৪. $AB$ এবং $AC$ রশ্মিদয় $DE$ রেখাংশকে যথাক্রমে $B$ ও $C$ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, $\triangle ABC$ ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ। প্রমাণ: $\triangle ABD$-এ $\angle ADB = \angle DAB$ [অঙ্কন অনুসারে] $\therefore AB = DB$ আবার, $\triangle ACE$-এ $\angle AEC = \angle EAC$ $\therefore CA = CE$ সুতরাং $\triangle ABC$-এ $AB + BC + CA = DB + BC + CE = DE = p$ $\angle ABC = \angle ADB + \angle DAB = \frac{1}{2}\angle x + \frac{1}{2}\angle x = \angle x$ এবং $\angle ACB = \angle AEC + \angle EAC = \frac{1}{2}\angle y + \frac{1}{2}\angle y = \angle y$ সুতরাং $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

গ

'খ' তে প্রাপ্ত ত্রিভুজের ভূমিকে অতিভুজ ও অপর যে কোনো একটি বাহুকে লম্ব ধরে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অংকন কর।

উত্তর

'খ' থেকে পাই, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $a$ এবং মনে করি, এর লম্ব বাহুর দৈর্ঘ্য $b$. সমকোণী ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কনের বিবরণ: (১) যে কোনো রশ্মি $\text{BD}$ নেই। $\text{BD}$ এর $\text{B}$ বিন্দুতে $\text{BE}$ লম্ব আঁকি। (২) $\text{BE}$ থেকে $\text{BA} = b$ অংশ কেটে নিই। $\text{A}$ কেন্দ্র করে $a$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে $\text{BD}$ এর উপর একটি বৃত্তচাপ আঁকি। (৩) বৃত্তচাপটি $\text{BD}$ কে $\text{C}$ বিন্দুতে ছেদ করে। (৪) $\text{A, C}$ যোগ করি। তাহলে $\triangle\text{ABC}$-ই উদ্দিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজ।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো