Chapter 6: পরিমিত বিন্যাস Statistics 2nd Paper

HSC Statistics 2nd Paper এর Chapter 6: পরিমিত বিন্যাস অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

২২৪

প্রশ্ন

Statistics 2nd Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

সিরাজগঞ্জের তাঁতীদের মাথাপিছু আয়ের গড় ও পরিমিত ব্যবধান যথাক্রমে 140 টাকা ও টাকা। যে সকল তাঁতীদের মাথাপিছু আয় 130 টাকার কম সরকার তাদের ভর্তুকি দেওয়ার সিদ্ধান্তর নেয়। সে মোতাবেক সিরাজগঞ্জের তাঁত কর্মকর্তা জনাব খাইরুল কবির 4% তাঁতীদের ভর্তুকি প্রদান করেন।
ক
পরিমিত বিন্যাসের সীমা কত?

উত্তর

পরিমিত বিন্যাসের সীমা - ∞\infty হতে ∞\infty পর্যন্ত।
খ
পরিমিত বিন্যাসের গড় কি প্রচুরক অপেক্ষা ছোট হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পরিমিত বিন্যাসের গড়, প্রচুরক অপেক্ষা ছোট হতে পারে না। আমরা জানি, পরিমিত বিন্যাসের গড় = মধ্যমা = প্রচুরক। সুতরাং পরিমিত বিন্যাসের গড়, প্রচুরক অপেক্ষা ছোট হতে পারে না।
গ
উদ্দীপকের আলোকে তাঁতীদের মাথাপিছু আয় 130 থেকে 150 টাকার মধ্যে থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, গড়, μ=140\mu = 140 এবং পরিমিত ব্যবধান, σ=4\sigma = 4 ধরি, x = তাঁতীদের মাথাপিছু আয়। তাঁতীদের মাথাপিছু আয় 130 থেকে 150 টাকার মধ্যে থাকার সম্ভাবনা, P(130≤x≤150)=P(130−μσ≤x−μσ<150−μσ)=P(130−1404≤z≤150−1404)=P(−2.5≤z≤2.5)=P(−2.5≤z≤0)+P(0≤z≤2.5)=0.4938+0.4938=0.9876\begin{aligned} & P(130 \leq x \leq 150) \\ & =P\left(\frac{130-\mu}{\sigma} \leq \frac{x-\mu}{\sigma}<\frac{150-\mu}{\sigma}\right) \\ & =P\left(\frac{130-140}{4} \leq z \leq \frac{150-140}{4}\right) \\ & =P(-2.5 \leq z \leq 2.5) \\ & =P(-2.5 \leq z \leq 0)+P(0 \leq z \leq 2.5) \\ & =0.4938+0.4938=0.9876\end{aligned}
ঘ
তাঁত কর্মকর্তা জনাব খাইরুল কবিরের সিদ্ধান্তটি কি যথার্থ ছিল বলে তুমি মনে কর? উত্তরের সপক্ষে তোমার মতামত দাও।

উত্তর

তাঁতীদের মাথাপিছু আয় 130 টাকার কম থাকার সম্ভাবনা P(x<130)=P(x−μσ<130−μσ)=p(x−1404<130−1404)=p(z<−2.5)=p(−∞<z<0)−p(−2.5<z<0)=0.5−0.4938=0.0062=0.62%\begin{aligned} & P(x<130) \\ & =P\left(\frac{x-\mu}{\sigma}<\frac{130-\mu}{\sigma}\right)=p\left(\frac{x-140}{4}<\frac{130-140}{4}\right) \\ & =p(z<-2.5) \\ & =p(-\infty<z<0)-p(-2.5<z<0) \\ & =0.5-0.4938=0.0062=0.62 \%\end{aligned} জনাব খাইরুল কবিরের সিদ্ধান্তটি সঠিক ছিল না।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

সিরাজগঞ্জের তাঁতীদের মাথাপিছু আয়ের গড় ও পরিমিত ব্যবধান যথাক্রমে 140 টাকা ও টাকা। যে সকল তাঁতীদের মাথাপিছু আয় 130 টাকার কম সরকার তাদের ভর্তুকি দেওয়ার সিদ্ধান্তর নেয়। সে মোতাবেক সিরাজগঞ্জের তাঁত কর্মকর্তা জনাব খাইরুল কবির 4% তাঁতীদের ভর্তুকি প্রদান করেন।
ক
পরিমিত বিন্যাসের সীমা কত?

উত্তর

পরিমিত বিন্যাসের সীমা - ∞\infty হতে ∞\infty পর্যন্ত।
খ
পরিমিত বিন্যাসের গড় কি প্রচুরক অপেক্ষা ছোট হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পরিমিত বিন্যাসের গড়, প্রচুরক অপেক্ষা ছোট হতে পারে না। আমরা জানি, পরিমিত বিন্যাসের গড় = মধ্যমা = প্রচুরক। সুতরাং পরিমিত বিন্যাসের গড়, প্রচুরক অপেক্ষা ছোট হতে পারে না।
গ
উদ্দীপকের আলোকে তাঁতীদের মাথাপিছু আয় 130 থেকে 150 টাকার মধ্যে থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, গড়, μ=140\mu = 140 এবং পরিমিত ব্যবধান, σ=4\sigma = 4 ধরি, x = তাঁতীদের মাথাপিছু আয়। তাঁতীদের মাথাপিছু আয় 130 থেকে 150 টাকার মধ্যে থাকার সম্ভাবনা, P(130≤x≤150)=P(130−μσ≤x−μσ<150−μσ)=P(130−1404≤z≤150−1404)=P(−2.5≤z≤2.5)=P(−2.5≤z≤0)+P(0≤z≤2.5)=0.4938+0.4938=0.9876\begin{aligned} & P(130 \leq x \leq 150) \\ & =P\left(\frac{130-\mu}{\sigma} \leq \frac{x-\mu}{\sigma}<\frac{150-\mu}{\sigma}\right) \\ & =P\left(\frac{130-140}{4} \leq z \leq \frac{150-140}{4}\right) \\ & =P(-2.5 \leq z \leq 2.5) \\ & =P(-2.5 \leq z \leq 0)+P(0 \leq z \leq 2.5) \\ & =0.4938+0.4938=0.9876\end{aligned}
ঘ
তাঁত কর্মকর্তা জনাব খাইরুল কবিরের সিদ্ধান্তটি কি যথার্থ ছিল বলে তুমি মনে কর? উত্তরের সপক্ষে তোমার মতামত দাও।

উত্তর

তাঁতীদের মাথাপিছু আয় 130 টাকার কম থাকার সম্ভাবনা P(x<130)=P(x−μσ<130−μσ)=p(x−1404<130−1404)=p(z<−2.5)=p(−∞<z<0)−p(−2.5<z<0)=0.5−0.4938=0.0062=0.62%\begin{aligned} & P(x<130) \\ & =P\left(\frac{x-\mu}{\sigma}<\frac{130-\mu}{\sigma}\right)=p\left(\frac{x-140}{4}<\frac{130-140}{4}\right) \\ & =p(z<-2.5) \\ & =p(-\infty<z<0)-p(-2.5<z<0) \\ & =0.5-0.4938=0.0062=0.62 \%\end{aligned} জনাব খাইরুল কবিরের সিদ্ধান্তটি সঠিক ছিল না।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

ফুলতুলি গ্রামের ছেলেদের মধ্যে 25 বছরের কম বয়সী ছেলেদের বিয়ে হওয়ার সম্ভাবনা 0.55। একজন তথ্যসংগ্রকারী গ্রামের 600 জন ছেলের উপর জরিপ চালিয়ে বললেন ঐ গ্রামের, 270 থেকে 330 জন ছেলের 25 বছরের কম বয়সে বিয়ে হয় ৪০%।
ক
পরিমিত বিন্যাসের অঙ্কীয় রূপ কী?

উত্তর

পরিমিত চলক x এর গড় μ\mu এবং ভেদাঙ্ক σ2\sigma2 হলে x এর সম্ভাবনা ঘনত্ব অপেক্ষক বা, অঙ্কীয় রূপ f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2;−∞<x<∞f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 ;-\infty<x<\infty} যেখানে, σ=\sigma= পরিমিত ব্যবধান, μ=\mu= গাণিতিক গড়, π=227=3.1416,e=\pi=\frac{22}{7}=3.1416, \mathrm{e}= ন্যাপিয়ার লগ ভিত্তি = 2.72 (প্রায়)
খ
পরিমিত বিন্যাসের বঙ্কিমতা কী ধনাত্মক হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পরিমিত বিন্যাসের বঙ্কিমতা ধনাত্মক হতে পারে না। কারণ পরিমিত রেখার কোণ বাঁকা থাকে না। তাই পরিমিত রেখার বঙ্কিমতা, β1=0\beta1 = 0 হয়।
গ
25 বছরের কম বয়সী ছেলেদের বিয়ে হওয়ার চলক x হলে, x এর গড় ও ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, ছেলেদের সংখ্যা, n = 600 25 বছরের কম বয়সী ছেলেদের বিয়ে হওয়ার সম্ভাবনা, P = 0.55 এবং বিয়ে না হওয়ার সম্ভাবনা, q = 1 - p = 1 - 0.55 = 0.45 গড়, F(x) = np = 600 × 0.55 = 330 এবং ভেদাঙ্ক, V(x) = npq = 600 × 0.55 × 0.45 = 148.5 নির্ণেয় গড় 330 এবং ভেদাঙ্ক 148.5
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে তথ্য সংগ্রহকারী বক্তব্যটির সঠিকতা যাচাই কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, গড়, E(x)=μ=330E(x) = \mu = 330 ভেদাঙ্ক, V(x)=σ2=148.5V(x) = \sigma2 = 148.5 ∴ পরিমিত ব্যবধান,
σ=12.18270\sigma = 12.18 270
থেকে 330 জন ছেলের বিয়ে করার সম্ভাবনা, P(270≤x≤330)=P(270−μσ≤x−μσ≤330−μσ)=P(270−33012.18≤z≤330−33012.18)=P(−4.92≤z≤0)=0.50=50%\begin{aligned} \mathrm{P}(270 \leq \mathrm{x} \leq 330) & =\mathrm{P}\left(\frac{270-\mu}{\sigma} \leq \frac{\mathrm{x}-\mu}{\sigma} \leq \frac{330-\mu}{\sigma}\right) \\ & =\mathrm{P}\left(\frac{270-330}{12.18} \leq \mathrm{z} \leq \frac{330-330}{12.18}\right) \\ & =\mathrm{P}(-4.92 \leq \mathrm{z} \leq 0)=0.50=50 \%\end{aligned} উদ্দীপকের শেষোক্ত বাক্যটি সঠিক নয়।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

ফুলতুলি গ্রামের ছেলেদের মধ্যে 25 বছরের কম বয়সী ছেলেদের বিয়ে হওয়ার সম্ভাবনা 0.55। একজন তথ্যসংগ্রকারী গ্রামের 600 জন ছেলের উপর জরিপ চালিয়ে বললেন ঐ গ্রামের, 270 থেকে 330 জন ছেলের 25 বছরের কম বয়সে বিয়ে হয় ৪০%।
ক
পরিমিত বিন্যাসের অঙ্কীয় রূপ কী?

উত্তর

পরিমিত চলক x এর গড় μ\mu এবং ভেদাঙ্ক σ2\sigma2 হলে x এর সম্ভাবনা ঘনত্ব অপেক্ষক বা, অঙ্কীয় রূপ f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2;−∞<x<∞f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 ;-\infty<x<\infty} যেখানে, σ=\sigma= পরিমিত ব্যবধান, μ=\mu= গাণিতিক গড়, π=227=3.1416,e=\pi=\frac{22}{7}=3.1416, \mathrm{e}= ন্যাপিয়ার লগ ভিত্তি = 2.72 (প্রায়)
খ
পরিমিত বিন্যাসের বঙ্কিমতা কী ধনাত্মক হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পরিমিত বিন্যাসের বঙ্কিমতা ধনাত্মক হতে পারে না। কারণ পরিমিত রেখার কোণ বাঁকা থাকে না। তাই পরিমিত রেখার বঙ্কিমতা, β1=0\beta1 = 0 হয়।
গ
25 বছরের কম বয়সী ছেলেদের বিয়ে হওয়ার চলক x হলে, x এর গড় ও ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, ছেলেদের সংখ্যা, n = 600 25 বছরের কম বয়সী ছেলেদের বিয়ে হওয়ার সম্ভাবনা, P = 0.55 এবং বিয়ে না হওয়ার সম্ভাবনা, q = 1 - p = 1 - 0.55 = 0.45 গড়, F(x) = np = 600 × 0.55 = 330 এবং ভেদাঙ্ক, V(x) = npq = 600 × 0.55 × 0.45 = 148.5 নির্ণেয় গড় 330 এবং ভেদাঙ্ক 148.5
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে তথ্য সংগ্রহকারী বক্তব্যটির সঠিকতা যাচাই কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, গড়, E(x)=μ=330E(x) = \mu = 330 ভেদাঙ্ক, V(x)=σ2=148.5V(x) = \sigma2 = 148.5 ∴ পরিমিত ব্যবধান,
σ=12.18270\sigma = 12.18 270
থেকে 330 জন ছেলের বিয়ে করার সম্ভাবনা, P(270≤x≤330)=P(270−μσ≤x−μσ≤330−μσ)=P(270−33012.18≤z≤330−33012.18)=P(−4.92≤z≤0)=0.50=50%\begin{aligned} \mathrm{P}(270 \leq \mathrm{x} \leq 330) & =\mathrm{P}\left(\frac{270-\mu}{\sigma} \leq \frac{\mathrm{x}-\mu}{\sigma} \leq \frac{330-\mu}{\sigma}\right) \\ & =\mathrm{P}\left(\frac{270-330}{12.18} \leq \mathrm{z} \leq \frac{330-330}{12.18}\right) \\ & =\mathrm{P}(-4.92 \leq \mathrm{z} \leq 0)=0.50=50 \%\end{aligned} উদ্দীপকের শেষোক্ত বাক্যটি সঠিক নয়।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ের পরিসংখ্যান বিভাগের একদল ছাত্র-ছাত্রী মালিবাগ মৌচাক মার্কেটের 250টি এবং মিরপুর কৃষি মার্কেটের 170 টি দোকানের দৈনিক বিক্রির উপর এক জরিপ পরিচালনা করে। জরিপে দেখা যায়, মৌচাক মার্কেটের দোকানগুলোর গড় বিক্রির পরিমাণ 20,000 টাকা এবং পরিমিত ব্যবধান 3000 টাকা। অপর দিকে কৃষি মার্কেটের দোকানগুলোর গড় বিক্রির পরিমাণ 25,000 টাকা এবং পরিমিত ব্যবধান 2500 টাকা। ছাত্রছাত্রীরা মার্কেট দুইটির তথ্যাদি পর্যালোচনা করে মন্তব্য করল যে, কৃষি মার্কেটের তুলনায়। মৌচাক মার্কেটের দোকানগুলোর স্থিতিশীলতা কম।
ক
পরিমিত বিন্যাস কী?

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসের চেষ্টার সংখ্যা খুব বেশি অর্থাৎ n→∞\mathrm{n} \rightarrow \infty এবং প্রতিবার চেষ্টার সফলতা ও বিফলতার সম্ভাবনা সমান অর্থাৎ p≅qp \cong q হলে দ্বিপদী বিন্যাসের সীমায়িত রূপকে পরিমিত বিন্যাস বলে।
খ
পরিমিত সম্ভাবনা সারণির ব্যবহারসমূহ লিখ।

উত্তর

পরিমিত সম্ভাবনা সারণিসমূহের ব্যবহার নিচে উল্লেখ করা হলো: ১. ইহার সাহায্যে পরিমিত চলকের মান নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় করা যায়। ২. ইহার সাহায্যে পরিমিত চলকের মানের সীমা নির্ণয় করা যায়। ৩. ইহার সাহায্যে পরিমিত রেখার আওতাধীন যেকোনো নির্দিষ্ট অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়। ৪. ইহার সাহায্যে নির্দিষ্ট যথার্থতার মাত্রায় z যাচাই এর সংশয় মান নির্ণয় করা যায়।
গ
মৌচাক মার্কেট এবং কৃষি মার্কেটের দৈনিক বিক্রির পরিমাণ যে বিন্যাসকে অনুসরণ করে তাদের অঙ্কীয় রূপ লিখ।

উত্তর

মৌচাক মার্কেট এবং কৃষি মার্কেট এর দৈনিক বিক্রি পরিমিত বিন্যাসকে অনুসরণ করে। ধরি, x = দোকানের বিক্রির পরিমাণ, এখন, পরিমিত চলক x এর সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন, f(x)=1σ2πc−12(x−μσ)2;−∞≤x≤∞f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \mathrm{c}^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{\mathrm{x}-\mu}{\sigma}\right)^2 ;-\infty \leq \mathrm{x} \leq \infty মৌচাক মার্কেট এর গড়, μ=20000\mu = 20000 এবং পরিমিত ব্যবধান, σ=3000\sigma = 3000 ∴ সম্ভাবনা ঘনত্ব বিক্রিয় ফাংশন, f(x)=130002πe−12(x−20,0003,000)2:−∞≤x≤∞f(x)=\frac{1}{3000 \sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{x}-20,000}{3,000}\right)^2:-\infty \leq \mathrm{x} \leq \infty} কৃষি মার্কেট μ=25000\mu = 25000 এবং পরিমিত ব্যবধান, σ=25.00\sigma = 25.00 ∴ সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন, f(x)=125002πe−12(x−250002500)2−∞≤x≤∞\begin{aligned} & f(x)=\frac{1}{2500 \sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-25000}{2500}\right)^2} \\ &-\infty \leq x \leq \infty\end{aligned}
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে ছাত্রছাত্রীদের মন্তব্যটির সঠিকতা যাচাই কর। যদি মন্তব্যটি সঠিক হয়ে থাকে তবে প্রতিযোগিতায় টিকে থাকার জন্য মৌচাক মার্কেটের কী পদক্ষেপ নেওয়া উচিত- মতামত দাও।

উত্তর

মৌচাক মার্কেট এর বিভেদাঙ্ক,C.V=σxˉ×100=300020000×100=15%\begin{aligned} C . V & =\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \\ & =\frac{3000}{20000} \times 100 \\ & =15 \%\end{aligned} এখানে, xˉ=20000σ=3000\begin{aligned} & \bar{x}=20000 \\ & \sigma=3000\end{aligned} কৃষি মার্কেট এর বিভেদাঙ্ক, C.V=σxˉ×100=250025000×100=10%\begin{aligned} C . V & =\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \\ & =\frac{2500}{25000} \times 100 \\ & =10 \%\end{aligned} এখানে,xˉ=25000σ=2500\begin{aligned} & \bar{x}=25000 \\ & \sigma=2500\end{aligned} এখানে মৌচাক মার্কেট এর বিভেদাঙ্ক কৃষি মার্কেট এর বিভেদাঙ্ক অপেক্ষায় বেশি। সুতরাং, কৃষি মার্কেট অপেক্ষা মৌচাক মার্কেট কম স্থিতিশীল। অর্থাৎ অর্থনীতিবিদের মন্তব্যটি সঠিক ছিল। কৃষি মার্কেট অপেক্ষায় মৌচাক মার্কেট কম স্থিতিশীল অর্থাৎ কৃষি মার্কেট দোকানগুলো অপেক্ষায় মৌচাক মার্কেটের দোকানগুলো কম স্থিতিশীল। মৌচাক মার্কেটের দোকানগুলো কম স্থিতিশীল হওয়ার কারণ দোকানগুলোর বিক্রির বিভেদাঙ্ক (ব্যবধানাঙ্ক) কৃষি মার্কেট দোকানগুলোর বিভেদাঙ্ক (ব্যবধানাঙ্ক) অপেক্ষা বেশি। সুতরাং প্রতিযোগিতায় টিকে থাকতে হলে মৌচাক মার্কেট দোকানগুলোর বিক্রির পরিমিত ব্যবধান তথা ভেদাঙ্ক বা ব্যবধান কমাতে হবে।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়ের পরিসংখ্যান বিভাগের একদল ছাত্র-ছাত্রী মালিবাগ মৌচাক মার্কেটের 250টি এবং মিরপুর কৃষি মার্কেটের 170 টি দোকানের দৈনিক বিক্রির উপর এক জরিপ পরিচালনা করে। জরিপে দেখা যায়, মৌচাক মার্কেটের দোকানগুলোর গড় বিক্রির পরিমাণ 20,000 টাকা এবং পরিমিত ব্যবধান 3000 টাকা। অপর দিকে কৃষি মার্কেটের দোকানগুলোর গড় বিক্রির পরিমাণ 25,000 টাকা এবং পরিমিত ব্যবধান 2500 টাকা। ছাত্রছাত্রীরা মার্কেট দুইটির তথ্যাদি পর্যালোচনা করে মন্তব্য করল যে, কৃষি মার্কেটের তুলনায়। মৌচাক মার্কেটের দোকানগুলোর স্থিতিশীলতা কম।
ক
পরিমিত বিন্যাস কী?

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসের চেষ্টার সংখ্যা খুব বেশি অর্থাৎ n→∞\mathrm{n} \rightarrow \infty এবং প্রতিবার চেষ্টার সফলতা ও বিফলতার সম্ভাবনা সমান অর্থাৎ p≅qp \cong q হলে দ্বিপদী বিন্যাসের সীমায়িত রূপকে পরিমিত বিন্যাস বলে।
খ
পরিমিত সম্ভাবনা সারণির ব্যবহারসমূহ লিখ।

উত্তর

পরিমিত সম্ভাবনা সারণিসমূহের ব্যবহার নিচে উল্লেখ করা হলো: ১. ইহার সাহায্যে পরিমিত চলকের মান নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় করা যায়। ২. ইহার সাহায্যে পরিমিত চলকের মানের সীমা নির্ণয় করা যায়। ৩. ইহার সাহায্যে পরিমিত রেখার আওতাধীন যেকোনো নির্দিষ্ট অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়। ৪. ইহার সাহায্যে নির্দিষ্ট যথার্থতার মাত্রায় z যাচাই এর সংশয় মান নির্ণয় করা যায়।
গ
মৌচাক মার্কেট এবং কৃষি মার্কেটের দৈনিক বিক্রির পরিমাণ যে বিন্যাসকে অনুসরণ করে তাদের অঙ্কীয় রূপ লিখ।

উত্তর

মৌচাক মার্কেট এবং কৃষি মার্কেট এর দৈনিক বিক্রি পরিমিত বিন্যাসকে অনুসরণ করে। ধরি, x = দোকানের বিক্রির পরিমাণ, এখন, পরিমিত চলক x এর সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন, f(x)=1σ2πc−12(x−μσ)2;−∞≤x≤∞f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \mathrm{c}^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{\mathrm{x}-\mu}{\sigma}\right)^2 ;-\infty \leq \mathrm{x} \leq \infty মৌচাক মার্কেট এর গড়, μ=20000\mu = 20000 এবং পরিমিত ব্যবধান, σ=3000\sigma = 3000 ∴ সম্ভাবনা ঘনত্ব বিক্রিয় ফাংশন, f(x)=130002πe−12(x−20,0003,000)2:−∞≤x≤∞f(x)=\frac{1}{3000 \sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{x}-20,000}{3,000}\right)^2:-\infty \leq \mathrm{x} \leq \infty} কৃষি মার্কেট μ=25000\mu = 25000 এবং পরিমিত ব্যবধান, σ=25.00\sigma = 25.00 ∴ সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন, f(x)=125002πe−12(x−250002500)2−∞≤x≤∞\begin{aligned} & f(x)=\frac{1}{2500 \sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-25000}{2500}\right)^2} \\ &-\infty \leq x \leq \infty\end{aligned}
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে ছাত্রছাত্রীদের মন্তব্যটির সঠিকতা যাচাই কর। যদি মন্তব্যটি সঠিক হয়ে থাকে তবে প্রতিযোগিতায় টিকে থাকার জন্য মৌচাক মার্কেটের কী পদক্ষেপ নেওয়া উচিত- মতামত দাও।

উত্তর

মৌচাক মার্কেট এর বিভেদাঙ্ক,C.V=σxˉ×100=300020000×100=15%\begin{aligned} C . V & =\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \\ & =\frac{3000}{20000} \times 100 \\ & =15 \%\end{aligned} এখানে, xˉ=20000σ=3000\begin{aligned} & \bar{x}=20000 \\ & \sigma=3000\end{aligned} কৃষি মার্কেট এর বিভেদাঙ্ক, C.V=σxˉ×100=250025000×100=10%\begin{aligned} C . V & =\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \\ & =\frac{2500}{25000} \times 100 \\ & =10 \%\end{aligned} এখানে,xˉ=25000σ=2500\begin{aligned} & \bar{x}=25000 \\ & \sigma=2500\end{aligned} এখানে মৌচাক মার্কেট এর বিভেদাঙ্ক কৃষি মার্কেট এর বিভেদাঙ্ক অপেক্ষায় বেশি। সুতরাং, কৃষি মার্কেট অপেক্ষা মৌচাক মার্কেট কম স্থিতিশীল। অর্থাৎ অর্থনীতিবিদের মন্তব্যটি সঠিক ছিল। কৃষি মার্কেট অপেক্ষায় মৌচাক মার্কেট কম স্থিতিশীল অর্থাৎ কৃষি মার্কেট দোকানগুলো অপেক্ষায় মৌচাক মার্কেটের দোকানগুলো কম স্থিতিশীল। মৌচাক মার্কেটের দোকানগুলো কম স্থিতিশীল হওয়ার কারণ দোকানগুলোর বিক্রির বিভেদাঙ্ক (ব্যবধানাঙ্ক) কৃষি মার্কেট দোকানগুলোর বিভেদাঙ্ক (ব্যবধানাঙ্ক) অপেক্ষা বেশি। সুতরাং প্রতিযোগিতায় টিকে থাকতে হলে মৌচাক মার্কেট দোকানগুলোর বিক্রির পরিমিত ব্যবধান তথা ভেদাঙ্ক বা ব্যবধান কমাতে হবে।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

পরিমিত চলক এর সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন নিম্নরূপ: f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2:−∞≤x≤∞f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2:-\infty \leq x \leq \infty} পরিমিত চলকের এই সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনকে ছক কাগজে উপস্থাপন করে মুক্ত হস্তে যোগ করে যে বক্ররেখা পাওয়া যায় তা হলো পরিমিত রেখা।
ক
পরিমিত রেখার আকৃতি কেমন হয়?

উত্তর

পরিমিত রেখার আকৃতি সুষম হয়।
খ
পরিমিত বিন্যাসের গড় 20 এবং ভেদাঙ্ক 1 হলে গড় ব্যবধান কত হবে?- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, গড়, µ = 20 এবং ভেদাঙ্ক, σ2=1\sigma 2 = 1 ∴ পরিমিত ব্যবধান, σ=1\sigma = 1 অতএব, গড়ের সাপেক্ষে গড় ব্যবধানের মান 45σ=45×1=45\frac{4}{5} \sigma=\frac{4}{5} \times 1=\frac{4}{5}.
গ
উদ্দীপকের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনটি হতে পরিমিত রেখা অঙ্কন করে এর বিভিন্ন অংশ শতকরা হিসেবে বর্ণনা কর।

উত্তর

উদ্দীপকের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনটি পরিমিত বিন্যাসের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন। পরিমিত বিন্যাসের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনটিকে ছক কাগজে উপস্থাপন করে মুক্ত হস্তে যোগ করলে যে বক্র রেখা পাওয়া যায়, তাকে পরিমিত সম্ভাবনা রেখা বা পরিমিত রেখা বলা হয়। উদ্দীপকের অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক একটি পরিমিত চলক 1 এর সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনটি- y=f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2:−∞≤x≤∞......y=f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{x}-\mu}{\sigma}\right)^2:-\infty \leq \mathrm{x} \leq \infty . . . . . .} এখন x চলকের বিভিন্ন মানের বিপরীতে প্রাপ্ত y এর মানগুলো ছক কাগজে উপস্থাপন করে যোগ করলে যে বক্ররেখা পাওয়া যাবে তাই পরিমিত রেখা। নিচে একটি পরিমিত রেখার বিভিন্ন অংশ শতকরা হিসাবে উল্লেখ করা হলো- পরিমিত রেখার আকৃতি অনেকটা ঘন্টাকৃতির হয়, তাই একে ঘণ্টাকৃতি রেখাও বলা হয়। রেখাটির দুই দিক সমভাবে বিস্তৃত থাকে বিধায় একে সুষম রেখাও বলা হয়।
ঘ
"পরিমিত রেখার µ - 2σ\sigma থেকে μ+2σ\mu + 2\sigma সীমার মধ্যে কোনো তথ্যসারির 95-45% মান অবস্থান করে"- উক্তিটির সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

ঘ x একটি পরিমিত চলক হলে μ−2σ\mu-2 \sigma থেকে μ+2σ\mu+2 \sigma সীমার মধ্যে 95.45\% মান অবস্পান করবে। ব্যাথ্যা : ধরা যাক, xx একটি পরিমিত চলক যার গড় μ\mu এবং ভেদাঙ্ক σ2\sigma^2 হলে আদর্শ পরিমিত চলক, z=x−msz=\frac{x-m}{s} এখন, x=μ−2σx=\mu-2 \sigma रলে, z=m−2σ−ms=−2z=\frac{m-2 \sigma-m}{s}=-2 এবং x=μ+2σx=\mu+2 \sigma रলে, z=m+2σ−ms=2z=\frac{m+2 \sigma-m}{s}=2 সুতরাং, পরিমিত চলক x এর মান μ−2σ\mu-2 \sigma থেকে μ+2σ\mu+2 \sigma সীমার মধ্যবর্তী থাকার সম্ভাবনা,  P(μ−2σ<x<μ+2σ)=P(−2<z<2)=P(−2<z<0)+P(0<z<2)=2P(0<z<2)=2×0.4772=0.9545.\begin{aligned} & \text{ } \mathrm{P}(\mu-2 \sigma<\mathrm{x}<\mu+2 \sigma) \\ & =\mathrm{P}(-2<\mathrm{z}<2) \\ & =\mathrm{P}(-2<\mathrm{z}<0)+\mathrm{P}(0<\mathrm{z}<2) \\ & =2 \mathrm{P}(0<\mathrm{z}<2) \\ & =2 \times 0.4772=0.9545 .\end{aligned} অর্থাৎ xx চলকের 95.45%95.45 \% মান μ−2σ\mu-2 \sigma থেকে μ+2σ\mu+2 \sigma সীমার মধ্যবর্তী।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

পরিমিত চলক এর সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন নিম্নরূপ: f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2:−∞≤x≤∞f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2:-\infty \leq x \leq \infty} পরিমিত চলকের এই সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনকে ছক কাগজে উপস্থাপন করে মুক্ত হস্তে যোগ করে যে বক্ররেখা পাওয়া যায় তা হলো পরিমিত রেখা।
ক
পরিমিত রেখার আকৃতি কেমন হয়?

উত্তর

পরিমিত রেখার আকৃতি সুষম হয়।
খ
পরিমিত বিন্যাসের গড় 20 এবং ভেদাঙ্ক 1 হলে গড় ব্যবধান কত হবে?- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, গড়, µ = 20 এবং ভেদাঙ্ক, σ2=1\sigma 2 = 1 ∴ পরিমিত ব্যবধান, σ=1\sigma = 1 অতএব, গড়ের সাপেক্ষে গড় ব্যবধানের মান 45σ=45×1=45\frac{4}{5} \sigma=\frac{4}{5} \times 1=\frac{4}{5}.
গ
উদ্দীপকের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনটি হতে পরিমিত রেখা অঙ্কন করে এর বিভিন্ন অংশ শতকরা হিসেবে বর্ণনা কর।

উত্তর

উদ্দীপকের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনটি পরিমিত বিন্যাসের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন। পরিমিত বিন্যাসের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনটিকে ছক কাগজে উপস্থাপন করে মুক্ত হস্তে যোগ করলে যে বক্র রেখা পাওয়া যায়, তাকে পরিমিত সম্ভাবনা রেখা বা পরিমিত রেখা বলা হয়। উদ্দীপকের অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক একটি পরিমিত চলক 1 এর সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনটি- y=f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2:−∞≤x≤∞......y=f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{x}-\mu}{\sigma}\right)^2:-\infty \leq \mathrm{x} \leq \infty . . . . . .} এখন x চলকের বিভিন্ন মানের বিপরীতে প্রাপ্ত y এর মানগুলো ছক কাগজে উপস্থাপন করে যোগ করলে যে বক্ররেখা পাওয়া যাবে তাই পরিমিত রেখা। নিচে একটি পরিমিত রেখার বিভিন্ন অংশ শতকরা হিসাবে উল্লেখ করা হলো- পরিমিত রেখার আকৃতি অনেকটা ঘন্টাকৃতির হয়, তাই একে ঘণ্টাকৃতি রেখাও বলা হয়। রেখাটির দুই দিক সমভাবে বিস্তৃত থাকে বিধায় একে সুষম রেখাও বলা হয়।
ঘ
"পরিমিত রেখার µ - 2σ\sigma থেকে μ+2σ\mu + 2\sigma সীমার মধ্যে কোনো তথ্যসারির 95-45% মান অবস্থান করে"- উক্তিটির সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

ঘ x একটি পরিমিত চলক হলে μ−2σ\mu-2 \sigma থেকে μ+2σ\mu+2 \sigma সীমার মধ্যে 95.45\% মান অবস্পান করবে। ব্যাথ্যা : ধরা যাক, xx একটি পরিমিত চলক যার গড় μ\mu এবং ভেদাঙ্ক σ2\sigma^2 হলে আদর্শ পরিমিত চলক, z=x−msz=\frac{x-m}{s} এখন, x=μ−2σx=\mu-2 \sigma रলে, z=m−2σ−ms=−2z=\frac{m-2 \sigma-m}{s}=-2 এবং x=μ+2σx=\mu+2 \sigma रলে, z=m+2σ−ms=2z=\frac{m+2 \sigma-m}{s}=2 সুতরাং, পরিমিত চলক x এর মান μ−2σ\mu-2 \sigma থেকে μ+2σ\mu+2 \sigma সীমার মধ্যবর্তী থাকার সম্ভাবনা,  P(μ−2σ<x<μ+2σ)=P(−2<z<2)=P(−2<z<0)+P(0<z<2)=2P(0<z<2)=2×0.4772=0.9545.\begin{aligned} & \text{ } \mathrm{P}(\mu-2 \sigma<\mathrm{x}<\mu+2 \sigma) \\ & =\mathrm{P}(-2<\mathrm{z}<2) \\ & =\mathrm{P}(-2<\mathrm{z}<0)+\mathrm{P}(0<\mathrm{z}<2) \\ & =2 \mathrm{P}(0<\mathrm{z}<2) \\ & =2 \times 0.4772=0.9545 .\end{aligned} অর্থাৎ xx চলকের 95.45%95.45 \% মান μ−2σ\mu-2 \sigma থেকে μ+2σ\mu+2 \sigma সীমার মধ্যবর্তী।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

নিচের চিত্রটি লক্ষ কর:
ক
উপর্যুক্ত চিত্রটি কিসের?

উত্তর

উপর্যুক্ত চিত্রটি পরিমিত রেখার চিত্র।
খ
আদর্শ পরিমিত চলক বলতে কী বোঝ?

উত্তর

যকোনো পরিমিত চলকের প্রতিটি মান থেকে এর গড় বিয়োগ করে পরিমিত ব্যবধান দিয়ে ভাগ করলে যে নতুন চলক পাওয়া যায় তাকে আদর্শ পরিমিত চলক বলে। এটিকে প্রমিত চলকও বলা হয়। আদর্শ পরিমিত চলকের গড় () এবং ভেদাঙ্ক। ব্যাখ্যা: কোনো পরিমিত চলক x-এর গড় μ\mu ও পরিমিত ব্যবধান σ\sigma হলে, আদর্শ পরিমিত চলক হবে, z=x−μπz=\frac{x-\mu}{\pi} আদর্শ পরিমিত চলকের গড় ও ভেদাঙ্ক যথাক্রমে () এবং। হলে পরিমিত চলকের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনটি হবে নিম্নরূপ: f(z)=12πe−1/2/2:−∞<z<∞f(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-1 / 2 / 2}:-\infty<z<\infty যেখানে z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}
গ
উপরিউক্ত চিত্রটির ধর্মসমূহ বর্ণনা কর।

উত্তর

নিম্নে পরিমিত রেখার ধর্মাবলি উল্লেখ করা হলো: ১. পরিমিত রেখার মধ্যে অবস্থিত স্থানের ক্ষেত্রফল এক। অর্থাৎ, ∫−∞∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{dx}=1 ২. এটি সবসময় - ∞\inftyথেকে + ∞\infty এর মধ্যে থাকে ৩. এ রেখাটির আকৃতি অনেকটা উল্টানো ঘণ্টা বা গম্বুজের মতো। 8. পরিমিত রেখার বঙ্কিমতাঙ্ক শূন্য। অর্থাৎ β\beta₁ = 0. ৫. এটি একটি মধ্যম-সূঁচালো আকৃতির রেখা। অর্থাৎ β\beta₂ = 3. ৬. এটি একটি সুষম রেখা। অর্থাৎ রেখাটি মধ্যবিন্দু হতে দুই পাশে সমভাবে বিস্তৃত থাকে। ৭. এ রেখার দুই প্রান্ত কখনো X অক্ষের সাথে মিলিত হয় না। ৮. পরিমিত বিন্যাসের গড়, মধ্যমা ও প্রচুরক পরস্পর μ\mu এর সমান।
ঘ
"কোনো তথ্যসারির 68.27% মান উদ্দীপকের চিত্রের μ−\mu- থেকে μ+σ\mu + \sigma সীমার মধ্যবর্তী অবস্থান করে"- উক্তিটির যথার্থতা বিশ্লেষণ কর।

উত্তর

চিত্রটির সাহায্যে কোনো তথ্যসারির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যসমূহ পরিলক্ষিত হয়। ১. পরিমিত বিন্যাসের 68.27% মান পরিমিত রেখার - থেকে μ−σ\mu - \sigma সীমার মধ্যে থাকে। ২. পরিমিত বিন্যাসের 95.45% মান পরিমিত রেখা μ−2σ\mu - 2\sigma থেকে μ+2σ\mu + 2\sigma সীমার মধ্যে থাকে। ৩. পরিমিত বিন্যাসের 99.73% মান পরিমিত রেখার µ – 3σ\sigma থেকে µ + 3σ\sigma সীমার মধ্যে থাকে। নিচে একটি বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করে দেখানো হলো- প্রমাণ: ধরা যাক,X একটি পরিমিত চলক যার গড় µ এবং ভেদাঙ্ক σ2\sigma2 হলে আদর্শ পরিমিত চলক, z=x−msz=\frac{x-m}{s} এখন, x=μ−σx=\mu-\sigma হলে, z=m−σ−ms=−1z=\frac{m-\sigma-m}{s}=-1 এবং x=μ+σx=\mu+\sigma হলে, z=m+σ−ms=1z=\frac{m+\sigma-m}{s}=1 সুতরাং, পরিমিত চলক x এর মান μ−σ\mu-\sigma থেকে μ+σ\mu+\sigma সীমার মধ্যবর্তী থাকার সম্ভাবনা, P(μ−σ<x<μ+σ)=P(−1<z<1)=P(−1<z<0)+P(0<z<1)=2P(0<z<1).=2×0.3413=0.6827\begin{aligned} \mathrm{P}(\mu-\sigma<\mathrm{x}<\mu+\sigma) & =\mathrm{P}(-1<z<1) \\ & =\mathrm{P}(-1<z<0)+\mathrm{P}(0<z<1) \\ & =2 \mathrm{P}(0<z<1) . \\ & =2 \times 0.3413=0.6827\end{aligned} অর্থাৎ, xx চলকের 68.27%68.27 \% মান μ−σ\mu-\sigma থেকে μ+σ\mu+\sigma সীমার মধ্যবর্তী।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

নিচের চিত্রটি লক্ষ কর:
ক
উপর্যুক্ত চিত্রটি কিসের?

উত্তর

উপর্যুক্ত চিত্রটি পরিমিত রেখার চিত্র।
খ
আদর্শ পরিমিত চলক বলতে কী বোঝ?

উত্তর

যকোনো পরিমিত চলকের প্রতিটি মান থেকে এর গড় বিয়োগ করে পরিমিত ব্যবধান দিয়ে ভাগ করলে যে নতুন চলক পাওয়া যায় তাকে আদর্শ পরিমিত চলক বলে। এটিকে প্রমিত চলকও বলা হয়। আদর্শ পরিমিত চলকের গড় () এবং ভেদাঙ্ক। ব্যাখ্যা: কোনো পরিমিত চলক x-এর গড় μ\mu ও পরিমিত ব্যবধান σ\sigma হলে, আদর্শ পরিমিত চলক হবে, z=x−μπz=\frac{x-\mu}{\pi} আদর্শ পরিমিত চলকের গড় ও ভেদাঙ্ক যথাক্রমে () এবং। হলে পরিমিত চলকের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশনটি হবে নিম্নরূপ: f(z)=12πe−1/2/2:−∞<z<∞f(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-1 / 2 / 2}:-\infty<z<\infty যেখানে z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}
গ
উপরিউক্ত চিত্রটির ধর্মসমূহ বর্ণনা কর।

উত্তর

নিম্নে পরিমিত রেখার ধর্মাবলি উল্লেখ করা হলো: ১. পরিমিত রেখার মধ্যে অবস্থিত স্থানের ক্ষেত্রফল এক। অর্থাৎ, ∫−∞∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^\infty f(x) \mathrm{dx}=1 ২. এটি সবসময় - ∞\inftyথেকে + ∞\infty এর মধ্যে থাকে ৩. এ রেখাটির আকৃতি অনেকটা উল্টানো ঘণ্টা বা গম্বুজের মতো। 8. পরিমিত রেখার বঙ্কিমতাঙ্ক শূন্য। অর্থাৎ β\beta₁ = 0. ৫. এটি একটি মধ্যম-সূঁচালো আকৃতির রেখা। অর্থাৎ β\beta₂ = 3. ৬. এটি একটি সুষম রেখা। অর্থাৎ রেখাটি মধ্যবিন্দু হতে দুই পাশে সমভাবে বিস্তৃত থাকে। ৭. এ রেখার দুই প্রান্ত কখনো X অক্ষের সাথে মিলিত হয় না। ৮. পরিমিত বিন্যাসের গড়, মধ্যমা ও প্রচুরক পরস্পর μ\mu এর সমান।
ঘ
"কোনো তথ্যসারির 68.27% মান উদ্দীপকের চিত্রের μ−\mu- থেকে μ+σ\mu + \sigma সীমার মধ্যবর্তী অবস্থান করে"- উক্তিটির যথার্থতা বিশ্লেষণ কর।

উত্তর

চিত্রটির সাহায্যে কোনো তথ্যসারির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যসমূহ পরিলক্ষিত হয়। ১. পরিমিত বিন্যাসের 68.27% মান পরিমিত রেখার - থেকে μ−σ\mu - \sigma সীমার মধ্যে থাকে। ২. পরিমিত বিন্যাসের 95.45% মান পরিমিত রেখা μ−2σ\mu - 2\sigma থেকে μ+2σ\mu + 2\sigma সীমার মধ্যে থাকে। ৩. পরিমিত বিন্যাসের 99.73% মান পরিমিত রেখার µ – 3σ\sigma থেকে µ + 3σ\sigma সীমার মধ্যে থাকে। নিচে একটি বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করে দেখানো হলো- প্রমাণ: ধরা যাক,X একটি পরিমিত চলক যার গড় µ এবং ভেদাঙ্ক σ2\sigma2 হলে আদর্শ পরিমিত চলক, z=x−msz=\frac{x-m}{s} এখন, x=μ−σx=\mu-\sigma হলে, z=m−σ−ms=−1z=\frac{m-\sigma-m}{s}=-1 এবং x=μ+σx=\mu+\sigma হলে, z=m+σ−ms=1z=\frac{m+\sigma-m}{s}=1 সুতরাং, পরিমিত চলক x এর মান μ−σ\mu-\sigma থেকে μ+σ\mu+\sigma সীমার মধ্যবর্তী থাকার সম্ভাবনা, P(μ−σ<x<μ+σ)=P(−1<z<1)=P(−1<z<0)+P(0<z<1)=2P(0<z<1).=2×0.3413=0.6827\begin{aligned} \mathrm{P}(\mu-\sigma<\mathrm{x}<\mu+\sigma) & =\mathrm{P}(-1<z<1) \\ & =\mathrm{P}(-1<z<0)+\mathrm{P}(0<z<1) \\ & =2 \mathrm{P}(0<z<1) . \\ & =2 \times 0.3413=0.6827\end{aligned} অর্থাৎ, xx চলকের 68.27%68.27 \% মান μ−σ\mu-\sigma থেকে μ+σ\mu+\sigma সীমার মধ্যবর্তী।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি কারখানার মোট 190 জন শ্রমিকের উপর জরিপ করে দেখা যায় শ্রমিকদের দৈনিক মজুরি পরিমিত বিন্যাসে বিন্যস্ত। কারখানার শ্রমিকদের দৈনিক মজুরির প্রচুরক 180 টাকা এবং পরিমিত ব্যবধান 10 টাকা। কারখানা মালিকের দাবি তার কারখানার শতকরা ৪০ জন শ্রমিকের দৈনিক মজুরি কমপক্ষে 160 টাকা।
ক
পরিমিত রেখা কী?

উত্তর

পরিমিত বিন্যাসকে লেখচিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করলে যে বক্ররেখা পাওয়া যায় তা হচ্ছে পরিমিত রেখা বা স্বাভাবিক রেখা।
খ
পরিমিত বিন্যাসের প্রথম কেন্দ্রিয় পরিঘাতের মান ঋণাত্মক হতে পারে কী? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পরিমিত বিন্যাসের প্রথম কেন্দ্রিয় পরিঘাতের মান ঋণাত্মক হতে পারে না। আমরা জানি, পরিমিত বিন্যাসের সকল বিজোড় পরিঘাতের মান শূন্য। অর্থাৎ μ1=μ3=μ5=…..=μ2n+1=0\mu_1=\mu_3=\mu_5=\ldots . .=\mu_{2 n+1}=0 এখানে, প্রথম কেন্দ্রিয় পরিঘাত, µ₁ = 0 যা একটি ধনাত্মক সংখ্যা। সুতরাং পরিমিত বিন্যাসের প্রথম কেন্দ্রিয় পরিঘাতের মান ঋণাত্মক হতে পারে না।
গ
কারখানার শ্রমিকদের দৈনিক মজুরির চলক হলে, x-এর অঙ্কীয় রূপটি লিখ।

উত্তর

পরিমিত চলক x এর গড় μ\mu এবং পরিমিত ব্যবধান σ\sigma হলে এর সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন হবে- f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2:−∞≤x≤∞f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}:-\infty \leq x \leq \infty উদ্দীপকে দেওয়া আছে, গড়, µ = 180 এবং পরিমিত ব্যবধান, σ=10\sigma = 10 ধরি, শ্রমিকের বেতনের চলক = x চলক x এর গাণিতিক রূপ f(x)=1102πe−12(x−18010)2:−∞≤x≤∞f(x)=\frac{1}{10 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-180}{10}\right)^2}:-\infty \leq x \leq \infty
ঘ
কারখানা মালিকের দাবি কী সঠিক ছিল? বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

উত্তর

ধরি, শ্রমিকদের বেতনের চলক x এখানে, কারখানার শ্রমিকদের দৈনিক মজুরি কমপক্ষে 160 টাকা হওয়ার সম্ভাবনা P(x≥160)=P(x−μσ≥160−μσ)=P(x−18010≥160−18010)=P(z≥−2)=P(−2≤z≤0)+P(0≤z≤∞)=0.4772+0.50=0.9772\begin{aligned} & P(x \geq 160) \\ = & P\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \geq \frac{160-\mu}{\sigma}\right) \\ = & P\left(\frac{x-180}{10} \geq \frac{160-180}{10}\right) \\ = & P(z \geq-2) \\ = & P(-2 \leq z \leq 0)+P(0 \leq z \leq \infty) \\ = & 0.4772+0.50 \\ = & 0.9772\end{aligned} = 97% যা ৪০% এর অনেক বেশি। সুতরাং কারখানার মালিকের দাবি সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি কারখানার মোট 190 জন শ্রমিকের উপর জরিপ করে দেখা যায় শ্রমিকদের দৈনিক মজুরি পরিমিত বিন্যাসে বিন্যস্ত। কারখানার শ্রমিকদের দৈনিক মজুরির প্রচুরক 180 টাকা এবং পরিমিত ব্যবধান 10 টাকা। কারখানা মালিকের দাবি তার কারখানার শতকরা ৪০ জন শ্রমিকের দৈনিক মজুরি কমপক্ষে 160 টাকা।
ক
পরিমিত রেখা কী?

উত্তর

পরিমিত বিন্যাসকে লেখচিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করলে যে বক্ররেখা পাওয়া যায় তা হচ্ছে পরিমিত রেখা বা স্বাভাবিক রেখা।
খ
পরিমিত বিন্যাসের প্রথম কেন্দ্রিয় পরিঘাতের মান ঋণাত্মক হতে পারে কী? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পরিমিত বিন্যাসের প্রথম কেন্দ্রিয় পরিঘাতের মান ঋণাত্মক হতে পারে না। আমরা জানি, পরিমিত বিন্যাসের সকল বিজোড় পরিঘাতের মান শূন্য। অর্থাৎ μ1=μ3=μ5=…..=μ2n+1=0\mu_1=\mu_3=\mu_5=\ldots . .=\mu_{2 n+1}=0 এখানে, প্রথম কেন্দ্রিয় পরিঘাত, µ₁ = 0 যা একটি ধনাত্মক সংখ্যা। সুতরাং পরিমিত বিন্যাসের প্রথম কেন্দ্রিয় পরিঘাতের মান ঋণাত্মক হতে পারে না।
গ
কারখানার শ্রমিকদের দৈনিক মজুরির চলক হলে, x-এর অঙ্কীয় রূপটি লিখ।

উত্তর

পরিমিত চলক x এর গড় μ\mu এবং পরিমিত ব্যবধান σ\sigma হলে এর সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন হবে- f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2:−∞≤x≤∞f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}:-\infty \leq x \leq \infty উদ্দীপকে দেওয়া আছে, গড়, µ = 180 এবং পরিমিত ব্যবধান, σ=10\sigma = 10 ধরি, শ্রমিকের বেতনের চলক = x চলক x এর গাণিতিক রূপ f(x)=1102πe−12(x−18010)2:−∞≤x≤∞f(x)=\frac{1}{10 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-180}{10}\right)^2}:-\infty \leq x \leq \infty
ঘ
কারখানা মালিকের দাবি কী সঠিক ছিল? বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

উত্তর

ধরি, শ্রমিকদের বেতনের চলক x এখানে, কারখানার শ্রমিকদের দৈনিক মজুরি কমপক্ষে 160 টাকা হওয়ার সম্ভাবনা P(x≥160)=P(x−μσ≥160−μσ)=P(x−18010≥160−18010)=P(z≥−2)=P(−2≤z≤0)+P(0≤z≤∞)=0.4772+0.50=0.9772\begin{aligned} & P(x \geq 160) \\ = & P\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \geq \frac{160-\mu}{\sigma}\right) \\ = & P\left(\frac{x-180}{10} \geq \frac{160-180}{10}\right) \\ = & P(z \geq-2) \\ = & P(-2 \leq z \leq 0)+P(0 \leq z \leq \infty) \\ = & 0.4772+0.50 \\ = & 0.9772\end{aligned} = 97% যা ৪০% এর অনেক বেশি। সুতরাং কারখানার মালিকের দাবি সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো