Chapter 4: দ্বিপদী বিন্যাস Statistics 2nd Paper

HSC Statistics 2nd Paper এর Chapter 4: দ্বিপদী বিন্যাস অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

২৫৭

প্রশ্ন

Statistics 2nd Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

রহিম সিলেট সিটিতে জরিপ করে দেখলো যে, নতুন জন্মগ্রহণ করা শিশুদের মধ্যে ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা 0.6। সে বললো 5 জন শিশুর মধ্যে বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা 50%।

Jessore · 2025

ক
দ্বিপদী চলকের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx কে দ্বিপদী চলক বলা হবে যদি উহার সম্ভাবনা ফাংশন, P(x)=nCxpxqn−x;x=0,1,2\mathrm{P}(\mathrm{x})={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{x}} \mathrm{p}^{\mathrm{x}} \mathrm{q}^{\mathrm{n}-\mathrm{x}} ; \mathrm{x}=0,1,2, …………n\ldots\ldots\ldots\ldots n হয়।
খ
দ্বিপদী বিন্যাসের ক্ষেত্রে গড় > ভেদাঙ্ক- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড় হয়। ব্যাখ্যা: দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি n ও p হলে, দ্বিপদী বিন্যাসের গড়, E(x)=np\mathrm{E}(\mathrm{x})=\mathrm{np} এবং ভেদাঙ্ক, V(x)=E(x)2−{E(x)}2=npqV(x)=E(x)^2-\{E(x)\}^2=n p q যেহেতু ভেদাঙ্ক, V(x)=npqV(x) =n p q =np(1−p)[∵p+q=1]=n p(1-p)[\because p+q=1] =np−np2=n p-n p^2 ∴V(x)=E(x)−np2[∵E(x)=np]\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}(\mathrm{x})-\mathrm{np}^2[\because \mathrm{E}(\mathrm{x})=\mathrm{np}] যেহেতু nn এবং p উভয়ই ধনাত্মক সংখ্যা, সেহেতু np2np^2 অবশ্যই ধনাত্মক সংখ্যা। ∴V(x)=E(x)\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}(\mathrm{x}) - একটি ধনাত্মক সংখ্যা ∴V(x)<E(x)\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})<\mathrm{E}(\mathrm{x}) সুতরাং, দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড়।
গ
উদ্দীপক হতে কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

তাই মনে করি, ছেলে হওয়ার ঘটনা সফলতা। যেহেতু ছেলে হওয়ার সম্ভাবনা =0.6= 0.6 ∴\therefore সফলতার সম্ভাবনা, p=0.6p = 0.6 এবং বিফলতার সম্ভাবনা, q=1−p=1−0.6=0.4q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4 এবং চেষ্টার সংখ্যা, n=5n = 5 ধরি, ছেলের সংখ্যা নির্দেশক চলক =x= x এখানে, যেহেতু n=5<30n = 5 < 30 এবং p=0.6>0.1p = 0.6 > 0.1। সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore দ্বিপদী চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxpxqn−x;x=0,1,………….,nP(x) ={ }^n C_x p^x q^{n-x} ; x=0,1, \ldots \ldots \ldots \ldots ., n =5Cx(0.6)x(0.4)5−x;x=0,1,……..5={ }^5 C_x(0.6)^x(0.4)^{5-x} ; x=0,1, \ldots \ldots . . 5 ∴\therefore কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভবনা =P(x=0)=P(x=0) =5C0(0.6)0(0.4)S−0=0.01024={ }^5 C_0(0.6)^0(0.4)^{S-0}=0.01024 সুতরাং, কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভবনা 0.01024.
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে রহিমের বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, p=0.6,q=0.4p=0.6, q=0.4 এবং n=5n=5 ধরি, ছেলের সংখ্যা নির্দেশক চলক =x= x এখানে, যেহেতু n=5<30\mathrm{n}=5<30 এবং p=0.6>0.1\mathrm{p}=0.6>0.1 । সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore দ্বিপদী চলক xx এর সন্ডাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxpxxqn−x;x=0,1,…nP(x) ={ }^n C_{x p} x^x q^{n-x} ; x=0,1, \ldots n =5Cx(0.6)x(0.4)5−x;x=0,1,…5={ }^5 C_x(0.6)^x(0.4)^{5-x} ; x=0,1, \ldots 5 ∴\therefore বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা =P(x≤2)=P(x \leq 2) =P(x=0)+P(x=1)+p(x=2)=P(x=0)+P(x=1)+p(x=2) =5C0(0.0)0(0.4)5−0+5C1(0.6)1(0.4)5−1={ }^5 C_0(0.0)^0(0.4)^{5-0}+{ }^5 C_1(0.6)^1(0.4)^{5-1} +5C2(0.6)2(0.4)5−2+{ }^5 C_2(0.6)^2(0.4)^{5-2} =0.01024+0.0786+0.2304=0.01024+0.0786+0.2304 =0.31924=31.92%=0.31924=31.92 \% সুতরাং, ১ জন শিশুর মধ্যে বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা 31.92 যা 50% এর অনেক কম। অতএব, উদ্দীপকের আলোকে রহিমের বক্তব্য সঠিক ছিল না।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

রহিম সিলেট সিটিতে জরিপ করে দেখলো যে, নতুন জন্মগ্রহণ করা শিশুদের মধ্যে ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা 0.6। সে বললো 5 জন শিশুর মধ্যে বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা 50%।

Jessore · 2025

ক
দ্বিপদী চলকের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx কে দ্বিপদী চলক বলা হবে যদি উহার সম্ভাবনা ফাংশন, P(x)=nCxpxqn−x;x=0,1,2\mathrm{P}(\mathrm{x})={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{x}} \mathrm{p}^{\mathrm{x}} \mathrm{q}^{\mathrm{n}-\mathrm{x}} ; \mathrm{x}=0,1,2, …………n\ldots\ldots\ldots\ldots n হয়।
খ
দ্বিপদী বিন্যাসের ক্ষেত্রে গড় > ভেদাঙ্ক- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড় হয়। ব্যাখ্যা: দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি n ও p হলে, দ্বিপদী বিন্যাসের গড়, E(x)=np\mathrm{E}(\mathrm{x})=\mathrm{np} এবং ভেদাঙ্ক, V(x)=E(x)2−{E(x)}2=npqV(x)=E(x)^2-\{E(x)\}^2=n p q যেহেতু ভেদাঙ্ক, V(x)=npqV(x) =n p q =np(1−p)[∵p+q=1]=n p(1-p)[\because p+q=1] =np−np2=n p-n p^2 ∴V(x)=E(x)−np2[∵E(x)=np]\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}(\mathrm{x})-\mathrm{np}^2[\because \mathrm{E}(\mathrm{x})=\mathrm{np}] যেহেতু nn এবং p উভয়ই ধনাত্মক সংখ্যা, সেহেতু np2np^2 অবশ্যই ধনাত্মক সংখ্যা। ∴V(x)=E(x)\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}(\mathrm{x}) - একটি ধনাত্মক সংখ্যা ∴V(x)<E(x)\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})<\mathrm{E}(\mathrm{x}) সুতরাং, দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড়।
গ
উদ্দীপক হতে কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

তাই মনে করি, ছেলে হওয়ার ঘটনা সফলতা। যেহেতু ছেলে হওয়ার সম্ভাবনা =0.6= 0.6 ∴\therefore সফলতার সম্ভাবনা, p=0.6p = 0.6 এবং বিফলতার সম্ভাবনা, q=1−p=1−0.6=0.4q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4 এবং চেষ্টার সংখ্যা, n=5n = 5 ধরি, ছেলের সংখ্যা নির্দেশক চলক =x= x এখানে, যেহেতু n=5<30n = 5 < 30 এবং p=0.6>0.1p = 0.6 > 0.1। সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore দ্বিপদী চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxpxqn−x;x=0,1,………….,nP(x) ={ }^n C_x p^x q^{n-x} ; x=0,1, \ldots \ldots \ldots \ldots ., n =5Cx(0.6)x(0.4)5−x;x=0,1,……..5={ }^5 C_x(0.6)^x(0.4)^{5-x} ; x=0,1, \ldots \ldots . . 5 ∴\therefore কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভবনা =P(x=0)=P(x=0) =5C0(0.6)0(0.4)S−0=0.01024={ }^5 C_0(0.6)^0(0.4)^{S-0}=0.01024 সুতরাং, কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভবনা 0.01024.
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে রহিমের বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, p=0.6,q=0.4p=0.6, q=0.4 এবং n=5n=5 ধরি, ছেলের সংখ্যা নির্দেশক চলক =x= x এখানে, যেহেতু n=5<30\mathrm{n}=5<30 এবং p=0.6>0.1\mathrm{p}=0.6>0.1 । সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore দ্বিপদী চলক xx এর সন্ডাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxpxxqn−x;x=0,1,…nP(x) ={ }^n C_{x p} x^x q^{n-x} ; x=0,1, \ldots n =5Cx(0.6)x(0.4)5−x;x=0,1,…5={ }^5 C_x(0.6)^x(0.4)^{5-x} ; x=0,1, \ldots 5 ∴\therefore বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা =P(x≤2)=P(x \leq 2) =P(x=0)+P(x=1)+p(x=2)=P(x=0)+P(x=1)+p(x=2) =5C0(0.0)0(0.4)5−0+5C1(0.6)1(0.4)5−1={ }^5 C_0(0.0)^0(0.4)^{5-0}+{ }^5 C_1(0.6)^1(0.4)^{5-1} +5C2(0.6)2(0.4)5−2+{ }^5 C_2(0.6)^2(0.4)^{5-2} =0.01024+0.0786+0.2304=0.01024+0.0786+0.2304 =0.31924=31.92%=0.31924=31.92 \% সুতরাং, ১ জন শিশুর মধ্যে বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা 31.92 যা 50% এর অনেক কম। অতএব, উদ্দীপকের আলোকে রহিমের বক্তব্য সঠিক ছিল না।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি কারখানায় উৎপাদিত মিষ্টির 35% খারাপ। মিষ্টিগুলো প্রতি প্যাকেটে 12টি করে সরবরাহ করা হয়।

Jessore · 2025

ক
দ্বিপদী বিন্যাসের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

দ্বিপদী চলক ও এর প্রত্যেকটি মানের সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনাসমূহ তালিকায় বা সারণির মাধ্যমে উপস্থাপন করলে যে বিন্যাস পাওয়া যায় তাকে দ্বিপদী বিন্যাস বলে।
খ
দ্বিপদী বিন্যাস একটি সুষম বিন্যাস- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাস একটি সুষম বিন্যাস। ব্যাখ্যা : আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=q−pnpq\sqrt{\beta_1}=\frac{q-p}{\sqrt{n p q}} দ্বিপদী বিন্যাস সুষম বা প্রতিসম হবে যদি β1=0\sqrt{\beta_1}=0 হয়। বা, q−pnpq=0\frac{q-p}{\sqrt{n p q}}=0 বা, q−p=0q-p=0 ∴q=p\therefore \mathrm{q}=\mathrm{p} অতএব, p=qp=q হলে দ্বিপদী বিন্যাস সুষম বা প্রতিসম হয়। অর্থাৎ, দ্বিপদী বিন্যাসের সফলতার সম্ভাবনা এবং বিফলতার সম্ভাবনা সমান হলে বিন্যাসটি সুষম বা প্রতিসম হয়।
গ
উদ্দীপক হতে বড়জোর একটি মিষ্টি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা. নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, খারাপ মিষ্টি সফলতা নির্দেশ করে। প্রশ্নমতে, P=35%=0.35\mathrm{P}=35 \%=0.35 ∴q=1−p=1−0.35=0.65\therefore \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-0.35=0.65 এবং n=12\mathrm{n}=12 মনে করি, খারাপ মিষ্টির সংখ্যা নির্দেশ চলক =x= x. এখানে, n=12<30\mathrm{n}=12<30 এবং P=0.35>0.10\mathrm{P}=0.35>0.10 । সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore দ্বিপদী চলক xx এর সম্ভবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxPxqn−x;x=0,1,……,nP(x) ={ }^n C_x P^x q^{n-x} ; x=0,1, \ldots \ldots , n =12Cx(0.35)x(0.65)12−x;x=0,1,2,.……,12={ }^{12} C_x(0.35)^x(0.65)^{12-x} ; x=0,1,2, . \ldots\ldots, 12 ∴\therefore বড়জোর একটি মিষ্টি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা =P(x≤1)=\mathrm{P}(\mathrm{x} \leq 1) =P(x=0)+P(x=1)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=1) =12C0(0.35)0(0.65)12−0={ }^{12} \mathrm{C}_0(0.35)^0(0.65)^{12-0} +12C1(0.35)1(0.65)12−1+{ }^{12} \mathrm{C}_1(0.35)^1(0.65)^{12-1} =0.00568801+0.03675329=0.0424413=0.00568801+0.03675329=0.0424413
ঘ
উদ্দীপক হতে খারাপ মিষ্টির সংখ্যা যে বিন্যাস মেনে চলে তার বঙ্কিমতাঙ্ক ও সূঁচালতা নির্ণয়পূর্বক বিন্যাসটির আকৃতি ও প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, p=0.35,q=0.65\mathrm{p}=0.35, \mathrm{q}=0.65 এবং n=12\mathrm{n}=12 মনে করি, খারাপ মিষ্টির সংখ্যা নির্দেশ চলক =x.= x. এখানে, n=12<30\mathrm{n}=12<30 এবং P=0.35>0.10\mathrm{P}=0.35>0.10। সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=q−pnpq\sqrt{\beta}_1=\frac{q-p}{\sqrt{n p q}} =0.65−0.3512×0.35×0.65=\frac{0.65-0.35}{\sqrt{12 \times 0.35 \times 0.65}} =0.32.73=0.31.6523=0.182=\frac{0.3}{\sqrt{2.73}}=\frac{0.3}{1.6523}=0.182 যেহেতু β1>0.1\sqrt{\beta_1}>0.1 সুতরাং, উদ্দীপকে প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। আবার, দ্বিপদী বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, β2=3+1−6pqnpq\beta_2=3+\frac{1-6 \mathrm{pq}}{\mathrm{npq}} =3+1−6×0.35×0.6512×0.35×0.65=3+\frac{1-6 \times 0.35 \times 0.65}{12 \times 0.35 \times 0.65} =3+1−1.3652.73=3+−0.3652.73=3+\frac{1-1.365}{2.73}=3+\frac{-0.365}{2.73} =3−0.3652.73=3−0.134=2.866=3-\frac{0.365}{2.73}=3-0.134=2.866 যেহেতু β2<31\beta_2<31 সুতরাং, উদ্দীপকের প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি অনতি সূঁচালো। অতএব, উদ্দীপকের প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অনতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি কারখানায় উৎপাদিত মিষ্টির 35% খারাপ। মিষ্টিগুলো প্রতি প্যাকেটে 12টি করে সরবরাহ করা হয়।

Jessore · 2025

ক
দ্বিপদী বিন্যাসের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

দ্বিপদী চলক ও এর প্রত্যেকটি মানের সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনাসমূহ তালিকায় বা সারণির মাধ্যমে উপস্থাপন করলে যে বিন্যাস পাওয়া যায় তাকে দ্বিপদী বিন্যাস বলে।
খ
দ্বিপদী বিন্যাস একটি সুষম বিন্যাস- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাস একটি সুষম বিন্যাস। ব্যাখ্যা : আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=q−pnpq\sqrt{\beta_1}=\frac{q-p}{\sqrt{n p q}} দ্বিপদী বিন্যাস সুষম বা প্রতিসম হবে যদি β1=0\sqrt{\beta_1}=0 হয়। বা, q−pnpq=0\frac{q-p}{\sqrt{n p q}}=0 বা, q−p=0q-p=0 ∴q=p\therefore \mathrm{q}=\mathrm{p} অতএব, p=qp=q হলে দ্বিপদী বিন্যাস সুষম বা প্রতিসম হয়। অর্থাৎ, দ্বিপদী বিন্যাসের সফলতার সম্ভাবনা এবং বিফলতার সম্ভাবনা সমান হলে বিন্যাসটি সুষম বা প্রতিসম হয়।
গ
উদ্দীপক হতে বড়জোর একটি মিষ্টি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা. নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, খারাপ মিষ্টি সফলতা নির্দেশ করে। প্রশ্নমতে, P=35%=0.35\mathrm{P}=35 \%=0.35 ∴q=1−p=1−0.35=0.65\therefore \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-0.35=0.65 এবং n=12\mathrm{n}=12 মনে করি, খারাপ মিষ্টির সংখ্যা নির্দেশ চলক =x= x. এখানে, n=12<30\mathrm{n}=12<30 এবং P=0.35>0.10\mathrm{P}=0.35>0.10 । সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore দ্বিপদী চলক xx এর সম্ভবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxPxqn−x;x=0,1,……,nP(x) ={ }^n C_x P^x q^{n-x} ; x=0,1, \ldots \ldots , n =12Cx(0.35)x(0.65)12−x;x=0,1,2,.……,12={ }^{12} C_x(0.35)^x(0.65)^{12-x} ; x=0,1,2, . \ldots\ldots, 12 ∴\therefore বড়জোর একটি মিষ্টি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা =P(x≤1)=\mathrm{P}(\mathrm{x} \leq 1) =P(x=0)+P(x=1)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=1) =12C0(0.35)0(0.65)12−0={ }^{12} \mathrm{C}_0(0.35)^0(0.65)^{12-0} +12C1(0.35)1(0.65)12−1+{ }^{12} \mathrm{C}_1(0.35)^1(0.65)^{12-1} =0.00568801+0.03675329=0.0424413=0.00568801+0.03675329=0.0424413
ঘ
উদ্দীপক হতে খারাপ মিষ্টির সংখ্যা যে বিন্যাস মেনে চলে তার বঙ্কিমতাঙ্ক ও সূঁচালতা নির্ণয়পূর্বক বিন্যাসটির আকৃতি ও প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, p=0.35,q=0.65\mathrm{p}=0.35, \mathrm{q}=0.65 এবং n=12\mathrm{n}=12 মনে করি, খারাপ মিষ্টির সংখ্যা নির্দেশ চলক =x.= x. এখানে, n=12<30\mathrm{n}=12<30 এবং P=0.35>0.10\mathrm{P}=0.35>0.10। সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=q−pnpq\sqrt{\beta}_1=\frac{q-p}{\sqrt{n p q}} =0.65−0.3512×0.35×0.65=\frac{0.65-0.35}{\sqrt{12 \times 0.35 \times 0.65}} =0.32.73=0.31.6523=0.182=\frac{0.3}{\sqrt{2.73}}=\frac{0.3}{1.6523}=0.182 যেহেতু β1>0.1\sqrt{\beta_1}>0.1 সুতরাং, উদ্দীপকে প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। আবার, দ্বিপদী বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, β2=3+1−6pqnpq\beta_2=3+\frac{1-6 \mathrm{pq}}{\mathrm{npq}} =3+1−6×0.35×0.6512×0.35×0.65=3+\frac{1-6 \times 0.35 \times 0.65}{12 \times 0.35 \times 0.65} =3+1−1.3652.73=3+−0.3652.73=3+\frac{1-1.365}{2.73}=3+\frac{-0.365}{2.73} =3−0.3652.73=3−0.134=2.866=3-\frac{0.365}{2.73}=3-0.134=2.866 যেহেতু β2<31\beta_2<31 সুতরাং, উদ্দীপকের প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি অনতি সূঁচালো। অতএব, উদ্দীপকের প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অনতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

কোনো একটি ক্রিকেট টুর্নামেন্টে A দল জয়ী হওয়ার সম্ভাবনা 0.40। ক্রিকেট বিশ্লেষকদের মতে, উক্ত টুর্নামেন্টে তাদের 5টি ম্যাচের মধ্যে কমপক্ষে 3টি জয়ী হওয়ার সম্ভাবনা 45%।

Dhaka · 2025

ক
দ্বিপদী পরীক্ষা কাকে বলে?

উত্তর

যে পরীক্ষায় চেষ্টার সংখ্যা 30 এর কম হয়, চেষ্টাগুলো পরস্পর স্বাধীন হয়, প্রতিবার চেষ্টায় দুটি ফলাফল সফলতা ও বিফলতা পাওয়া যায় এবং প্রতিবারের সফলতা ও বিফলতার সম্ভাবনা একটি স্থির রাশি হয়, তবে ঐ পরীক্ষাকে দ্বিপদী পরীক্ষা বলা হয়।
খ
দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ও ভেদাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড় হয়। ব্যাখ্যা : দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি n ও p হলে, দ্বিপদী বিন্যাসের গড়, E(x)=np\mathrm{E}(\mathrm{x})=\mathrm{np} এবং ভেদাঙ্ক, V(x)=E(x)2−{E(x)}2/42npqV(x)=E(x)^2-\{E(x)\}^{2 / 42} n p q যেহেতু ভেদাঙ্ক, V(x)=npqV(x) =n p q =np(1−p)[∵p+q=1]=n p(1-p)[\because p+q=1] =np−np2=n p-n p^2 ∴V(x)=E(x)−np2[∵E(x)=np]\therefore V(x)=E(x)-n p^2[\because E(x)=n p] যেহেতু n এবং p উভয়ই ধনাত্মক সংখ্যা, সেহেতু np2\mathrm{np}^2 অবশ্যই ধনাত্মক সংখ্যা। ∴V(x)=E(x)\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}(\mathrm{x}) - একটি ধনাত্মক সংখ্যা ∴V(x)<E(x)\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})<\mathrm{E}(\mathrm{x}) সুতরাং, দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড়।
গ
উদ্দীপকের তথ্যের ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, A দল জয়ী হওয়ার ঘটনা সফলতা নির্দেশ করে। প্রশ্নমতে, p=0.40\mathrm{p}=0.40 ∴q=1−p=1−0.40=0.60\therefore q=1-p=1-0.40=0.60 এবং চেষ্টার সংখ্যা, n=5\mathrm{n}=5 মনে করি, A দলের ম্যাচ জয়ের সংখ্যা নির্দেশক চলক =x=x এখানে, n=5<30\mathrm{n}=5<30 এবং p=0.40>0.10\mathrm{p}=0.40>0.10। সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের ভেদাঙ্ক =npq=5×0.40×0.60=1.20=n p q=5 \times 0.40 \times 0.60=1.20 সুতরাং, উদ্দীপকের প্রদত্ত তথ্যটি দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে, যার ভেদাঙ্ক = 1.20.
ঘ
ক্রিকেট বিশ্লেষকদের ধারণার সঠিকতা গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

উত্তর

মনে করি, A দল জয়ী হওয়ার ঘটনা সফলতা নির্দেশ করে। প্রশ্নমতে, p=0.40p = 0.40 ∴q=1−p=1−0.40=0.60\therefore q=1-p=1-0.40=0.60 এবং চেষ্টার সংখ্যা, n=5\mathrm{n}=5 মনে করি, A দলের ম্যাচ জয়ের সংখ্যা নির্দেশক চলক =x= x এখানে, n=5<30\mathrm{n}=5<30 এবং p=0.40>0.10\mathrm{p}=0.40>0.10 । সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। সুতরাং, দ্বিপদী চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxpxqn−x;x=0,1,2,…………….,n\mathrm{P}(\mathrm{x}) ={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{x}} \mathrm{p}^{\mathrm{x}} \mathrm{q}^{\mathrm{n}-\mathrm{x}} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ., \mathrm{n} =5Cx(0.40)x(0.60)5−x;x=0,1,2,3,4,5={ }^5 \mathrm{C}_{\mathrm{x}}(0.40)^{\mathrm{x}}(0.60)^{5-\mathrm{x}} ; \mathrm{x}=0,1,2,3,4,5 ∴A\therefore A দল কমপক্ষে 3টি ম্যাচ জয়ী হওয়ার সম্ভাবনা =P(x≥3)=P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)=\mathrm{P}(\mathrm{x} \geq 3)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=5) =5C3(0.40)3(0.60)5−3+5C4(0.40)4(0.60)5−4+5C5(0.40)5(0.60)5−5={ }^5 \mathrm{C}_3(0.40)^3(0.60)^{5-3}+{ }^5 \mathrm{C}_4(0.40)^4(0.60)^{5-4}+{ }^5 \mathrm{C}_5(0.40)^5(0.60)^{5-5} =0.2304+0.0768+0.01024=0.31744=31.74%=0.2304+0.0768+0.01024=0.31744=31.74 \% সুতরাং, A দল কমপক্ষে 3টি ম্যাচ জয়ী হওয়ার সম্ভাবনা = 31.74%। কিন্তু ক্রিকেট বিশ্লেষকদের মতে, A দল কমপক্ষে 3টি ম্যাচ জয়ী হওয়ার সম্ভাবনা 45%। অতএব, ক্রিকেট বিশ্লেষকের ধারণা সঠিক ছিল না।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

কোনো একটি ক্রিকেট টুর্নামেন্টে A দল জয়ী হওয়ার সম্ভাবনা 0.40। ক্রিকেট বিশ্লেষকদের মতে, উক্ত টুর্নামেন্টে তাদের 5টি ম্যাচের মধ্যে কমপক্ষে 3টি জয়ী হওয়ার সম্ভাবনা 45%।

Dhaka · 2025

ক
দ্বিপদী পরীক্ষা কাকে বলে?

উত্তর

যে পরীক্ষায় চেষ্টার সংখ্যা 30 এর কম হয়, চেষ্টাগুলো পরস্পর স্বাধীন হয়, প্রতিবার চেষ্টায় দুটি ফলাফল সফলতা ও বিফলতা পাওয়া যায় এবং প্রতিবারের সফলতা ও বিফলতার সম্ভাবনা একটি স্থির রাশি হয়, তবে ঐ পরীক্ষাকে দ্বিপদী পরীক্ষা বলা হয়।
খ
দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ও ভেদাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড় হয়। ব্যাখ্যা : দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি n ও p হলে, দ্বিপদী বিন্যাসের গড়, E(x)=np\mathrm{E}(\mathrm{x})=\mathrm{np} এবং ভেদাঙ্ক, V(x)=E(x)2−{E(x)}2/42npqV(x)=E(x)^2-\{E(x)\}^{2 / 42} n p q যেহেতু ভেদাঙ্ক, V(x)=npqV(x) =n p q =np(1−p)[∵p+q=1]=n p(1-p)[\because p+q=1] =np−np2=n p-n p^2 ∴V(x)=E(x)−np2[∵E(x)=np]\therefore V(x)=E(x)-n p^2[\because E(x)=n p] যেহেতু n এবং p উভয়ই ধনাত্মক সংখ্যা, সেহেতু np2\mathrm{np}^2 অবশ্যই ধনাত্মক সংখ্যা। ∴V(x)=E(x)\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}(\mathrm{x}) - একটি ধনাত্মক সংখ্যা ∴V(x)<E(x)\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})<\mathrm{E}(\mathrm{x}) সুতরাং, দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড়।
গ
উদ্দীপকের তথ্যের ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, A দল জয়ী হওয়ার ঘটনা সফলতা নির্দেশ করে। প্রশ্নমতে, p=0.40\mathrm{p}=0.40 ∴q=1−p=1−0.40=0.60\therefore q=1-p=1-0.40=0.60 এবং চেষ্টার সংখ্যা, n=5\mathrm{n}=5 মনে করি, A দলের ম্যাচ জয়ের সংখ্যা নির্দেশক চলক =x=x এখানে, n=5<30\mathrm{n}=5<30 এবং p=0.40>0.10\mathrm{p}=0.40>0.10। সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের ভেদাঙ্ক =npq=5×0.40×0.60=1.20=n p q=5 \times 0.40 \times 0.60=1.20 সুতরাং, উদ্দীপকের প্রদত্ত তথ্যটি দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে, যার ভেদাঙ্ক = 1.20.
ঘ
ক্রিকেট বিশ্লেষকদের ধারণার সঠিকতা গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

উত্তর

মনে করি, A দল জয়ী হওয়ার ঘটনা সফলতা নির্দেশ করে। প্রশ্নমতে, p=0.40p = 0.40 ∴q=1−p=1−0.40=0.60\therefore q=1-p=1-0.40=0.60 এবং চেষ্টার সংখ্যা, n=5\mathrm{n}=5 মনে করি, A দলের ম্যাচ জয়ের সংখ্যা নির্দেশক চলক =x= x এখানে, n=5<30\mathrm{n}=5<30 এবং p=0.40>0.10\mathrm{p}=0.40>0.10 । সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। সুতরাং, দ্বিপদী চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxpxqn−x;x=0,1,2,…………….,n\mathrm{P}(\mathrm{x}) ={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{x}} \mathrm{p}^{\mathrm{x}} \mathrm{q}^{\mathrm{n}-\mathrm{x}} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ., \mathrm{n} =5Cx(0.40)x(0.60)5−x;x=0,1,2,3,4,5={ }^5 \mathrm{C}_{\mathrm{x}}(0.40)^{\mathrm{x}}(0.60)^{5-\mathrm{x}} ; \mathrm{x}=0,1,2,3,4,5 ∴A\therefore A দল কমপক্ষে 3টি ম্যাচ জয়ী হওয়ার সম্ভাবনা =P(x≥3)=P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)=\mathrm{P}(\mathrm{x} \geq 3)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=5) =5C3(0.40)3(0.60)5−3+5C4(0.40)4(0.60)5−4+5C5(0.40)5(0.60)5−5={ }^5 \mathrm{C}_3(0.40)^3(0.60)^{5-3}+{ }^5 \mathrm{C}_4(0.40)^4(0.60)^{5-4}+{ }^5 \mathrm{C}_5(0.40)^5(0.60)^{5-5} =0.2304+0.0768+0.01024=0.31744=31.74%=0.2304+0.0768+0.01024=0.31744=31.74 \% সুতরাং, A দল কমপক্ষে 3টি ম্যাচ জয়ী হওয়ার সম্ভাবনা = 31.74%। কিন্তু ক্রিকেট বিশ্লেষকদের মতে, A দল কমপক্ষে 3টি ম্যাচ জয়ী হওয়ার সম্ভাবনা 45%। অতএব, ক্রিকেট বিশ্লেষকের ধারণা সঠিক ছিল না।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

উচ্চ মাধ্যমিক পরীক্ষায় পরিসংখ্যান বিষয়ে অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীর 60% বালিকা। অনুপস্থিতির কারণ অনুসন্ধানের জন্য দৈবভাবে 10 জনকে নির্বাচন করা হলো।

Dhaka · 2025

ক
বার্নোলী চলক কাকে বলে?

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx কে বার্নোলী চলক বলা হবে যদি উহার সম্ভাবনা ফাংশন, P(x)=Pxq1−x;x=0,1\mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{P}^{\mathrm{x}} \mathrm{q}^{1-\mathrm{x}} ; \mathrm{x}=0,1 হয়।
খ
একটি দৈব চলকের গড় = 2 এবং ভেদাঙ্ক = 3। এটি কি একটি দ্বিপদী চলক? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

একটি দৈব চলকের গড় = 2 এবং ভেদাঙ্ক = 3 এটি একটি দ্বিপদী চলক নয়। ব্যাখ্যা: আমরা জানি, দ্বিপদী চলকের গড় উহার ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড়। এখানে, দৈব চলকের গড় 2 এবং ভেদাঙ্ক = 3। অর্থাৎ দৈব চলকের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা ছোট। সুতরাং এটি দ্বিপদী চলক হতে পারে না। অতএব, একটি দৈব চলকের গড় = 2 এবং ভেদাঙ্ক ও এটি একটি দ্বিপদী চলক নয়।
গ
অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীর মধ্যে ও জন বালিকা হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

এই মনে করি, অনুপস্থিত পরীক্ষার্থী তালিকা হওয়ার ঘটনা সফলতা নির্দেশ করে। প্রশ্নমতে, p=60%=0.6\mathrm{p}=60 \%=0.6 ∴q=1−p=1−0.6=0.4\therefore q=1-p=1-0.6=0.4 এবং চেষ্টার সংখ্যা, n=10\mathrm{n}=10 মনে করি, অনুপস্থিত বালিকা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা নিদেশ চলক =x= x এখানে, n=10<30\mathrm{n}=10<30 এবং p=0.60>0.1\mathrm{p}=0.60>0.1 । সুতরা, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। সুতরাং, দ্বিপদী চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxpxqn−x;x=0,1,2,….......,nP(x) ={ }^n C_x p^x q^{n-x} ; x=0,1,2, \ldots . . . . . . ., n =10Cx(0.60)x(0.40)10−x;x=0,1,2,…..10={ }^{10} C_x(0.60)^x(0.40)^{10-x} ; x=0,1,2, \ldots . . 10 ∴\therefore অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীর মধ্যে 3 জন বালিকা হওয়ার সম্ভাবনা =P(x=3)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=3) =10C3(0.60)3(0.40)10−3={ }^{10} \mathrm{C}_3(0.60)^3(0.40)^{10-3} =120×0.216×0.0016384=120 \times 0.216 \times 0.0016384 =0.042467328=0.042467328 সুতরাং, অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীর মধ্যে 3 জন বালিকা হওয়ার সম্ভাবনা 0.042467328 .
ঘ
গাণিতিক পরিমাপের মাধ্যমে অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীর বিন্যাসের আকৃতি ও প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, p=0.6q=0.4p = 0.6 q = 0.4 এবংn=10n= 10 মনে করি, অনুপস্থিত বালিকা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা নিদেশ চলক =x= x এখানে, n=10<30n = 10 < 30 এবং p=0.6>0.1p = 0.6 > 0.1 । সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্ক্ষিমতাঙ্ক, β1=q−pnpq=0.40−0.6010×0.60×0.40\sqrt{\beta_1}=\frac{q-p}{\sqrt{n p q}} =\frac{0.40-0.60}{\sqrt{10 \times 0.60 \times 0.40}} =−0.202.4=−0.201.55=−0.13=\frac{-0.20}{\sqrt{2.4}}=\frac{-0.20}{1.55}=-0.13 যেহেতু β1<0\sqrt{\beta_1}<0 সুতরাং, উদ্দীপকে প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি ঋণাত্মক বঙ্কিম। আবার, বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, β2=3+1−6pqnpq\beta_2=3+\frac{1-6 \mathrm{pq}}{\mathrm{npq}} =3+1−6×0.60×0.4010×0.60×0.40=3+\frac{1-6 \times 0.60 \times 0.40}{10 \times 0.60 \times 0.40} =3+1−1.442.4=3+−0.442.4=3+\frac{1-1.44}{2.4}=3+\frac{-0.44}{2.4} =3−0.442.4=3−0.183=2.817=3-\frac{0.44}{2.4}=3-0.183=2.817 যেহেতু β2<3\beta_2<3। সুতরাং, উদ্দীপকের প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি অনতি সূঁচালো। অতএব, উদ্দীপকের প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি ঋণাত্মক বঙ্কিম এবং অনতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

উচ্চ মাধ্যমিক পরীক্ষায় পরিসংখ্যান বিষয়ে অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীর 60% বালিকা। অনুপস্থিতির কারণ অনুসন্ধানের জন্য দৈবভাবে 10 জনকে নির্বাচন করা হলো।

Dhaka · 2025

ক
বার্নোলী চলক কাকে বলে?

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx কে বার্নোলী চলক বলা হবে যদি উহার সম্ভাবনা ফাংশন, P(x)=Pxq1−x;x=0,1\mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{P}^{\mathrm{x}} \mathrm{q}^{1-\mathrm{x}} ; \mathrm{x}=0,1 হয়।
খ
একটি দৈব চলকের গড় = 2 এবং ভেদাঙ্ক = 3। এটি কি একটি দ্বিপদী চলক? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

একটি দৈব চলকের গড় = 2 এবং ভেদাঙ্ক = 3 এটি একটি দ্বিপদী চলক নয়। ব্যাখ্যা: আমরা জানি, দ্বিপদী চলকের গড় উহার ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড়। এখানে, দৈব চলকের গড় 2 এবং ভেদাঙ্ক = 3। অর্থাৎ দৈব চলকের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা ছোট। সুতরাং এটি দ্বিপদী চলক হতে পারে না। অতএব, একটি দৈব চলকের গড় = 2 এবং ভেদাঙ্ক ও এটি একটি দ্বিপদী চলক নয়।
গ
অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীর মধ্যে ও জন বালিকা হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

এই মনে করি, অনুপস্থিত পরীক্ষার্থী তালিকা হওয়ার ঘটনা সফলতা নির্দেশ করে। প্রশ্নমতে, p=60%=0.6\mathrm{p}=60 \%=0.6 ∴q=1−p=1−0.6=0.4\therefore q=1-p=1-0.6=0.4 এবং চেষ্টার সংখ্যা, n=10\mathrm{n}=10 মনে করি, অনুপস্থিত বালিকা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা নিদেশ চলক =x= x এখানে, n=10<30\mathrm{n}=10<30 এবং p=0.60>0.1\mathrm{p}=0.60>0.1 । সুতরা, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। সুতরাং, দ্বিপদী চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxpxqn−x;x=0,1,2,….......,nP(x) ={ }^n C_x p^x q^{n-x} ; x=0,1,2, \ldots . . . . . . ., n =10Cx(0.60)x(0.40)10−x;x=0,1,2,…..10={ }^{10} C_x(0.60)^x(0.40)^{10-x} ; x=0,1,2, \ldots . . 10 ∴\therefore অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীর মধ্যে 3 জন বালিকা হওয়ার সম্ভাবনা =P(x=3)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=3) =10C3(0.60)3(0.40)10−3={ }^{10} \mathrm{C}_3(0.60)^3(0.40)^{10-3} =120×0.216×0.0016384=120 \times 0.216 \times 0.0016384 =0.042467328=0.042467328 সুতরাং, অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীর মধ্যে 3 জন বালিকা হওয়ার সম্ভাবনা 0.042467328 .
ঘ
গাণিতিক পরিমাপের মাধ্যমে অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীর বিন্যাসের আকৃতি ও প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, p=0.6q=0.4p = 0.6 q = 0.4 এবংn=10n= 10 মনে করি, অনুপস্থিত বালিকা পরীক্ষার্থীর সংখ্যা নিদেশ চলক =x= x এখানে, n=10<30n = 10 < 30 এবং p=0.6>0.1p = 0.6 > 0.1 । সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্ক্ষিমতাঙ্ক, β1=q−pnpq=0.40−0.6010×0.60×0.40\sqrt{\beta_1}=\frac{q-p}{\sqrt{n p q}} =\frac{0.40-0.60}{\sqrt{10 \times 0.60 \times 0.40}} =−0.202.4=−0.201.55=−0.13=\frac{-0.20}{\sqrt{2.4}}=\frac{-0.20}{1.55}=-0.13 যেহেতু β1<0\sqrt{\beta_1}<0 সুতরাং, উদ্দীপকে প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি ঋণাত্মক বঙ্কিম। আবার, বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, β2=3+1−6pqnpq\beta_2=3+\frac{1-6 \mathrm{pq}}{\mathrm{npq}} =3+1−6×0.60×0.4010×0.60×0.40=3+\frac{1-6 \times 0.60 \times 0.40}{10 \times 0.60 \times 0.40} =3+1−1.442.4=3+−0.442.4=3+\frac{1-1.44}{2.4}=3+\frac{-0.44}{2.4} =3−0.442.4=3−0.183=2.817=3-\frac{0.44}{2.4}=3-0.183=2.817 যেহেতু β2<3\beta_2<3। সুতরাং, উদ্দীপকের প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি অনতি সূঁচালো। অতএব, উদ্দীপকের প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি ঋণাত্মক বঙ্কিম এবং অনতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

রহিম সিলেট সিটিতে জরিপ করে দেখলো যে, নতুন জন্মগ্রহণ করা শিশুদের মধ্যে ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা 0.6। সে বললো 5 জন শিশুর মধ্যে বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা 50%।

Jessore · 2025

ক
দ্বিপদী চলকের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx কে দ্বিপদী চলক বলা হবে যদি উহার সম্ভাবনা ফাংশন, P(x)=nCxpxqn−x;x=0,1,2\mathrm{P}(\mathrm{x})={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{x}} \mathrm{p}^{\mathrm{x}} \mathrm{q}^{\mathrm{n}-\mathrm{x}} ; \mathrm{x}=0,1,2, …………n\ldots\ldots\ldots\ldots n হয়।
খ
দ্বিপদী বিন্যাসের ক্ষেত্রে গড় > ভেদাঙ্ক- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড় হয়। ব্যাখ্যা: দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি n ও p হলে, দ্বিপদী বিন্যাসের গড়, E(x)=np\mathrm{E}(\mathrm{x})=\mathrm{np} এবং ভেদাঙ্ক, V(x)=E(x)2−{E(x)}2=npqV(x)=E(x)^2-\{E(x)\}^2=n p q যেহেতু ভেদাঙ্ক, V(x)=npqV(x) =n p q =np(1−p)[∵p+q=1]=n p(1-p)[\because p+q=1] =np−np2=n p-n p^2 ∴V(x)=E(x)−np2[∵E(x)=np]\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}(\mathrm{x})-\mathrm{np}^2[\because \mathrm{E}(\mathrm{x})=\mathrm{np}] যেহেতু nn এবং p উভয়ই ধনাত্মক সংখ্যা, সেহেতু np2np^2 অবশ্যই ধনাত্মক সংখ্যা। ∴V(x)=E(x)\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}(\mathrm{x}) - একটি ধনাত্মক সংখ্যা ∴V(x)<E(x)\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})<\mathrm{E}(\mathrm{x}) সুতরাং, দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড়।
গ
উদ্দীপক হতে কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

তাই মনে করি, ছেলে হওয়ার ঘটনা সফলতা। যেহেতু ছেলে হওয়ার সম্ভাবনা =0.6= 0.6 ∴\therefore সফলতার সম্ভাবনা, p=0.6p = 0.6 এবং বিফলতার সম্ভাবনা, q=1−p=1−0.6=0.4q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4 এবং চেষ্টার সংখ্যা, n=5n = 5 ধরি, ছেলের সংখ্যা নির্দেশক চলক =x= x এখানে, যেহেতু n=5<30n = 5 < 30 এবং p=0.6>0.1p = 0.6 > 0.1। সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore দ্বিপদী চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxpxqn−x;x=0,1,………….,nP(x) ={ }^n C_x p^x q^{n-x} ; x=0,1, \ldots \ldots \ldots \ldots ., n =5Cx(0.6)x(0.4)5−x;x=0,1,……..5={ }^5 C_x(0.6)^x(0.4)^{5-x} ; x=0,1, \ldots \ldots . . 5 ∴\therefore কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভবনা =P(x=0)=P(x=0) =5C0(0.6)0(0.4)S−0=0.01024={ }^5 C_0(0.6)^0(0.4)^{S-0}=0.01024 সুতরাং, কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভবনা 0.01024.
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে রহিমের বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, p=0.6,q=0.4p=0.6, q=0.4 এবং n=5n=5 ধরি, ছেলের সংখ্যা নির্দেশক চলক =x= x এখানে, যেহেতু n=5<30\mathrm{n}=5<30 এবং p=0.6>0.1\mathrm{p}=0.6>0.1 । সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore দ্বিপদী চলক xx এর সন্ডাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxpxxqn−x;x=0,1,…nP(x) ={ }^n C_{x p} x^x q^{n-x} ; x=0,1, \ldots n =5Cx(0.6)x(0.4)5−x;x=0,1,…5={ }^5 C_x(0.6)^x(0.4)^{5-x} ; x=0,1, \ldots 5 ∴\therefore বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা =P(x≤2)=P(x \leq 2) =P(x=0)+P(x=1)+p(x=2)=P(x=0)+P(x=1)+p(x=2) =5C0(0.0)0(0.4)5−0+5C1(0.6)1(0.4)5−1={ }^5 C_0(0.0)^0(0.4)^{5-0}+{ }^5 C_1(0.6)^1(0.4)^{5-1} +5C2(0.6)2(0.4)5−2+{ }^5 C_2(0.6)^2(0.4)^{5-2} =0.01024+0.0786+0.2304=0.01024+0.0786+0.2304 =0.31924=31.92%=0.31924=31.92 \% সুতরাং, ১ জন শিশুর মধ্যে বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা 31.92 যা 50% এর অনেক কম। অতএব, উদ্দীপকের আলোকে রহিমের বক্তব্য সঠিক ছিল না।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

রহিম সিলেট সিটিতে জরিপ করে দেখলো যে, নতুন জন্মগ্রহণ করা শিশুদের মধ্যে ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা 0.6। সে বললো 5 জন শিশুর মধ্যে বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা 50%।

Jessore · 2025

ক
দ্বিপদী চলকের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক xx কে দ্বিপদী চলক বলা হবে যদি উহার সম্ভাবনা ফাংশন, P(x)=nCxpxqn−x;x=0,1,2\mathrm{P}(\mathrm{x})={ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{x}} \mathrm{p}^{\mathrm{x}} \mathrm{q}^{\mathrm{n}-\mathrm{x}} ; \mathrm{x}=0,1,2, …………n\ldots\ldots\ldots\ldots n হয়।
খ
দ্বিপদী বিন্যাসের ক্ষেত্রে গড় > ভেদাঙ্ক- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড় হয়। ব্যাখ্যা: দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি n ও p হলে, দ্বিপদী বিন্যাসের গড়, E(x)=np\mathrm{E}(\mathrm{x})=\mathrm{np} এবং ভেদাঙ্ক, V(x)=E(x)2−{E(x)}2=npqV(x)=E(x)^2-\{E(x)\}^2=n p q যেহেতু ভেদাঙ্ক, V(x)=npqV(x) =n p q =np(1−p)[∵p+q=1]=n p(1-p)[\because p+q=1] =np−np2=n p-n p^2 ∴V(x)=E(x)−np2[∵E(x)=np]\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}(\mathrm{x})-\mathrm{np}^2[\because \mathrm{E}(\mathrm{x})=\mathrm{np}] যেহেতু nn এবং p উভয়ই ধনাত্মক সংখ্যা, সেহেতু np2np^2 অবশ্যই ধনাত্মক সংখ্যা। ∴V(x)=E(x)\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}(\mathrm{x}) - একটি ধনাত্মক সংখ্যা ∴V(x)<E(x)\therefore \mathrm{V}(\mathrm{x})<\mathrm{E}(\mathrm{x}) সুতরাং, দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড়।
গ
উদ্দীপক হতে কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর

তাই মনে করি, ছেলে হওয়ার ঘটনা সফলতা। যেহেতু ছেলে হওয়ার সম্ভাবনা =0.6= 0.6 ∴\therefore সফলতার সম্ভাবনা, p=0.6p = 0.6 এবং বিফলতার সম্ভাবনা, q=1−p=1−0.6=0.4q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4 এবং চেষ্টার সংখ্যা, n=5n = 5 ধরি, ছেলের সংখ্যা নির্দেশক চলক =x= x এখানে, যেহেতু n=5<30n = 5 < 30 এবং p=0.6>0.1p = 0.6 > 0.1। সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore দ্বিপদী চলক xx এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxpxqn−x;x=0,1,………….,nP(x) ={ }^n C_x p^x q^{n-x} ; x=0,1, \ldots \ldots \ldots \ldots ., n =5Cx(0.6)x(0.4)5−x;x=0,1,……..5={ }^5 C_x(0.6)^x(0.4)^{5-x} ; x=0,1, \ldots \ldots . . 5 ∴\therefore কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভবনা =P(x=0)=P(x=0) =5C0(0.6)0(0.4)S−0=0.01024={ }^5 C_0(0.6)^0(0.4)^{S-0}=0.01024 সুতরাং, কোনো ছেলে শিশু জন্মগ্রহণ না করার সম্ভবনা 0.01024.
ঘ
উদ্দীপকের আলোকে রহিমের বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, p=0.6,q=0.4p=0.6, q=0.4 এবং n=5n=5 ধরি, ছেলের সংখ্যা নির্দেশক চলক =x= x এখানে, যেহেতু n=5<30\mathrm{n}=5<30 এবং p=0.6>0.1\mathrm{p}=0.6>0.1 । সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore দ্বিপদী চলক xx এর সন্ডাবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxpxxqn−x;x=0,1,…nP(x) ={ }^n C_{x p} x^x q^{n-x} ; x=0,1, \ldots n =5Cx(0.6)x(0.4)5−x;x=0,1,…5={ }^5 C_x(0.6)^x(0.4)^{5-x} ; x=0,1, \ldots 5 ∴\therefore বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা =P(x≤2)=P(x \leq 2) =P(x=0)+P(x=1)+p(x=2)=P(x=0)+P(x=1)+p(x=2) =5C0(0.0)0(0.4)5−0+5C1(0.6)1(0.4)5−1={ }^5 C_0(0.0)^0(0.4)^{5-0}+{ }^5 C_1(0.6)^1(0.4)^{5-1} +5C2(0.6)2(0.4)5−2+{ }^5 C_2(0.6)^2(0.4)^{5-2} =0.01024+0.0786+0.2304=0.01024+0.0786+0.2304 =0.31924=31.92%=0.31924=31.92 \% সুতরাং, ১ জন শিশুর মধ্যে বড়জোর একটি ছেলে শিশু হওয়ার সম্ভাবনা 31.92 যা 50% এর অনেক কম। অতএব, উদ্দীপকের আলোকে রহিমের বক্তব্য সঠিক ছিল না।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি কারখানায় উৎপাদিত মিষ্টির 35% খারাপ। মিষ্টিগুলো প্রতি প্যাকেটে 12টি করে সরবরাহ করা হয়।

Jessore · 2025

ক
দ্বিপদী বিন্যাসের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

দ্বিপদী চলক ও এর প্রত্যেকটি মানের সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনাসমূহ তালিকায় বা সারণির মাধ্যমে উপস্থাপন করলে যে বিন্যাস পাওয়া যায় তাকে দ্বিপদী বিন্যাস বলে।
খ
দ্বিপদী বিন্যাস একটি সুষম বিন্যাস- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাস একটি সুষম বিন্যাস। ব্যাখ্যা : আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=q−pnpq\sqrt{\beta_1}=\frac{q-p}{\sqrt{n p q}} দ্বিপদী বিন্যাস সুষম বা প্রতিসম হবে যদি β1=0\sqrt{\beta_1}=0 হয়। বা, q−pnpq=0\frac{q-p}{\sqrt{n p q}}=0 বা, q−p=0q-p=0 ∴q=p\therefore \mathrm{q}=\mathrm{p} অতএব, p=qp=q হলে দ্বিপদী বিন্যাস সুষম বা প্রতিসম হয়। অর্থাৎ, দ্বিপদী বিন্যাসের সফলতার সম্ভাবনা এবং বিফলতার সম্ভাবনা সমান হলে বিন্যাসটি সুষম বা প্রতিসম হয়।
গ
উদ্দীপক হতে বড়জোর একটি মিষ্টি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা. নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, খারাপ মিষ্টি সফলতা নির্দেশ করে। প্রশ্নমতে, P=35%=0.35\mathrm{P}=35 \%=0.35 ∴q=1−p=1−0.35=0.65\therefore \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-0.35=0.65 এবং n=12\mathrm{n}=12 মনে করি, খারাপ মিষ্টির সংখ্যা নির্দেশ চলক =x= x. এখানে, n=12<30\mathrm{n}=12<30 এবং P=0.35>0.10\mathrm{P}=0.35>0.10 । সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore দ্বিপদী চলক xx এর সম্ভবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxPxqn−x;x=0,1,……,nP(x) ={ }^n C_x P^x q^{n-x} ; x=0,1, \ldots \ldots , n =12Cx(0.35)x(0.65)12−x;x=0,1,2,.……,12={ }^{12} C_x(0.35)^x(0.65)^{12-x} ; x=0,1,2, . \ldots\ldots, 12 ∴\therefore বড়জোর একটি মিষ্টি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা =P(x≤1)=\mathrm{P}(\mathrm{x} \leq 1) =P(x=0)+P(x=1)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=1) =12C0(0.35)0(0.65)12−0={ }^{12} \mathrm{C}_0(0.35)^0(0.65)^{12-0} +12C1(0.35)1(0.65)12−1+{ }^{12} \mathrm{C}_1(0.35)^1(0.65)^{12-1} =0.00568801+0.03675329=0.0424413=0.00568801+0.03675329=0.0424413
ঘ
উদ্দীপক হতে খারাপ মিষ্টির সংখ্যা যে বিন্যাস মেনে চলে তার বঙ্কিমতাঙ্ক ও সূঁচালতা নির্ণয়পূর্বক বিন্যাসটির আকৃতি ও প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, p=0.35,q=0.65\mathrm{p}=0.35, \mathrm{q}=0.65 এবং n=12\mathrm{n}=12 মনে করি, খারাপ মিষ্টির সংখ্যা নির্দেশ চলক =x.= x. এখানে, n=12<30\mathrm{n}=12<30 এবং P=0.35>0.10\mathrm{P}=0.35>0.10। সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=q−pnpq\sqrt{\beta}_1=\frac{q-p}{\sqrt{n p q}} =0.65−0.3512×0.35×0.65=\frac{0.65-0.35}{\sqrt{12 \times 0.35 \times 0.65}} =0.32.73=0.31.6523=0.182=\frac{0.3}{\sqrt{2.73}}=\frac{0.3}{1.6523}=0.182 যেহেতু β1>0.1\sqrt{\beta_1}>0.1 সুতরাং, উদ্দীপকে প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। আবার, দ্বিপদী বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, β2=3+1−6pqnpq\beta_2=3+\frac{1-6 \mathrm{pq}}{\mathrm{npq}} =3+1−6×0.35×0.6512×0.35×0.65=3+\frac{1-6 \times 0.35 \times 0.65}{12 \times 0.35 \times 0.65} =3+1−1.3652.73=3+−0.3652.73=3+\frac{1-1.365}{2.73}=3+\frac{-0.365}{2.73} =3−0.3652.73=3−0.134=2.866=3-\frac{0.365}{2.73}=3-0.134=2.866 যেহেতু β2<31\beta_2<31 সুতরাং, উদ্দীপকের প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি অনতি সূঁচালো। অতএব, উদ্দীপকের প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অনতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCStatistics 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

একটি কারখানায় উৎপাদিত মিষ্টির 35% খারাপ। মিষ্টিগুলো প্রতি প্যাকেটে 12টি করে সরবরাহ করা হয়।

Jessore · 2025

ক
দ্বিপদী বিন্যাসের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

দ্বিপদী চলক ও এর প্রত্যেকটি মানের সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনাসমূহ তালিকায় বা সারণির মাধ্যমে উপস্থাপন করলে যে বিন্যাস পাওয়া যায় তাকে দ্বিপদী বিন্যাস বলে।
খ
দ্বিপদী বিন্যাস একটি সুষম বিন্যাস- ব্যাখ্যা কর।

উত্তর

দ্বিপদী বিন্যাস একটি সুষম বিন্যাস। ব্যাখ্যা : আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=q−pnpq\sqrt{\beta_1}=\frac{q-p}{\sqrt{n p q}} দ্বিপদী বিন্যাস সুষম বা প্রতিসম হবে যদি β1=0\sqrt{\beta_1}=0 হয়। বা, q−pnpq=0\frac{q-p}{\sqrt{n p q}}=0 বা, q−p=0q-p=0 ∴q=p\therefore \mathrm{q}=\mathrm{p} অতএব, p=qp=q হলে দ্বিপদী বিন্যাস সুষম বা প্রতিসম হয়। অর্থাৎ, দ্বিপদী বিন্যাসের সফলতার সম্ভাবনা এবং বিফলতার সম্ভাবনা সমান হলে বিন্যাসটি সুষম বা প্রতিসম হয়।
গ
উদ্দীপক হতে বড়জোর একটি মিষ্টি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা. নির্ণয় কর।

উত্তর

মনে করি, খারাপ মিষ্টি সফলতা নির্দেশ করে। প্রশ্নমতে, P=35%=0.35\mathrm{P}=35 \%=0.35 ∴q=1−p=1−0.35=0.65\therefore \mathrm{q}=1-\mathrm{p}=1-0.35=0.65 এবং n=12\mathrm{n}=12 মনে করি, খারাপ মিষ্টির সংখ্যা নির্দেশ চলক =x= x. এখানে, n=12<30\mathrm{n}=12<30 এবং P=0.35>0.10\mathrm{P}=0.35>0.10 । সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। ∴\therefore দ্বিপদী চলক xx এর সম্ভবনা ফাংশনটি হবে, P(x)=nCxPxqn−x;x=0,1,……,nP(x) ={ }^n C_x P^x q^{n-x} ; x=0,1, \ldots \ldots , n =12Cx(0.35)x(0.65)12−x;x=0,1,2,.……,12={ }^{12} C_x(0.35)^x(0.65)^{12-x} ; x=0,1,2, . \ldots\ldots, 12 ∴\therefore বড়জোর একটি মিষ্টি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা =P(x≤1)=\mathrm{P}(\mathrm{x} \leq 1) =P(x=0)+P(x=1)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=1) =12C0(0.35)0(0.65)12−0={ }^{12} \mathrm{C}_0(0.35)^0(0.65)^{12-0} +12C1(0.35)1(0.65)12−1+{ }^{12} \mathrm{C}_1(0.35)^1(0.65)^{12-1} =0.00568801+0.03675329=0.0424413=0.00568801+0.03675329=0.0424413
ঘ
উদ্দীপক হতে খারাপ মিষ্টির সংখ্যা যে বিন্যাস মেনে চলে তার বঙ্কিমতাঙ্ক ও সূঁচালতা নির্ণয়পূর্বক বিন্যাসটির আকৃতি ও প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য কর।

উত্তর

'গ' হতে পাই, p=0.35,q=0.65\mathrm{p}=0.35, \mathrm{q}=0.65 এবং n=12\mathrm{n}=12 মনে করি, খারাপ মিষ্টির সংখ্যা নির্দেশ চলক =x.= x. এখানে, n=12<30\mathrm{n}=12<30 এবং P=0.35>0.10\mathrm{P}=0.35>0.10। সুতরাং, চলক xx দ্বিপদী বিন্যাসকে মেনে চলে। আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, β1=q−pnpq\sqrt{\beta}_1=\frac{q-p}{\sqrt{n p q}} =0.65−0.3512×0.35×0.65=\frac{0.65-0.35}{\sqrt{12 \times 0.35 \times 0.65}} =0.32.73=0.31.6523=0.182=\frac{0.3}{\sqrt{2.73}}=\frac{0.3}{1.6523}=0.182 যেহেতু β1>0.1\sqrt{\beta_1}>0.1 সুতরাং, উদ্দীপকে প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম। আবার, দ্বিপদী বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক, β2=3+1−6pqnpq\beta_2=3+\frac{1-6 \mathrm{pq}}{\mathrm{npq}} =3+1−6×0.35×0.6512×0.35×0.65=3+\frac{1-6 \times 0.35 \times 0.65}{12 \times 0.35 \times 0.65} =3+1−1.3652.73=3+−0.3652.73=3+\frac{1-1.365}{2.73}=3+\frac{-0.365}{2.73} =3−0.3652.73=3−0.134=2.866=3-\frac{0.365}{2.73}=3-0.134=2.866 যেহেতু β2<31\beta_2<31 সুতরাং, উদ্দীপকের প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি অনতি সূঁচালো। অতএব, উদ্দীপকের প্রদত্ত দ্বিপদী বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অনতি সূঁচালো।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো