Chapter 10 : দূরত্ব ও উচ্চতা (Full Syllabus) সাধারণ গণিত

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি দালানের পাদদেশ থেকে $60$ মিটার দূরের ভূতলস্থ কোনো বিন্দুতে ছাদের উন্নতি কোণ $60^\circ$। ঐ বিন্দু হতে $x$ মিটার পেছনের দিকে গেলে ছাদের উন্নতি কোণ $45^\circ$ হয়।

Chittagong · 2016

ক

উপরের তথ্যের প্রেক্ষিতে সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ চিত্রটি আঁক।

উত্তর

ধরি, $AB$ দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি দালানের পাদদেশ থেকে $60$ মিটার দূরে ভূতলস্থ $C$ বিন্দুতে ছাদের উন্নতি কোণ $\angle \mathrm{ACB} = 60^\circ$ । ঐ বিন্দু অর্থাৎ, $C$ বিন্দু হতে $x$ মিটার পেছনের দিকে গেলে $D$ বিন্দুতে ছাদের উন্নতি কোণ $\angle \mathrm{ADB} = 45^\circ$ হয়। $BC = 60$ মিটার এবং $CD = x$ মিটার।

খ

দালানের উচ্চতা নির্ণয় কর।

উত্তর

'ক' থেকে পাই, $\mathrm{BC} = 60$ মিটার এবং $\angle \mathrm{ACB} = 60^\circ$ $\triangle \mathrm{ABC}$-এ, $\tan \angle \mathrm{ACB} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$ বা, $\tan 60^\circ = \frac{\mathrm{AB}}{60}$ বা, $\sqrt{3} = \frac{\mathrm{AB}}{60}$ বা, $\mathrm{AB} = 60\sqrt{3} = 103.92$ মিটার (প্রায়) $\therefore$ দালানের উচ্চতা $103.92$ মিটার (প্রায়) (Ans.)

গ

$x$ এর মান নির্ণয় কর এবং পেছনের বিন্দু হতে দালানের শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।

উত্তর

'ক' থেকে পাই, $\mathrm{BC} = 60$ মিটার এবং $\mathrm{CD} = x$ মিটার $\angle \mathrm{ADB} = 45^\circ$ এবং $\angle \mathrm{ACB} = 60^\circ$ এবং 'খ' থেকে পাই, $\mathrm{AB} = 60\sqrt{3}$ এখন, $\triangle \mathrm{ABD}$-এ, $\tan \angle \mathrm{ADB} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}$ বা, $\tan 45^\circ = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC} + \mathrm{CD}}$ ['ক' এর চিত্র থেকে] বা, $1 = \frac{60\sqrt{3}}{60 + \mathrm{x}}$ বা, $60 + \mathrm{x} = 60\sqrt{3}$ বা, $\mathrm{x} = 60\sqrt{3} - 60$ $\therefore \mathrm{x} = 43.92$ মিটার (প্রায়) (Ans.) ২য় অংশ: এখন $\triangle \mathrm{ABD}$-এ $\sin \angle \mathrm{ADB} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}$ বা, $\sin 45^\circ = \frac{60\sqrt{3}}{\mathrm{AD}}$ বা, $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{60\sqrt{3}}{\mathrm{AD}}$ $\therefore \mathrm{AD} = 60\sqrt{3} \times \sqrt{2} = 146.97$ মিটার (প্রায়) $\therefore$ পেছনের বিন্দু হতে দালানের শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব $146.97$ মিটার (প্রায়) (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

একটি গাছ ঝড়ে এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যেন ভাঙ্গা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে $60^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে গাছের গোড়া থেকে $15\sqrt{3}$ মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করেছে।

Dhaka · 2016

ক

উপরোক্ত বর্ণনাটি চিত্রের মাধ্যমে দেখাও।

উত্তর

খ

সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য $\mathrm{AB} = \mathrm{h}$ মিটার। $\mathrm{BC} = \mathrm{x}$ মিটার উচ্চতায় ভেঙ্গে গিয়ে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙ্গা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে $\angle \mathrm{BCD} = 60^\circ$ উৎপন্ন করে গাছটির গোড়া থেকে $\mathrm{BD} = 15\sqrt{3}$ মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে। এখানে, $\mathrm{CD} = \mathrm{AC} = \mathrm{AB} - \mathrm{BC} = (\mathrm{h} - \mathrm{x})$ মিটার $\triangle \mathrm{BCD}$ থেকে পাই, $\tan\angle \mathrm{BCD} = \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}$ বা, $\tan 60^\circ = \frac{15\sqrt{3}}{\mathrm{x}}$ বা, $\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{3}}{\mathrm{x}}$ বা, $\sqrt{3}\mathrm{x} = 15\sqrt{3}$ বা, $\mathrm{x} = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ $\therefore \mathrm{x} = 15$ মিটার আবার, $\sin\angle \mathrm{BCD} = \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}$ বা, $\sin 60^\circ = \frac{15\sqrt{3}}{\mathrm{h-x}}$ বা, $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{\mathrm{h-x}}$ বা, $\mathrm{h-x} = 30$ বা, $\mathrm{h} = 30 + \mathrm{x}$ বা, $\mathrm{h} = 30 + 15$ [x এর মান বসিয়ে] $\therefore \mathrm{h} = 45$ মিটার $\therefore$ সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য 45 মিটার। (Ans.)

গ

ভাঙ্গা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করলে, ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য কত?

উত্তর

'খ' হতে পাই, সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য $\mathrm{AB} = 45$ মিটার চিত্রে, $\angle \mathrm{BCD} = 30^\circ$, ভাঙ্গা অংশ $\mathrm{AC} = \mathrm{CD}$. দন্ডায়মান অংশ $\mathrm{BC} = \mathrm{x}$ মিটার হলে, ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য $\mathrm{AC} = \mathrm{CD} = (45- \mathrm{x})$ মিটার $\triangle \mathrm{BCD}$-এ $\cos\angle \mathrm{BCD} = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}$ বা, $\cos 30^\circ = \frac{\mathrm{x}}{45-\mathrm{x}}$ বা, $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\mathrm{x}}{45-\mathrm{x}}$ বা, $2\mathrm{x} = 45\sqrt{3}-\sqrt{3}\mathrm{x}$ বা, $2\mathrm{x}+\sqrt{3}\mathrm{x} = 45\sqrt{3}$ বা, $(2+\sqrt{3})\mathrm{x} = 45\sqrt{3}$ বা, $\mathrm{x} = \frac{45\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ $\therefore \mathrm{x} = 20.8846$ মিটার (প্রায়) $\therefore$ ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = $(45 - 20.8846)$ মিটার $= 24.1154$ মিটার (প্রায়) (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

চিত্রে $\mathrm{EA} \| \mathrm{BC}, \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$, উন্নতি $\angle\mathrm{ACD} = 45^\circ$ এবং $\mathrm{DC} = 10$ মিটার

Jessore · 2017

ক

উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

উন্নতি কোণ: ভূতলের উপরের কোন বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলে। অবনতি কোণ: ভূতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোন বিন্দু ভূ-রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলে।

খ

AB বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর

দেওয়া আছে, $\angle\mathrm{BAE} = 30^\circ$ এবং $\mathrm{EA} \| \mathrm{BC}$ $\therefore \angle\mathrm{ABD} = 30^\circ$ $\angle\mathrm{ACD} = 45^\circ, \mathrm{DC} = 10$ মিটার এখন, $\triangle \mathrm{ADC}$ এ $\mathrm{\tan} \angle\mathrm{ACD} = \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}}$ বা, $\mathrm{\tan}45^\circ = \frac{\mathrm{AD}}{10}$ বা, $1 = \frac{\mathrm{AD}}{10}$ $\therefore \mathrm{AD} = 10$ মিটার আবার, $\triangle\mathrm{ABD}$ এ $\mathrm{\sin} \angle\mathrm{ABD} = \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}$ বা, $\mathrm{\sin}30^\circ = \frac{10}{\mathrm{AB}}$ বা, $\frac{1}{2} = \frac{10}{\mathrm{AB}}$ $\therefore \mathrm{AB} = 20$ মিটার। (Ans.)

গ

$\triangle\mathrm{ABC}$ এর পরিসীমা নির্ণয় করো।

উত্তর

'খ' থেকে পাই, $\mathrm{AB} = 20$ মি., $\mathrm{AD} = 10$ মি. $\triangle \mathrm{ABD}$-এ, $\mathrm{BD} = \sqrt{\mathrm{AB}^2 - \mathrm{AD}^2}$ $= \sqrt{(20)^2 - (10)^2}$ $= \sqrt{300}$ $= 10\sqrt{3}$ মি. $\therefore \mathrm{BC} = \mathrm{BD} + \mathrm{CD}$ $= 10\sqrt{3} + 10$ $= 27.3205$ মি. আবার, $\triangle \mathrm{ADC}$ এ $\mathrm{AC} = \sqrt{\mathrm{AD}^2 + \mathrm{CD}^2}$ $= \sqrt{(10)^2 + (10)^2}$ $= \sqrt{200}$ $= 14.1421$ $\therefore \triangle\mathrm{ABC}$ এর পরিসীমা $= \mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{AC}$ $= (20 + 27.3205 + 14.1421)$ মিটার $= 61.46$ মিটার (প্রায়) (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো