$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) dx$$ -এর মান কত?

Question

Accepted Answer

প্রথমে, আমরা ধরে নিই, $$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) dx \quad \cdots(1)$$ এখন, আমরা যোগজের একটি ধর্ম ব্যবহার করব: $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$। এখানে $a = \frac{\pi}{2}$। সুতরাং, $$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - xight)ight) dx$$ যেহেতু $\sin\left(\frac{\pi}{2} - xight) = \cos x$, আমরা পাই, $$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos x) dx \quad \cdots(2)$$ এখন, সমীকরণ (1) এবং (2) যোগ করে পাই, $$I + I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos x) dx$$ $$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\ln(\sin x) + \ln(\cos x)) dx$$ লগারিদমের সূত্র $(\ln A + \ln B = \ln(AB))$ ব্যবহার করে পাই, $$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x \cos x) dx$$ এখন, আমরা ত্রিকোণমিতির সূত্র $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ ব্যবহার করব। এর থেকে পাওয়া যায় $\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2}$। $$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln\left(\frac{\sin(2x)}{2}ight) dx$$ লগারিদমের আরেকটি সূত্র $(\ln\frac{A}{B} = \ln A - \ln B)$ ব্যবহার করে, $$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\ln(\sin(2x)) - \ln(2)) dx$$ $$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(2x)) dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(2) dx$$ ডান পাশের দ্বিতীয় অংশটি সমাধান করলে পাই, $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(2) dx = \ln(2) [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \ln(2) \left(\frac{\pi}{2} - 0ight) = \frac{\pi}{2} \ln(2)$$ এখন সমীকরণটি দাঁড়ায়, $$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(2x)) dx - \frac{\pi}{2} \ln(2) \quad \cdots(3)$$ প্রথম অংশটি সমাধানের জন্য, $u = 2x$ প্রতিস্থাপন করি। তাহলে $du = 2 dx$ বা $dx = \frac{du}{2}$। সীমা পরিবর্তন করলে: যখন $x = 0$, তখন $u = 0$। যখন $x = \frac{\pi}{2}$, তখন $u = \pi$। সুতরাং, $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(2x)) dx = \int_{0}^{\pi} \ln(\sin u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \ln(\sin u) du$$ এখন, আমরা আরেকটি যোগজের ধর্ম ব্যবহার করব: যদি $f(2a-x) = f(x)$ হয়, তবে $\int_{0}^{2a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$। এখানে $f(u) = \ln(\sin u)$ এবং $2a = \pi$। $f(\pi - u) = \ln(\sin(\pi - u)) = \ln(\sin u) = f(u)$। যেহেতু শর্তটি পূরণ হয়েছে, আমরা লিখতে পারি, $$\int_{0}^{\pi} \ln(\sin u) du = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin u) du = 2I$$ অতএব, $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(2x)) dx = \frac{1}{2} (2I) = I$$ এই মানটি সমীকরণ (3)-এ বসিয়ে পাই, $$2I = I - \frac{\pi}{2} \ln(2)$$ $$2I - I = - \frac{\pi}{2} \ln(2)$$ $$	herefore I = - \frac{\pi}{2} \ln(2)$$ সুতরাং, প্রদত্ত যোগজটির মান হলো $-\frac{\pi}{2} \ln(2)$

Admission Admission Model Test MCQ — \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) dx\] - এর মান কত ?

আরো প্রশ্ন দেখো