Chapter 5: পৈঁসু বিন্যাস Statistics 2nd Paper

HSC Statistics 2nd Paper এর Chapter 5: পৈঁসু বিন্যাস অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

২৭২

প্রশ্ন

Statistics 2nd Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

আদিল একটি প্রতিষ্ঠানের তৈরিকৃত বাম্বের উপর জরিপ চালিয়ে দেখলেন যে, বাল্বের 2% ত্রুটিপূর্ণ। দৈবভাবে 100টি বান্ধ নির্বাচন করা হলো।

Jessore · 2025

ক
পৈঁসু বিন্যাসের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসে চেষ্টার সংখ্যা খুব বেশি এবং প্রতিবার চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা খুব কম হলে দ্বিপদী বিন্যাসের সীমায়িত রূপকে পৈঁসু বিন্যাস বলা হয়।
খ
পৈঁসু বিন্যাসের গড় সর্বদাই ধনাত্মক ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। ব্যাখ্যা: মনে করি, xx একটি পৈঁসু চলক যার পরামিতি m. ∴\therefore পৈঁসু বিন্যাসের গড়, E(x)=∑x=0∞xP(x)=m\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{x}=0}^{\infty} \mathrm{xP}(\mathrm{x})=\mathrm{m} যেহেতু, x≥0x \geq 0 এবং P(x)≥0P(x) \geq 0 অতএব, ∑x=0∞xP(x)≥0\sum_{x=0}^{\infty} x P(x) \geq 0; অর্থাৎ, m≥0m \geq 0. সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। এটি সর্বদাই ধনাত্মক।
গ
উদ্দীপক হতে 3টি ত্রুটিপূর্ণ বাম্ব পাবার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা সফলতা এবং চলক x=\mathrm{x}= ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের সংখ্যা। উদ্দীপক হতে পাই, p=2%=0.02\mathrm{p}=2 \%=0.02 এবং n=100\mathrm{n}=100 এখানে, যেহেতু n=100>30\mathrm{n}=100>30 এবং p=0.02<0.1\mathrm{p}=0.02<0.1 । সুতরাং, চলক x\mathbf{x} পৈঁসু বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore পৈঁসু চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশন, P(x)=e−m mxx!;x=0,1,2,……,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{~m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots, \infty এখানে, পরামিতি, m=np=100×0.02=2\mathrm{m}=\mathrm{np}=100 \times 0.02=2 সুতরাং, পরামিতি, m=2m=2 হলে xx এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=e−22xx!;x=0,1,2,……...∞P(x)=\frac{e^{-2} 2^x}{x!} ; x=0,1,2, \ldots\ldots... \infty ∴3\therefore 3 টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব পাবার সম্ভাবনা =P(x=3)=e−2233!=0.18045=P(x=3)=\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^3}{3!}=0.18045 সুতরাং, 3 টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব পাবার সম্ভাবনা 0.18045.
ঘ
উদ্দীপকে ত্রুটিপূর্ণ বান্ধের সংখ্যা যে বিন্যাস মেনে চলে তার বঙ্কিমতাঙ্ক ও সূঁচালতা নির্ণয়পূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর

মনে করি, বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা সফলতা এবং চলক xx = ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের সংখ্যা। উদ্দীপক হতে পাই, p = 2% = 0.02 এবং n = 100 এখানে, যেহেতু n=100>30n = 100 > 30 এবং p=0.02<0.1p = 0.02 < 0.1। সুতরাং, চলক xx পৈঁসু বিন্যাসকে মেনে চলে। 'গ' হতে পাই, পরামিতি, m=2m = 2 আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=1m=12=11.41=0.71\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{m}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{1.41}=0.71 যেহেতু β1>0\sqrt{\beta_1}>0 । সুতরাং, উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। আবার, পৈঁসু বিন্যাসের সূচালতাঙ্ক, β2=3+1m=3+12=3+0.5=3.5\beta_2=3+\frac{1}{m}=3+\frac{1}{2}=3+0.5=3.5 যেহেতু β2>3\beta_2>3। সুতরাং উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি অতি সূঁচালো। অতএব, প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

আদিল একটি প্রতিষ্ঠানের তৈরিকৃত বাম্বের উপর জরিপ চালিয়ে দেখলেন যে, বাল্বের 2% ত্রুটিপূর্ণ। দৈবভাবে 100টি বান্ধ নির্বাচন করা হলো।

Jessore · 2025

ক
পৈঁসু বিন্যাসের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসে চেষ্টার সংখ্যা খুব বেশি এবং প্রতিবার চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা খুব কম হলে দ্বিপদী বিন্যাসের সীমায়িত রূপকে পৈঁসু বিন্যাস বলা হয়।
খ
পৈঁসু বিন্যাসের গড় সর্বদাই ধনাত্মক ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। ব্যাখ্যা: মনে করি, xx একটি পৈঁসু চলক যার পরামিতি m. ∴\therefore পৈঁসু বিন্যাসের গড়, E(x)=∑x=0∞xP(x)=m\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{x}=0}^{\infty} \mathrm{xP}(\mathrm{x})=\mathrm{m} যেহেতু, x≥0x \geq 0 এবং P(x)≥0P(x) \geq 0 অতএব, ∑x=0∞xP(x)≥0\sum_{x=0}^{\infty} x P(x) \geq 0; অর্থাৎ, m≥0m \geq 0. সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। এটি সর্বদাই ধনাত্মক।
গ
উদ্দীপক হতে 3টি ত্রুটিপূর্ণ বাম্ব পাবার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা সফলতা এবং চলক x=\mathrm{x}= ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের সংখ্যা। উদ্দীপক হতে পাই, p=2%=0.02\mathrm{p}=2 \%=0.02 এবং n=100\mathrm{n}=100 এখানে, যেহেতু n=100>30\mathrm{n}=100>30 এবং p=0.02<0.1\mathrm{p}=0.02<0.1 । সুতরাং, চলক x\mathbf{x} পৈঁসু বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore পৈঁসু চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশন, P(x)=e−m mxx!;x=0,1,2,……,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{~m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots, \infty এখানে, পরামিতি, m=np=100×0.02=2\mathrm{m}=\mathrm{np}=100 \times 0.02=2 সুতরাং, পরামিতি, m=2m=2 হলে xx এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=e−22xx!;x=0,1,2,……...∞P(x)=\frac{e^{-2} 2^x}{x!} ; x=0,1,2, \ldots\ldots... \infty ∴3\therefore 3 টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব পাবার সম্ভাবনা =P(x=3)=e−2233!=0.18045=P(x=3)=\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^3}{3!}=0.18045 সুতরাং, 3 টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব পাবার সম্ভাবনা 0.18045.
ঘ
উদ্দীপকে ত্রুটিপূর্ণ বান্ধের সংখ্যা যে বিন্যাস মেনে চলে তার বঙ্কিমতাঙ্ক ও সূঁচালতা নির্ণয়পূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর

মনে করি, বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা সফলতা এবং চলক xx = ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের সংখ্যা। উদ্দীপক হতে পাই, p = 2% = 0.02 এবং n = 100 এখানে, যেহেতু n=100>30n = 100 > 30 এবং p=0.02<0.1p = 0.02 < 0.1। সুতরাং, চলক xx পৈঁসু বিন্যাসকে মেনে চলে। 'গ' হতে পাই, পরামিতি, m=2m = 2 আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=1m=12=11.41=0.71\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{m}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{1.41}=0.71 যেহেতু β1>0\sqrt{\beta_1}>0 । সুতরাং, উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। আবার, পৈঁসু বিন্যাসের সূচালতাঙ্ক, β2=3+1m=3+12=3+0.5=3.5\beta_2=3+\frac{1}{m}=3+\frac{1}{2}=3+0.5=3.5 যেহেতু β2>3\beta_2>3। সুতরাং উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি অতি সূঁচালো। অতএব, প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি ড্রাগ রিসার্চ ইনস্টিটিউট এর জরিপে দেখা গেল, বর্ষাকালে বিষাক্ত সাপের কামড়ে গড়ে 2 জন মারা যায়, যা পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে।

Dhaka · 2025

ক
পৈঁসু চলকের সংজ্ঞা লেখ।

উত্তর

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx কে তখনই পেঁসু চলক বলা হয় যখন এটির সম্ভাবনা ফাংশনটি, P(x)=e−mmxx!;x=0,1,2,……..∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots . . \infty এবং m>0\mathrm{m}>0 হয়।
খ
পৈঁসু বিন্যাসের গড় কি ঋণাত্মক হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। ব্যাখ্যা : মনে করি, xx একটি পেঁসু চলক যার পরামিতি m. ∴\therefore পেঁসু বিন্যাসের গড়, E(x)=∑x=0∞xP(x)=m\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{x}=0}^{\infty} \mathrm{xP}(\mathrm{x})=\mathrm{m} যেহেতু, x≥0\mathrm{x} \geq 0 এবং P(x)≥0\mathrm{P}(\mathrm{x}) \geq 0 অতএব, ∑x=0∞xP(x)≥0\sum_{x=0}^{\infty} x P(x) \geq 0; অর্থাৎ, m≥0m \geq 0. সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। এটি সর্বদাই ধনাত্মক।
গ
সর্বোচ্চ একজন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, সাপের কামড়ে মারা যাওয়ার সংখ্যা = xx দেওয়া আছে, সাপের কামড়ে মারা যাওয়ার সংখ্যা = xx, যা পৈঁসু চলক এবং গড়, m=2\mathrm{m}=2. ∴\therefore পৈঁসু চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশন হবে, P(x)=e−m mxx!;x=0,1,……..,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{~m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1, \ldots \ldots . ., \infty আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের গড় উহার পরামিতির সমান। অর্থাৎ, গড় =m=2==m=2= পরামিতি। সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিত, m=2m = 2 হলে সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=e−22xx!;x=0,1,……………..,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . ., \infty ∴\therefore সর্বোচ্চ একজন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা =P(x≤1)=\mathbf{P}(\mathbf{x} \leq 1) =P(x=0)+P(x=1)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=1) =e−2200!+e−2211!=\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^0}{0!}+\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^1}{1!} =0.1353352832+0.2706705665=0.1353352832+0.2706705665 =0.4060058497=0.406=0.4060058497=0.406 সুতরাং, সর্বোচ্চ একজন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা 0.406.
ঘ
উক্ত বিন্যাসটির আকৃতি ও প্রকৃতি কীরূপ হবে? নির্ণয়পূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m=2m=2 আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=1 m=12=11.414=0.707\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{~m}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{1.414}=0.707 যেহেতু β1>0\sqrt{\beta_1}>0 । সুতরা, উদ্দীপকে প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। আবার, পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, β2=3+1m=3+12=3+0.5=3.50\beta_2=3+\frac{1}{m}=3+\frac{1}{2}=3+0.5=3.50 যেহেতু β2>3\beta_2>3 । সুতরাং উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি অতি সূঁচালো। অতএবউদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি ড্রাগ রিসার্চ ইনস্টিটিউট এর জরিপে দেখা গেল, বর্ষাকালে বিষাক্ত সাপের কামড়ে গড়ে 2 জন মারা যায়, যা পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে।

Dhaka · 2025

ক
পৈঁসু চলকের সংজ্ঞা লেখ।

উত্তর

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx কে তখনই পেঁসু চলক বলা হয় যখন এটির সম্ভাবনা ফাংশনটি, P(x)=e−mmxx!;x=0,1,2,……..∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots . . \infty এবং m>0\mathrm{m}>0 হয়।
খ
পৈঁসু বিন্যাসের গড় কি ঋণাত্মক হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। ব্যাখ্যা : মনে করি, xx একটি পেঁসু চলক যার পরামিতি m. ∴\therefore পেঁসু বিন্যাসের গড়, E(x)=∑x=0∞xP(x)=m\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{x}=0}^{\infty} \mathrm{xP}(\mathrm{x})=\mathrm{m} যেহেতু, x≥0\mathrm{x} \geq 0 এবং P(x)≥0\mathrm{P}(\mathrm{x}) \geq 0 অতএব, ∑x=0∞xP(x)≥0\sum_{x=0}^{\infty} x P(x) \geq 0; অর্থাৎ, m≥0m \geq 0. সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। এটি সর্বদাই ধনাত্মক।
গ
সর্বোচ্চ একজন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, সাপের কামড়ে মারা যাওয়ার সংখ্যা = xx দেওয়া আছে, সাপের কামড়ে মারা যাওয়ার সংখ্যা = xx, যা পৈঁসু চলক এবং গড়, m=2\mathrm{m}=2. ∴\therefore পৈঁসু চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশন হবে, P(x)=e−m mxx!;x=0,1,……..,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{~m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1, \ldots \ldots . ., \infty আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের গড় উহার পরামিতির সমান। অর্থাৎ, গড় =m=2==m=2= পরামিতি। সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিত, m=2m = 2 হলে সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=e−22xx!;x=0,1,……………..,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . ., \infty ∴\therefore সর্বোচ্চ একজন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা =P(x≤1)=\mathbf{P}(\mathbf{x} \leq 1) =P(x=0)+P(x=1)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=1) =e−2200!+e−2211!=\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^0}{0!}+\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^1}{1!} =0.1353352832+0.2706705665=0.1353352832+0.2706705665 =0.4060058497=0.406=0.4060058497=0.406 সুতরাং, সর্বোচ্চ একজন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা 0.406.
ঘ
উক্ত বিন্যাসটির আকৃতি ও প্রকৃতি কীরূপ হবে? নির্ণয়পূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m=2m=2 আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=1 m=12=11.414=0.707\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{~m}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{1.414}=0.707 যেহেতু β1>0\sqrt{\beta_1}>0 । সুতরা, উদ্দীপকে প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। আবার, পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, β2=3+1m=3+12=3+0.5=3.50\beta_2=3+\frac{1}{m}=3+\frac{1}{2}=3+0.5=3.50 যেহেতু β2>3\beta_2>3 । সুতরাং উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি অতি সূঁচালো। অতএবউদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

আদিল একটি প্রতিষ্ঠানের তৈরিকৃত বাম্বের উপর জরিপ চালিয়ে দেখলেন যে, বাল্বের 2% ত্রুটিপূর্ণ। দৈবভাবে 100টি বান্ধ নির্বাচন করা হলো।

Jessore · 2025

ক
পৈঁসু বিন্যাসের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসে চেষ্টার সংখ্যা খুব বেশি এবং প্রতিবার চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা খুব কম হলে দ্বিপদী বিন্যাসের সীমায়িত রূপকে পৈঁসু বিন্যাস বলা হয়।
খ
পৈঁসু বিন্যাসের গড় সর্বদাই ধনাত্মক ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। ব্যাখ্যা: মনে করি, xx একটি পৈঁসু চলক যার পরামিতি m. ∴\therefore পৈঁসু বিন্যাসের গড়, E(x)=∑x=0∞xP(x)=m\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{x}=0}^{\infty} \mathrm{xP}(\mathrm{x})=\mathrm{m} যেহেতু, x≥0x \geq 0 এবং P(x)≥0P(x) \geq 0 অতএব, ∑x=0∞xP(x)≥0\sum_{x=0}^{\infty} x P(x) \geq 0; অর্থাৎ, m≥0m \geq 0. সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। এটি সর্বদাই ধনাত্মক।
গ
উদ্দীপক হতে 3টি ত্রুটিপূর্ণ বাম্ব পাবার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা সফলতা এবং চলক x=\mathrm{x}= ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের সংখ্যা। উদ্দীপক হতে পাই, p=2%=0.02\mathrm{p}=2 \%=0.02 এবং n=100\mathrm{n}=100 এখানে, যেহেতু n=100>30\mathrm{n}=100>30 এবং p=0.02<0.1\mathrm{p}=0.02<0.1 । সুতরাং, চলক x\mathbf{x} পৈঁসু বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore পৈঁসু চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশন, P(x)=e−m mxx!;x=0,1,2,……,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{~m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots, \infty এখানে, পরামিতি, m=np=100×0.02=2\mathrm{m}=\mathrm{np}=100 \times 0.02=2 সুতরাং, পরামিতি, m=2m=2 হলে xx এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=e−22xx!;x=0,1,2,……...∞P(x)=\frac{e^{-2} 2^x}{x!} ; x=0,1,2, \ldots\ldots... \infty ∴3\therefore 3 টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব পাবার সম্ভাবনা =P(x=3)=e−2233!=0.18045=P(x=3)=\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^3}{3!}=0.18045 সুতরাং, 3 টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব পাবার সম্ভাবনা 0.18045.
ঘ
উদ্দীপকে ত্রুটিপূর্ণ বান্ধের সংখ্যা যে বিন্যাস মেনে চলে তার বঙ্কিমতাঙ্ক ও সূঁচালতা নির্ণয়পূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর

মনে করি, বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা সফলতা এবং চলক xx = ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের সংখ্যা। উদ্দীপক হতে পাই, p = 2% = 0.02 এবং n = 100 এখানে, যেহেতু n=100>30n = 100 > 30 এবং p=0.02<0.1p = 0.02 < 0.1। সুতরাং, চলক xx পৈঁসু বিন্যাসকে মেনে চলে। 'গ' হতে পাই, পরামিতি, m=2m = 2 আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=1m=12=11.41=0.71\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{m}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{1.41}=0.71 যেহেতু β1>0\sqrt{\beta_1}>0 । সুতরাং, উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। আবার, পৈঁসু বিন্যাসের সূচালতাঙ্ক, β2=3+1m=3+12=3+0.5=3.5\beta_2=3+\frac{1}{m}=3+\frac{1}{2}=3+0.5=3.5 যেহেতু β2>3\beta_2>3। সুতরাং উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি অতি সূঁচালো। অতএব, প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

আদিল একটি প্রতিষ্ঠানের তৈরিকৃত বাম্বের উপর জরিপ চালিয়ে দেখলেন যে, বাল্বের 2% ত্রুটিপূর্ণ। দৈবভাবে 100টি বান্ধ নির্বাচন করা হলো।

Jessore · 2025

ক
পৈঁসু বিন্যাসের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসে চেষ্টার সংখ্যা খুব বেশি এবং প্রতিবার চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা খুব কম হলে দ্বিপদী বিন্যাসের সীমায়িত রূপকে পৈঁসু বিন্যাস বলা হয়।
খ
পৈঁসু বিন্যাসের গড় সর্বদাই ধনাত্মক ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। ব্যাখ্যা: মনে করি, xx একটি পৈঁসু চলক যার পরামিতি m. ∴\therefore পৈঁসু বিন্যাসের গড়, E(x)=∑x=0∞xP(x)=m\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{x}=0}^{\infty} \mathrm{xP}(\mathrm{x})=\mathrm{m} যেহেতু, x≥0x \geq 0 এবং P(x)≥0P(x) \geq 0 অতএব, ∑x=0∞xP(x)≥0\sum_{x=0}^{\infty} x P(x) \geq 0; অর্থাৎ, m≥0m \geq 0. সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। এটি সর্বদাই ধনাত্মক।
গ
উদ্দীপক হতে 3টি ত্রুটিপূর্ণ বাম্ব পাবার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা সফলতা এবং চলক x=\mathrm{x}= ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের সংখ্যা। উদ্দীপক হতে পাই, p=2%=0.02\mathrm{p}=2 \%=0.02 এবং n=100\mathrm{n}=100 এখানে, যেহেতু n=100>30\mathrm{n}=100>30 এবং p=0.02<0.1\mathrm{p}=0.02<0.1 । সুতরাং, চলক x\mathbf{x} পৈঁসু বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore পৈঁসু চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশন, P(x)=e−m mxx!;x=0,1,2,……,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{~m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots, \infty এখানে, পরামিতি, m=np=100×0.02=2\mathrm{m}=\mathrm{np}=100 \times 0.02=2 সুতরাং, পরামিতি, m=2m=2 হলে xx এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=e−22xx!;x=0,1,2,……...∞P(x)=\frac{e^{-2} 2^x}{x!} ; x=0,1,2, \ldots\ldots... \infty ∴3\therefore 3 টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব পাবার সম্ভাবনা =P(x=3)=e−2233!=0.18045=P(x=3)=\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^3}{3!}=0.18045 সুতরাং, 3 টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব পাবার সম্ভাবনা 0.18045.
ঘ
উদ্দীপকে ত্রুটিপূর্ণ বান্ধের সংখ্যা যে বিন্যাস মেনে চলে তার বঙ্কিমতাঙ্ক ও সূঁচালতা নির্ণয়পূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর

মনে করি, বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা সফলতা এবং চলক xx = ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের সংখ্যা। উদ্দীপক হতে পাই, p = 2% = 0.02 এবং n = 100 এখানে, যেহেতু n=100>30n = 100 > 30 এবং p=0.02<0.1p = 0.02 < 0.1। সুতরাং, চলক xx পৈঁসু বিন্যাসকে মেনে চলে। 'গ' হতে পাই, পরামিতি, m=2m = 2 আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=1m=12=11.41=0.71\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{m}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{1.41}=0.71 যেহেতু β1>0\sqrt{\beta_1}>0 । সুতরাং, উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। আবার, পৈঁসু বিন্যাসের সূচালতাঙ্ক, β2=3+1m=3+12=3+0.5=3.5\beta_2=3+\frac{1}{m}=3+\frac{1}{2}=3+0.5=3.5 যেহেতু β2>3\beta_2>3। সুতরাং উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি অতি সূঁচালো। অতএব, প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি ড্রাগ রিসার্চ ইনস্টিটিউট এর জরিপে দেখা গেল, বর্ষাকালে বিষাক্ত সাপের কামড়ে গড়ে 2 জন মারা যায়, যা পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে।

Dhaka · 2025

ক
পৈঁসু চলকের সংজ্ঞা লেখ।

উত্তর

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx কে তখনই পেঁসু চলক বলা হয় যখন এটির সম্ভাবনা ফাংশনটি, P(x)=e−mmxx!;x=0,1,2,……..∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots . . \infty এবং m>0\mathrm{m}>0 হয়।
খ
পৈঁসু বিন্যাসের গড় কি ঋণাত্মক হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। ব্যাখ্যা : মনে করি, xx একটি পেঁসু চলক যার পরামিতি m. ∴\therefore পেঁসু বিন্যাসের গড়, E(x)=∑x=0∞xP(x)=m\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{x}=0}^{\infty} \mathrm{xP}(\mathrm{x})=\mathrm{m} যেহেতু, x≥0\mathrm{x} \geq 0 এবং P(x)≥0\mathrm{P}(\mathrm{x}) \geq 0 অতএব, ∑x=0∞xP(x)≥0\sum_{x=0}^{\infty} x P(x) \geq 0; অর্থাৎ, m≥0m \geq 0. সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। এটি সর্বদাই ধনাত্মক।
গ
সর্বোচ্চ একজন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, সাপের কামড়ে মারা যাওয়ার সংখ্যা = xx দেওয়া আছে, সাপের কামড়ে মারা যাওয়ার সংখ্যা = xx, যা পৈঁসু চলক এবং গড়, m=2\mathrm{m}=2. ∴\therefore পৈঁসু চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশন হবে, P(x)=e−m mxx!;x=0,1,……..,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{~m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1, \ldots \ldots . ., \infty আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের গড় উহার পরামিতির সমান। অর্থাৎ, গড় =m=2==m=2= পরামিতি। সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিত, m=2m = 2 হলে সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=e−22xx!;x=0,1,……………..,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . ., \infty ∴\therefore সর্বোচ্চ একজন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা =P(x≤1)=\mathbf{P}(\mathbf{x} \leq 1) =P(x=0)+P(x=1)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=1) =e−2200!+e−2211!=\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^0}{0!}+\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^1}{1!} =0.1353352832+0.2706705665=0.1353352832+0.2706705665 =0.4060058497=0.406=0.4060058497=0.406 সুতরাং, সর্বোচ্চ একজন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা 0.406.
ঘ
উক্ত বিন্যাসটির আকৃতি ও প্রকৃতি কীরূপ হবে? নির্ণয়পূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m=2m=2 আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=1 m=12=11.414=0.707\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{~m}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{1.414}=0.707 যেহেতু β1>0\sqrt{\beta_1}>0 । সুতরা, উদ্দীপকে প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। আবার, পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, β2=3+1m=3+12=3+0.5=3.50\beta_2=3+\frac{1}{m}=3+\frac{1}{2}=3+0.5=3.50 যেহেতু β2>3\beta_2>3 । সুতরাং উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি অতি সূঁচালো। অতএবউদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি ড্রাগ রিসার্চ ইনস্টিটিউট এর জরিপে দেখা গেল, বর্ষাকালে বিষাক্ত সাপের কামড়ে গড়ে 2 জন মারা যায়, যা পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে।

Dhaka · 2025

ক
পৈঁসু চলকের সংজ্ঞা লেখ।

উত্তর

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx কে তখনই পেঁসু চলক বলা হয় যখন এটির সম্ভাবনা ফাংশনটি, P(x)=e−mmxx!;x=0,1,2,……..∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots . . \infty এবং m>0\mathrm{m}>0 হয়।
খ
পৈঁসু বিন্যাসের গড় কি ঋণাত্মক হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। ব্যাখ্যা : মনে করি, xx একটি পেঁসু চলক যার পরামিতি m. ∴\therefore পেঁসু বিন্যাসের গড়, E(x)=∑x=0∞xP(x)=m\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{x}=0}^{\infty} \mathrm{xP}(\mathrm{x})=\mathrm{m} যেহেতু, x≥0\mathrm{x} \geq 0 এবং P(x)≥0\mathrm{P}(\mathrm{x}) \geq 0 অতএব, ∑x=0∞xP(x)≥0\sum_{x=0}^{\infty} x P(x) \geq 0; অর্থাৎ, m≥0m \geq 0. সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। এটি সর্বদাই ধনাত্মক।
গ
সর্বোচ্চ একজন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, সাপের কামড়ে মারা যাওয়ার সংখ্যা = xx দেওয়া আছে, সাপের কামড়ে মারা যাওয়ার সংখ্যা = xx, যা পৈঁসু চলক এবং গড়, m=2\mathrm{m}=2. ∴\therefore পৈঁসু চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশন হবে, P(x)=e−m mxx!;x=0,1,……..,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{~m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1, \ldots \ldots . ., \infty আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের গড় উহার পরামিতির সমান। অর্থাৎ, গড় =m=2==m=2= পরামিতি। সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিত, m=2m = 2 হলে সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=e−22xx!;x=0,1,……………..,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . ., \infty ∴\therefore সর্বোচ্চ একজন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা =P(x≤1)=\mathbf{P}(\mathbf{x} \leq 1) =P(x=0)+P(x=1)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=1) =e−2200!+e−2211!=\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^0}{0!}+\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^1}{1!} =0.1353352832+0.2706705665=0.1353352832+0.2706705665 =0.4060058497=0.406=0.4060058497=0.406 সুতরাং, সর্বোচ্চ একজন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা 0.406.
ঘ
উক্ত বিন্যাসটির আকৃতি ও প্রকৃতি কীরূপ হবে? নির্ণয়পূর্বক মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m=2m=2 আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=1 m=12=11.414=0.707\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{~m}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{1.414}=0.707 যেহেতু β1>0\sqrt{\beta_1}>0 । সুতরা, উদ্দীপকে প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। আবার, পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, β2=3+1m=3+12=3+0.5=3.50\beta_2=3+\frac{1}{m}=3+\frac{1}{2}=3+0.5=3.50 যেহেতু β2>3\beta_2>3 । সুতরাং উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি অতি সূঁচালো। অতএবউদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

কোনো একটি দোকানে প্রতি মিনিটে আগত ক্রেতার সংখ্যা পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে যার গড় 3। রনি মন্তব্য করল প্রতি মিনিটে 2 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা প্রতি মিনিটে 3 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনার সমান।

Dhaka · 2017

ক
পৈঁসু চলক কী?

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক x কে তখনই পৈঁসু চলক বলা হয় যখন এর সম্ভাবনা ফাংশনটি, P(x)=e−mmxx!,x=0,1,…∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!}, \mathrm{x}=0,1, \ldots \infty হয়।
খ
পরিমিত বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে কি? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পরিমিত বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে। কারণ পরিমিত বিন্যাসের সম্ভাবনা ঘনত্ব অপেক্ষক, f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2;−∞0f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 ;-\infty0 হতে দেখা যায় যে, গড় μ\mu এর রেঞ্জ −∞<μ<∞-\infty<\mu<\infty ।
গ
উদ্দীপকের আলোকে P(0 ≤ x ≤ 1 ) এর মান নির্ণয় কর যেখানে X= ক্রেতার সংখ্যা।

উত্তর

x=\mathrm{x}= ক্রেতার সংখ্যা গড়, m=3\mathrm{m}=3 xx একটি পৈঁসু চলক হলে তার সম্ভাবনা ফাংশন, P(x)=e−mmxx!;x=0,1,2,…..,∞P(x)=\frac{e^{-m} m^x}{x!} ; x=0,1,2, \ldots . ., \infty পরামিতি m = 3 হলে, P(x)=e−33xx!,x=0,1,2,…,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-3} 3^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!}, \mathrm{x}=0,1,2, \ldots, \infty ∴P(0≤x≤1)=P(x=0)+P(x=1)=e−3300!+e−3311!\therefore P(0 \leq x \leq 1)=P(x=0)+P(x=1)=\frac{e^{-3} 3^0}{0!}+\frac{e^{-3} 3^1}{1!} =0.04978+0.14936=0.19914=0.04978+0.14936=0.19914 ∴P(0≤x≤1)=0.19914\therefore \mathrm{P}(0 \leq \mathrm{x} \leq 1)=0.19914
ঘ
তুমি কি রনির মন্তব্যের সাথে একমত? সম্ভাবনা নির্ণয়পূর্বক মতামত দাও।

উত্তর

'গ' হতে প্রাপ্ত, P(x)=e−33xx!,x=0,1,…….,∞P(x)=\frac{\mathrm{e}^{-3} 3^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!}, \mathrm{x}=0,1, \ldots \ldots ., \infty এখানে, x = ক্রেতার সংখ্যা প্রতি মিনিটে 2 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা, P(y=2)=e−3322!=0.22404P(y=2)=\frac{e^{-3} 3^2}{2!}=0.22404 প্রতি মিনিটে 3 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা, P(x=3)=e−3333!=0.22404P(x=3)=\frac{e^{-3} 3^3}{3!}=0.22404 নির্ণীত সম্ভাবনা থেকে বলা যায় যে, রনির মন্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

কোনো একটি দোকানে প্রতি মিনিটে আগত ক্রেতার সংখ্যা পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে যার গড় 3। রনি মন্তব্য করল প্রতি মিনিটে 2 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা প্রতি মিনিটে 3 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনার সমান।

Dhaka · 2017

ক
পৈঁসু চলক কী?

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক x কে তখনই পৈঁসু চলক বলা হয় যখন এর সম্ভাবনা ফাংশনটি, P(x)=e−mmxx!,x=0,1,…∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!}, \mathrm{x}=0,1, \ldots \infty হয়।
খ
পরিমিত বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে কি? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

পরিমিত বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে। কারণ পরিমিত বিন্যাসের সম্ভাবনা ঘনত্ব অপেক্ষক, f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2;−∞0f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 ;-\infty0 হতে দেখা যায় যে, গড় μ\mu এর রেঞ্জ −∞<μ<∞-\infty<\mu<\infty ।
গ
উদ্দীপকের আলোকে P(0 ≤ x ≤ 1 ) এর মান নির্ণয় কর যেখানে X= ক্রেতার সংখ্যা।

উত্তর

x=\mathrm{x}= ক্রেতার সংখ্যা গড়, m=3\mathrm{m}=3 xx একটি পৈঁসু চলক হলে তার সম্ভাবনা ফাংশন, P(x)=e−mmxx!;x=0,1,2,…..,∞P(x)=\frac{e^{-m} m^x}{x!} ; x=0,1,2, \ldots . ., \infty পরামিতি m = 3 হলে, P(x)=e−33xx!,x=0,1,2,…,∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-3} 3^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!}, \mathrm{x}=0,1,2, \ldots, \infty ∴P(0≤x≤1)=P(x=0)+P(x=1)=e−3300!+e−3311!\therefore P(0 \leq x \leq 1)=P(x=0)+P(x=1)=\frac{e^{-3} 3^0}{0!}+\frac{e^{-3} 3^1}{1!} =0.04978+0.14936=0.19914=0.04978+0.14936=0.19914 ∴P(0≤x≤1)=0.19914\therefore \mathrm{P}(0 \leq \mathrm{x} \leq 1)=0.19914
ঘ
তুমি কি রনির মন্তব্যের সাথে একমত? সম্ভাবনা নির্ণয়পূর্বক মতামত দাও।

উত্তর

'গ' হতে প্রাপ্ত, P(x)=e−33xx!,x=0,1,…….,∞P(x)=\frac{\mathrm{e}^{-3} 3^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!}, \mathrm{x}=0,1, \ldots \ldots ., \infty এখানে, x = ক্রেতার সংখ্যা প্রতি মিনিটে 2 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা, P(y=2)=e−3322!=0.22404P(y=2)=\frac{e^{-3} 3^2}{2!}=0.22404 প্রতি মিনিটে 3 জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা, P(x=3)=e−3333!=0.22404P(x=3)=\frac{e^{-3} 3^3}{3!}=0.22404 নির্ণীত সম্ভাবনা থেকে বলা যায় যে, রনির মন্তব্য সঠিক ছিল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

বাংলাদেশে প্রতি 1000 জনের মধ্যে অল্প কিছু লোক শহরে এবং অবশিষ্ট লোক গ্রামে বাস করে। দৈবভাবে কয়েকজন লোকের একটি নমুনা নেওয়া হলো । এ নমুনায় শহরে বাস করা লোকের সংখ্যা পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে যেখানে P(x=4)=14P(x=3)P(x=4)=\frac{1}{4} P(x=3)।

Rajshahi · 2018

ক
পৈঁসু বিন্যাস কী?

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসে চেষ্টার সংখ্যা খুব বেশি এবং প্রতিবার চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা খুব কম হলে দ্বিপদী বিন্যাসের সীমায়িত রূপকে পৈঁসু বিন্যাস বলা হয়।
খ
পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি সর্বদাই ধনাত্মক ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

মনে করি, x একটি পৈঁসু চলক এবং এর পরামিতি ∴\therefore পৈঁসু বিন্যাসের গড় ∑x=0∞xP(x)=m\sum_{x=0}^{\infty} x P(x)=m যেহেতু x ≥\geq 0 এবং P(x) ≥\geq 0 অতএব, ΣxP(x)≥0\Sigma \mathrm{xP}(\mathrm{x}) \geq 0 অর্থাৎ, m ≥ 0 ∴\therefore পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতির মান সর্বদাই ধনাত্মক।
গ
উদ্দীপকের আলোকে সম্ভাবনা অপেক্ষক নির্ণয়পূর্বক P(x ≤ 1 ) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, চলক x = শহরে বাস করা লোকের সংখ্যা। পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি m হলে x এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে : P(x)=e−mmxx!;x=0,1,2,……,∞P(x)=\frac{e^{-m} m^x}{x!} ; x=0,1,2, \ldots \ldots, \infty দেওয়া আছে, P(x=4)=14P(x=3)\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)=\frac{1}{4} \mathrm{P}(\mathrm{x}=3) বা, e−mm44!=14⋅e−mm33!\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^4}{4!}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^3}{3!} বা, m44!=14⋅m33!\frac{\mathrm{m}^4}{4!}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{m}^3}{3!} বা, m3⋅m24=14⋅m36\frac{\mathrm{m}^3 \cdot \mathrm{m}}{24}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{m}^3}{6} বা, m24=124\frac{m}{24}=\frac{1}{24} বা, 24 m=2424 \mathrm{~m}=24 ∴m=1\therefore \quad m=1 অর্থাৎ, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m = 1। সুতরাং, পরামিতি, m = 1 হলে সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে : P(x)=e−11xx!;x=0,1,2,…….∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-1} 1^x}{\mathrm{x}!} ; \quad \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots . \infty এখন, P(x≥1)=1−P(x=0)=1−e−1100!P(x \geq 1) =1-P(x=0)=1-\frac{\mathrm{e}^{-1} 1^0}{0!} =1−e−1⋅11=1−e−1=1−0.36788=1-\frac{\mathrm{e}^{-1} \cdot 1}{1}=1-\mathrm{e}^{-1}=1-0.36788 ∴P(x≥1)=0.63212\therefore P(x \geq 1) =0.63212
ঘ
বঙ্কিমতাঙ্ক ও সূঁচালতাঙ্ক নির্ণয়পূর্বক বিন্যাসটির আকৃতি ও প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m = 1। আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=1m=11=11=1\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{m}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=\frac{1}{1}=1 যেহেতু VB > 0। সুতরাং, প্রদত্ত বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। এবং পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, β2=3+1m=3+11=3+1=4\beta_2=3+\frac{1}{m}=3+\frac{1}{1}=3+1=4 যেহেতু β2>3\beta_2>3। সুতরাং, প্রদত্ত বিন্যাসটি অতি সূঁচালো। অতএব, উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

বাংলাদেশে প্রতি 1000 জনের মধ্যে অল্প কিছু লোক শহরে এবং অবশিষ্ট লোক গ্রামে বাস করে। দৈবভাবে কয়েকজন লোকের একটি নমুনা নেওয়া হলো । এ নমুনায় শহরে বাস করা লোকের সংখ্যা পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে যেখানে P(x=4)=14P(x=3)P(x=4)=\frac{1}{4} P(x=3)।

Rajshahi · 2018

ক
পৈঁসু বিন্যাস কী?

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসে চেষ্টার সংখ্যা খুব বেশি এবং প্রতিবার চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা খুব কম হলে দ্বিপদী বিন্যাসের সীমায়িত রূপকে পৈঁসু বিন্যাস বলা হয়।
খ
পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি সর্বদাই ধনাত্মক ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

মনে করি, x একটি পৈঁসু চলক এবং এর পরামিতি ∴\therefore পৈঁসু বিন্যাসের গড় ∑x=0∞xP(x)=m\sum_{x=0}^{\infty} x P(x)=m যেহেতু x ≥\geq 0 এবং P(x) ≥\geq 0 অতএব, ΣxP(x)≥0\Sigma \mathrm{xP}(\mathrm{x}) \geq 0 অর্থাৎ, m ≥ 0 ∴\therefore পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতির মান সর্বদাই ধনাত্মক।
গ
উদ্দীপকের আলোকে সম্ভাবনা অপেক্ষক নির্ণয়পূর্বক P(x ≤ 1 ) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, চলক x = শহরে বাস করা লোকের সংখ্যা। পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি m হলে x এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে : P(x)=e−mmxx!;x=0,1,2,……,∞P(x)=\frac{e^{-m} m^x}{x!} ; x=0,1,2, \ldots \ldots, \infty দেওয়া আছে, P(x=4)=14P(x=3)\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)=\frac{1}{4} \mathrm{P}(\mathrm{x}=3) বা, e−mm44!=14⋅e−mm33!\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^4}{4!}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^3}{3!} বা, m44!=14⋅m33!\frac{\mathrm{m}^4}{4!}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{m}^3}{3!} বা, m3⋅m24=14⋅m36\frac{\mathrm{m}^3 \cdot \mathrm{m}}{24}=\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{m}^3}{6} বা, m24=124\frac{m}{24}=\frac{1}{24} বা, 24 m=2424 \mathrm{~m}=24 ∴m=1\therefore \quad m=1 অর্থাৎ, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m = 1। সুতরাং, পরামিতি, m = 1 হলে সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে : P(x)=e−11xx!;x=0,1,2,…….∞\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-1} 1^x}{\mathrm{x}!} ; \quad \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots . \infty এখন, P(x≥1)=1−P(x=0)=1−e−1100!P(x \geq 1) =1-P(x=0)=1-\frac{\mathrm{e}^{-1} 1^0}{0!} =1−e−1⋅11=1−e−1=1−0.36788=1-\frac{\mathrm{e}^{-1} \cdot 1}{1}=1-\mathrm{e}^{-1}=1-0.36788 ∴P(x≥1)=0.63212\therefore P(x \geq 1) =0.63212
ঘ
বঙ্কিমতাঙ্ক ও সূঁচালতাঙ্ক নির্ণয়পূর্বক বিন্যাসটির আকৃতি ও প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, m = 1। আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=1m=11=11=1\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{m}}=\frac{1}{\sqrt{1}}=\frac{1}{1}=1 যেহেতু VB > 0। সুতরাং, প্রদত্ত বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। এবং পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, β2=3+1m=3+11=3+1=4\beta_2=3+\frac{1}{m}=3+\frac{1}{1}=3+1=4 যেহেতু β2>3\beta_2>3। সুতরাং, প্রদত্ত বিন্যাসটি অতি সূঁচালো। অতএব, উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো