Chapter 5: পৈঁসু বিন্যাস Statistics 2nd Paper

HSC Statistics 2nd Paper এর Chapter 5: পৈঁসু বিন্যাস অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

৩০১

প্রশ্ন

Statistics 2nd Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

কোনো একটি দোকানে প্রতি মিনিটে আগত ক্রেতার সংখ্যা পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে যার গড় 3। রনি মন্তব্য করল প্রতি মিনিটে 2 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা প্রতি মিনিটে 3 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনার সমান।

Dhaka · 2017

ক
পৈঁসু চলক কী?

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক x কে তখনই পৈঁসু চলক বলা হয় যখন এর সম্ভাবনা ফাংশনটি, P(x)=e−mmxx!,x=0,1,…∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!}, \mathrm{x}=0,1, \ldots \infty হয়।
খ
পরিমিত বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে কি? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পরিমিত বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে। কারণ পরিমিত বিন্যাসের সম্ভাবনা ঘনত্ব অপেক্ষক, f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2;−∞0f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 ;-\infty0 হতে দেখা যায় যে, গড় μ\mu এর রেঞ্জ −∞<μ<∞-\infty<\mu<\infty ।
গ
উদ্দীপকের আলোকে P(0 ≤ x ≤ 1 ) এর মান নির্ণয় কর যেখানে X= ক্রেতার সংখ্যা।

উত্তর

x=\mathrm{x}= ক্রেতার সংখ্যা গড়, m=3\mathrm{m}=3 xx একটি পৈঁসু চলক হলে তার সম্ভাবনা ফাংশন, P(x)=e−mmxx!;x=0,1,2,…..,∞P(x)=\frac{e^{-m} m^x}{x!} ; x=0,1,2, \ldots . ., \infty পরামিতি m = 3 হলে, P(x)=e−33xx!,x=0,1,2,…,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-3} 3^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!}, \mathrm{x}=0,1,2, \ldots, \infty ∴P(0≤x≤1)=P(x=0)+P(x=1)=e−3300!+e−3311!\therefore P(0 \leq x \leq 1)=P(x=0)+P(x=1)=\frac{e^{-3} 3^0}{0!}+\frac{e^{-3} 3^1}{1!} =0.04978+0.14936=0.19914=0.04978+0.14936=0.19914 ∴P(0≤x≤1)=0.19914\therefore \mathrm{P}(0 \leq \mathrm{x} \leq 1)=0.19914
ঘ
তুমি কি রনির মন্তব্যের সাথে একমত? সম্ভাবনা নির্ণয়পূর্বক মতামত দাও।

উত্তর

'গ' হতে প্রাপ্ত, P(x)=e−33xx!,x=0,1,…….,∞P(x)=\frac{\mathrm{e}^{-3} 3^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!}, \mathrm{x}=0,1, \ldots \ldots ., \infty এখানে, x = ক্রেতার সংখ্যা প্রতি মিনিটে 2 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা, P(y=2)=e−3322!=0.22404P(y=2)=\frac{e^{-3} 3^2}{2!}=0.22404 প্রতি মিনিটে 3 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা, P(x=3)=e−3333!=0.22404P(x=3)=\frac{e^{-3} 3^3}{3!}=0.22404 নির্ণীত সম্ভাবনা থেকে বলা যায় যে, রনির মন্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

কোনো একটি দোকানে প্রতি মিনিটে আগত ক্রেতার সংখ্যা পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে যার গড় 3। রনি মন্তব্য করল প্রতি মিনিটে 2 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা প্রতি মিনিটে 3 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনার সমান।

Dhaka · 2017

ক
পৈঁসু চলক কী?

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক x কে তখনই পৈঁসু চলক বলা হয় যখন এর সম্ভাবনা ফাংশনটি, P(x)=e−mmxx!,x=0,1,…∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!}, \mathrm{x}=0,1, \ldots \infty হয়।
খ
পরিমিত বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে কি? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পরিমিত বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে। কারণ পরিমিত বিন্যাসের সম্ভাবনা ঘনত্ব অপেক্ষক, f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2;−∞0f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 ;-\infty0 হতে দেখা যায় যে, গড় μ\mu এর রেঞ্জ −∞<μ<∞-\infty<\mu<\infty ।
গ
উদ্দীপকের আলোকে P(0 ≤ x ≤ 1 ) এর মান নির্ণয় কর যেখানে X= ক্রেতার সংখ্যা।

উত্তর

x=\mathrm{x}= ক্রেতার সংখ্যা গড়, m=3\mathrm{m}=3 xx একটি পৈঁসু চলক হলে তার সম্ভাবনা ফাংশন, P(x)=e−mmxx!;x=0,1,2,…..,∞P(x)=\frac{e^{-m} m^x}{x!} ; x=0,1,2, \ldots . ., \infty পরামিতি m = 3 হলে, P(x)=e−33xx!,x=0,1,2,…,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-3} 3^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!}, \mathrm{x}=0,1,2, \ldots, \infty ∴P(0≤x≤1)=P(x=0)+P(x=1)=e−3300!+e−3311!\therefore P(0 \leq x \leq 1)=P(x=0)+P(x=1)=\frac{e^{-3} 3^0}{0!}+\frac{e^{-3} 3^1}{1!} =0.04978+0.14936=0.19914=0.04978+0.14936=0.19914 ∴P(0≤x≤1)=0.19914\therefore \mathrm{P}(0 \leq \mathrm{x} \leq 1)=0.19914
ঘ
তুমি কি রনির মন্তব্যের সাথে একমত? সম্ভাবনা নির্ণয়পূর্বক মতামত দাও।

উত্তর

'গ' হতে প্রাপ্ত, P(x)=e−33xx!,x=0,1,…….,∞P(x)=\frac{\mathrm{e}^{-3} 3^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!}, \mathrm{x}=0,1, \ldots \ldots ., \infty এখানে, x = ক্রেতার সংখ্যা প্রতি মিনিটে 2 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা, P(y=2)=e−3322!=0.22404P(y=2)=\frac{e^{-3} 3^2}{2!}=0.22404 প্রতি মিনিটে 3 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা, P(x=3)=e−3333!=0.22404P(x=3)=\frac{e^{-3} 3^3}{3!}=0.22404 নির্ণীত সম্ভাবনা থেকে বলা যায় যে, রনির মন্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

বাংলাদেশে প্রতি 1000 জনের মধ্যে অল্প কিছু লোক শহরে এবং অবশিষ্ট লোক গ্রামে বাস করে। দৈবভাবে কয়েকজন লোকের একটি নমুনা নেওয়া হলো । এ নমুনায় শহরে বাস করা লোকের সংখ্যা পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে যেখানে P(x=4)=14P(x=3)P(x=4)=\frac{1}{4} P(x=3)।

Rajshahi · 2018

ক
পৈঁসু বিন্যাস কী?

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসে চেষ্টার সংখ্যা খুব বেশি এবং প্রতিবার চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা খুব কম হলে দ্বিপদী বিন্যাসের সীমায়িত রূপকে পৈঁসু বিন্যাস বলা হয়।
খ
পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি সর্বদাই ধনাত্মক ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

মনে করি, x একটি পৈঁসু চলক এবং এর পরামিতি ∴\therefore পৈঁসু বিন্যাসের গড় ∑x=0∞xP(x)=m\sum_{x=0}^{\infty} x P(x)=m যেহেতু x ≥\geq 0 এবং P(x) ≥\geq 0 অতএব, ΣxP(x)≥0\Sigma \mathrm{xP}(\mathrm{x}) \geq 0 অর্থাৎ, m ≥ 0 ∴\therefore পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতির মান সর্বদাই ধনাত্মক।
গ
উদ্দীপকের আলোকে সম্ভাবনা অপেক্ষক নির্ণয়পূর্বক P(x ≤ 1 ) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, চলক x = শহরে বাস করা লোকের সংখ্যা। পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি m হলে x এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে : P(x)=e−mmxx!;x=0,1,2,……,∞P(x)=\frac{e^{-m} m^x}{x!} ; x=0,1,2, \ldots \ldots, \infty দেওয়া আছে, P(x=4)=14P(x=3)\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)=\frac{1}{4} \mathrm{P}(\mathrm{x}=3) বা, e−mm44!=14⋅e−mm33!\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^4}{4!}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^3}{3!} বা, m44!=14⋅m33!\frac{\mathrm{m}^4}{4!}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{m}^3}{3!} বা, m3⋅m24=14⋅m36\frac{\mathrm{m}^3 \cdot \mathrm{m}}{24}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{m}^3}{6} বা, m24=124\frac{m}{24}=\frac{1}{24} বা, 24 m=2424 \mathrm{~m}=24 ∴m=1\therefore \quad m=1 অর্থাৎ, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m = 1। সুতরাং, পরামিতি, m = 1 হলে সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে : P(x)=e−11xx!;x=0,1,2,…….∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-1} 1^x}{\mathrm{x}!} ; \quad \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots . \infty এখন, P(x≥1)=1−P(x=0)=1−e−1100!P(x \geq 1) =1-P(x=0)=1-\frac{\mathrm{e}^{-1} 1^0}{0!} =1−e−1⋅11=1−e−1=1−0.36788=1-\frac{\mathrm{e}^{-1} \cdot 1}{1}=1-\mathrm{e}^{-1}=1-0.36788 ∴P(x≥1)=0.63212\therefore P(x \geq 1) =0.63212
ঘ
বঙ্কিমতাঙ্ক ও সূঁচালতাঙ্ক নির্ণয়পূর্বক বিন্যাসটির আকৃতি ও প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m = 1। আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=1m=11=11=1\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{m}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=\frac{1}{1}=1 যেহেতু VB > 0। সুতরাং, প্রদত্ত বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। এবং পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, β2=3+1m=3+11=3+1=4\beta_2=3+\frac{1}{m}=3+\frac{1}{1}=3+1=4 যেহেতু β2>3\beta_2>3। সুতরাং, প্রদত্ত বিন্যাসটি অতি সূঁচালো। অতএব, উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

বাংলাদেশে প্রতি 1000 জনের মধ্যে অল্প কিছু লোক শহরে এবং অবশিষ্ট লোক গ্রামে বাস করে। দৈবভাবে কয়েকজন লোকের একটি নমুনা নেওয়া হলো । এ নমুনায় শহরে বাস করা লোকের সংখ্যা পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে যেখানে P(x=4)=14P(x=3)P(x=4)=\frac{1}{4} P(x=3)।

Rajshahi · 2018

ক
পৈঁসু বিন্যাস কী?

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসে চেষ্টার সংখ্যা খুব বেশি এবং প্রতিবার চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা খুব কম হলে দ্বিপদী বিন্যাসের সীমায়িত রূপকে পৈঁসু বিন্যাস বলা হয়।
খ
পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি সর্বদাই ধনাত্মক ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

মনে করি, x একটি পৈঁসু চলক এবং এর পরামিতি ∴\therefore পৈঁসু বিন্যাসের গড় ∑x=0∞xP(x)=m\sum_{x=0}^{\infty} x P(x)=m যেহেতু x ≥\geq 0 এবং P(x) ≥\geq 0 অতএব, ΣxP(x)≥0\Sigma \mathrm{xP}(\mathrm{x}) \geq 0 অর্থাৎ, m ≥ 0 ∴\therefore পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতির মান সর্বদাই ধনাত্মক।
গ
উদ্দীপকের আলোকে সম্ভাবনা অপেক্ষক নির্ণয়পূর্বক P(x ≤ 1 ) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, চলক x = শহরে বাস করা লোকের সংখ্যা। পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি m হলে x এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে : P(x)=e−mmxx!;x=0,1,2,……,∞P(x)=\frac{e^{-m} m^x}{x!} ; x=0,1,2, \ldots \ldots, \infty দেওয়া আছে, P(x=4)=14P(x=3)\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)=\frac{1}{4} \mathrm{P}(\mathrm{x}=3) বা, e−mm44!=14⋅e−mm33!\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^4}{4!}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^3}{3!} বা, m44!=14⋅m33!\frac{\mathrm{m}^4}{4!}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{m}^3}{3!} বা, m3⋅m24=14⋅m36\frac{\mathrm{m}^3 \cdot \mathrm{m}}{24}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{m}^3}{6} বা, m24=124\frac{m}{24}=\frac{1}{24} বা, 24 m=2424 \mathrm{~m}=24 ∴m=1\therefore \quad m=1 অর্থাৎ, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m = 1। সুতরাং, পরামিতি, m = 1 হলে সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে : P(x)=e−11xx!;x=0,1,2,…….∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-1} 1^x}{\mathrm{x}!} ; \quad \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots . \infty এখন, P(x≥1)=1−P(x=0)=1−e−1100!P(x \geq 1) =1-P(x=0)=1-\frac{\mathrm{e}^{-1} 1^0}{0!} =1−e−1⋅11=1−e−1=1−0.36788=1-\frac{\mathrm{e}^{-1} \cdot 1}{1}=1-\mathrm{e}^{-1}=1-0.36788 ∴P(x≥1)=0.63212\therefore P(x \geq 1) =0.63212
ঘ
বঙ্কিমতাঙ্ক ও সূঁচালতাঙ্ক নির্ণয়পূর্বক বিন্যাসটির আকৃতি ও প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m = 1। আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=1m=11=11=1\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{m}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=\frac{1}{1}=1 যেহেতু VB > 0। সুতরাং, প্রদত্ত বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। এবং পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, β2=3+1m=3+11=3+1=4\beta_2=3+\frac{1}{m}=3+\frac{1}{1}=3+1=4 যেহেতু β2>3\beta_2>3। সুতরাং, প্রদত্ত বিন্যাসটি অতি সূঁচালো। অতএব, উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি দোকানের উৎপাদিত মিষ্টির 2% খারাপ। মিষ্টিগুলো 50টির প্যাকেটে সরবরাহ করা হয়। কোনো একদিনের উৎপাদন হতে 500টি প্যাকেট নেওয়া হলো। দোকানী বললেন, বড়জোর একটি খারাপ মিষ্টি থাকবে এমন প্যাকেটের সংখ্যা 370টির বেশি হবে না।

Dhaka · 2018

ক
আদর্শ পরিমিত চলক কী?

উত্তর

কোনো পরিমিত চলকের প্রতিটি মান থেকে এর গড় বিয়োগ করে পরিমিত ব্যবধান দিয়ে ভাগ করলে যে নতুন চলক পাওয়া যায় তাই আদর্শ পরিমিত চলক।
খ
পরিমিত বিন্যাসে P (z = 30) = 0 ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

আমরা জানি, পরিমিত বিন্যাস একটি অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের সম্ভাবনা বিন্যাস। এর মান কোনো একটি নির্দিষ্ট সীমার মাঝে অবস্থান করে। পরিমিত বিন্যাসের কোনো নির্দিষ্ট মানের সম্ভাবনা শূন্য। অতএব, P(z = 3) = 0.
গ
প্রতি প্যাকেটে 4টি খারাপ মিষ্টি থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, খারাপ মিষ্টির সংখ্যার চলক = x। উদ্দীপক হতে পাই, p=2%=2100=0.02,n=50p=2 \%=\frac{2}{100}=0.02, n=50 এবং N=500N=500। এখানে, যেহেতু n 50 > 30 এবং p = 0.02 < 0.1। সুতরাং, চলক x পৈঁসু বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore পৈঁসু চলক x এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে : P(x)=e−mmxx!;x=0,1,2,………,∝\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots \ldots, \propto ∴\therefore পরামিতি, m=np=50×0.02=1m=n p=50 \times 0.02=1 এখন, পরামিতি m = 1 হলে সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে : P(x)=e−11xx!;x=0,1,2,……….,∝P(x)=\frac{\mathrm{e}^{-1} 1^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; x=0,1,2, \ldots \ldots \ldots ., \propto প্রতি প্যাকেটে 4 টি খারাপ মিষ্টি থাকার সম্ভাবনা, \mathrm{P}(\mathrm{x}=4)=\frac{\mathrm{e}^{-1} \mathrm{I}^4}{4!}=\frac{\mathrm{e}^{-1}{4!}=\frac{0.36788}{24}=0.015328 সুতরাং, প্রতি প্যাকেটে 4টি খারাপ মিষ্টি থাকার সম্ভাবনা 0.015328.
ঘ
দোকানীর বক্তব্যের সাথে তুমি কি একমত? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, P(x)=e−11xx!;x=0,1,….,∞P(x)=\frac{\mathrm{e}^{-1} 1^x}{\mathrm{x}!} ; x=0,1, \ldots ., \infty বড়জোর একটি খারাপ মিষ্টি থাকার সম্ভাবনা, P(x≤1)=P(x=0)+P(x=1)P(x \leq 1)=P(x=0)+P(x=1) =e−1100!+e−1111!=\frac{e^{-1} 1^0}{0!}+\frac{e^{-1} 1^1}{1!} =\frac{e^{-1}{0!}+\frac{e^{-1}{1!}=\mathrm{e}^{-1}+\mathrm{e}^{-1} \quad[0!=1 এবং 1!=1] =0.36788+0.36788=0.73576=0.36788+0.36788=0.73576 ∴\therefore বড়জোর একটি খারাপ মিষ্টি থাকবে এমন প্যাকেটের সংখ্যা =N×P(x≤1)=N \times P(x \leq 1) =500×0.73576=367.88≈368=500 \times 0.73576=367.88 \approx 368 টি অর্থাৎ বড়জোর একটি খারাপ মিষ্টি থাকবে এমন প্যাকেটের সংখ্যা 368 টি; যা 370 টির বেশি নয়। অতএব, দোকানীর বক্তব্য সঠিক বিধায় আমি দোকানীর বক্তব্যের সাথে একমত।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি দোকানের উৎপাদিত মিষ্টির 2% খারাপ। মিষ্টিগুলো 50টির প্যাকেটে সরবরাহ করা হয়। কোনো একদিনের উৎপাদন হতে 500টি প্যাকেট নেওয়া হলো। দোকানী বললেন, বড়জোর একটি খারাপ মিষ্টি থাকবে এমন প্যাকেটের সংখ্যা 370টির বেশি হবে না।

Dhaka · 2018

ক
আদর্শ পরিমিত চলক কী?

উত্তর

কোনো পরিমিত চলকের প্রতিটি মান থেকে এর গড় বিয়োগ করে পরিমিত ব্যবধান দিয়ে ভাগ করলে যে নতুন চলক পাওয়া যায় তাই আদর্শ পরিমিত চলক।
খ
পরিমিত বিন্যাসে P (z = 30) = 0 ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

আমরা জানি, পরিমিত বিন্যাস একটি অবিচ্ছিন্ন দৈব চলকের সম্ভাবনা বিন্যাস। এর মান কোনো একটি নির্দিষ্ট সীমার মাঝে অবস্থান করে। পরিমিত বিন্যাসের কোনো নির্দিষ্ট মানের সম্ভাবনা শূন্য। অতএব, P(z = 3) = 0.
গ
প্রতি প্যাকেটে 4টি খারাপ মিষ্টি থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, খারাপ মিষ্টির সংখ্যার চলক = x। উদ্দীপক হতে পাই, p=2%=2100=0.02,n=50p=2 \%=\frac{2}{100}=0.02, n=50 এবং N=500N=500। এখানে, যেহেতু n 50 > 30 এবং p = 0.02 < 0.1। সুতরাং, চলক x পৈঁসু বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore পৈঁসু চলক x এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে : P(x)=e−mmxx!;x=0,1,2,………,∝\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots \ldots, \propto ∴\therefore পরামিতি, m=np=50×0.02=1m=n p=50 \times 0.02=1 এখন, পরামিতি m = 1 হলে সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে : P(x)=e−11xx!;x=0,1,2,……….,∝P(x)=\frac{\mathrm{e}^{-1} 1^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; x=0,1,2, \ldots \ldots \ldots ., \propto প্রতি প্যাকেটে 4 টি খারাপ মিষ্টি থাকার সম্ভাবনা, \mathrm{P}(\mathrm{x}=4)=\frac{\mathrm{e}^{-1} \mathrm{I}^4}{4!}=\frac{\mathrm{e}^{-1}{4!}=\frac{0.36788}{24}=0.015328 সুতরাং, প্রতি প্যাকেটে 4টি খারাপ মিষ্টি থাকার সম্ভাবনা 0.015328.
ঘ
দোকানীর বক্তব্যের সাথে তুমি কি একমত? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, P(x)=e−11xx!;x=0,1,….,∞P(x)=\frac{\mathrm{e}^{-1} 1^x}{\mathrm{x}!} ; x=0,1, \ldots ., \infty বড়জোর একটি খারাপ মিষ্টি থাকার সম্ভাবনা, P(x≤1)=P(x=0)+P(x=1)P(x \leq 1)=P(x=0)+P(x=1) =e−1100!+e−1111!=\frac{e^{-1} 1^0}{0!}+\frac{e^{-1} 1^1}{1!} =\frac{e^{-1}{0!}+\frac{e^{-1}{1!}=\mathrm{e}^{-1}+\mathrm{e}^{-1} \quad[0!=1 এবং 1!=1] =0.36788+0.36788=0.73576=0.36788+0.36788=0.73576 ∴\therefore বড়জোর একটি খারাপ মিষ্টি থাকবে এমন প্যাকেটের সংখ্যা =N×P(x≤1)=N \times P(x \leq 1) =500×0.73576=367.88≈368=500 \times 0.73576=367.88 \approx 368 টি অর্থাৎ বড়জোর একটি খারাপ মিষ্টি থাকবে এমন প্যাকেটের সংখ্যা 368 টি; যা 370 টির বেশি নয়। অতএব, দোকানীর বক্তব্য সঠিক বিধায় আমি দোকানীর বক্তব্যের সাথে একমত।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো