Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল

হলে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

p=tan⁡β,q=cot⁡β\mathrm{p}=\tan \beta, \mathrm{q}=\cot \beta এবং r=sec⁡θ−tan⁡θ\mathrm{r}=\sec \theta-\tan \theta

Comilla · 2023

উত্তর

দেওয়া আছে, A=30∘\mathrm{A}=30^{\circ} বামপক্ষ =cos⁡2 A=\cos 2 \mathrm{~A} =cos⁡(2×30∘)=cos⁡60∘=12\begin{aligned} & =\cos \left(2 \times 30^{\circ}\right) \\ & =\cos 60^{\circ} \\ & =\frac{1}{2}\end{aligned} ডানপক্ষ =1−tan⁡2 A1+tan⁡2 A=\frac{1-\tan^2 \mathrm{~A}}{1+\tan^2 \mathrm{~A}} =1−(tan⁡30∘)21+(tan⁡30∘)2=1−(13)21+(13)2=1−131+13=2343=23×34=12\begin{aligned} & =\frac{1-\left(\tan 30^{\circ}\right)^2}{1+\left(\tan 30^{\circ}\right)^2} \\ & =\frac{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \\ & =\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} \\ & =\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \\ & =\frac{1}{2}\end{aligned} ∴cos⁡2 A=1−tan⁡2 A1+tan⁡2 A\therefore \cos 2 \mathrm{~A}=\frac{1-\tan^2 \mathrm{~A}}{1+\tan^2 \mathrm{~A}} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, p=tan⁡β,q=cot⁡β\mathrm{p}=\tan \beta, \mathrm{q}=\cot \beta বামপক্ষ =p1−q+q1−p=\frac{p}{1-q}+\frac{q}{1-p} =tan⁡β1−cot⁡β+cot⁡β1−tan⁡β=sin⁡βcos⁡β1−cos⁡βsin⁡β+cos⁡βsin⁡β1−sin⁡βcos⁡β=sin⁡βcos⁡βsin⁡β−cos⁡βsin⁡β+cos⁡βsin⁡βcos⁡β−sin⁡βcos⁡β=sin⁡βcos⁡β×sin⁡βsin⁡β−cos⁡β+cos⁡βsin⁡β×cos⁡βcos⁡β−sin⁡β=sin⁡2βcos⁡β(sin⁡β−cos⁡β)+cos⁡2β−sin⁡β(sin⁡β−cos⁡β)\begin{aligned} & =\frac{\tan \beta}{1-\cot \beta}+\frac{\cot \beta}{1-\tan \beta} \\ & =\frac{\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{1-\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}+\frac{\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}{1-\frac{\sin \beta}{\cos \beta}} \\ & =\frac{\frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\sin \beta-\cos \beta}{\sin \beta}}+\frac{\frac{\cos \beta}{\sin \beta}}{\frac{\cos \beta-\sin \beta}{\cos \beta}} \\ & =\frac{\sin \beta}{\cos \beta} \times \frac{\sin \beta}{\sin \beta-\cos \beta}+\frac{\cos \beta}{\sin \beta} \times \frac{\cos \beta}{\cos \beta-\sin \beta} \\ & =\frac{\sin^2 \beta}{\cos \beta(\sin \beta-\cos \beta)}+\frac{\cos^2 \beta}{-\sin \beta(\sin \beta-\cos \beta)}\end{aligned} =sin⁡3β−cos⁡3βcos⁡βsin⁡β(sin⁡β−cos⁡β)=(sin⁡β−cos⁡β)(sin⁡2β+sin⁡βcos⁡β+cos⁡2β)cos⁡βsin⁡β(sin⁡β−cos⁡β)\begin{aligned} & =\frac{\sin^3 \beta-\cos^3 \beta}{\cos \beta \sin \beta(\sin \beta-\cos \beta)} \\ & =\frac{(\sin \beta-\cos \beta)\left(\sin^2 \beta+\sin \beta \cos \beta+\cos^2 \beta\right)}{\cos \beta \sin \beta(\sin \beta-\cos \beta)}\end{aligned} =(sin⁡2β+cos⁡2β+sin⁡βcos⁡β)sin⁡βcos⁡β=1+sin⁡βcos⁡βsin⁡βcos⁡β[∵sin⁡2θ+cos⁡2θ=1]=1sin⁡βcos⁡β+sin⁡βcos⁡βsin⁡βcos⁡β=1cos⁡β⋅1sin⁡β+1=sec⁡β⋅cosec⁡⁡β+1\begin{aligned} & =\frac{\left(\sin^2 \beta+\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \beta\right)}{\sin \beta \cos \beta} \\ & =\frac{1+\sin \beta \cos \beta}{\sin \beta \cos \beta} \quad\left[\because \sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\right] \\ & =\frac{1}{\sin \beta \cos \beta}+\frac{\sin \beta \cos \beta}{\sin \beta \cos \beta} \\ & =\frac{1}{\cos \beta} \cdot \frac{1}{\sin \beta}+1 \\ & =\sec \beta \cdot \operatorname{\cosec} \beta+1\end{aligned} = ডানপক্ষ ∴p1−q+q1−p=sec⁡β⋅cosec⁡⁡β+1\therefore \frac{p}{1-q}+\frac{q}{1-p}=\sec \beta \cdot \operatorname{\cosec} \beta+1. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, r=sec⁡θ−tan⁡θ\mathrm{r}=\sec \theta-\tan \thetar=1a\mathrm{r}=\frac{1}{\mathrm{a}} হলে, sec⁡θ−tan⁡θ=1a\sec \theta-\tan \theta=\frac{1}{\mathrm{a}}বা, 1cos⁡θ−sin⁡θcos⁡θ=1a\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{1}{a}বা, 1−sin⁡θcos⁡θ=1a\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{1}{a}বা, (1−sin⁡θ)2cos⁡2θ=1a\sqrt{\frac{(1-\sin \theta)^2}{\cos^2 \theta}}=\frac{1}{a}বা, (1−sin⁡θ)21−sin⁡2θ=1a\sqrt{\frac{(1-\sin \theta)^2}{1-\sin^2 \theta}}=\frac{1}{a}বা, \sqrt{\frac{(1-\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\sin \theta}(1-\sin \theta)}}=\frac{1}{a}বা, 1−sin⁡θ1+sin⁡θ=1a2\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}=\frac{1}{\mathrm{a}^2}বা, 1−sin⁡θ+1+sin⁡θ1−sin⁡θ−1−sin⁡θ=1+a21−a2\frac{1-\sin \theta+1+\sin \theta}{1-\sin \theta-1-\sin \theta}=\frac{1+\mathrm{a}^2}{1-\mathrm{a}^2} [যোজন-বিয়োজন করে]বা, 2−2sin⁡θ=1+a21−a2\frac{2}{-2 \sin \theta}=\frac{1+\mathrm{a}^2}{1-\mathrm{a}^2}বা, 1sin⁡θ=a2+1a2−1\frac{1}{\sin \theta}=\frac{a^2+1}{a^2-1} বা, cosec⁡⁡θ=a2+1a2−1\operatorname{\cosec} \theta=\frac{a^2+1}{a^2-1} \begin{aligned} \therefore \cot \theta & =\sqrt{\operatorname{\cosec}^2 \theta-1} \\ & =\sqrt{\left(\frac{a^2+1}{a^2-1}\right)^2-1} \\ & =\sqrt{\frac{\left(a^2+1\right)^2-\left(a^2-1\right)^2}{\left(a^2-1\right}^2}} \\ & =\sqrt{\frac{4 \cdot a^2 \cdot 1}{\left(a^2-1\right}^2}}\end{aligned} =2aa2−1=\frac{2 \mathrm{a}}{\mathrm{a}^2-1} (প্রমাণিত)
SSCসাধারণ গণিতComilla 2023
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.x4×x14\sqrt[4]{x} \times x^{\frac{1}{4}} এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2016

  • ক
    x\sqrt{x}
  • খ
    xx
  • গ
    x14\mathrm{x}^{\frac{1}{4}}
  • ঘ
    x3\sqrt[3]{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. এবং 5 সে.মি. হলে — i. পরিসীমা = 12 সে.মি. ii. অর্ধ-পরিসীমা =6=6 সে.মি. iii. ক্ষেত্রফল =6=6 বর্গ সে.মি. নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2016

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2=2x\mathrm{x}^2=\sqrt{2} \mathrm{x} সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি?

Dinajpur · 2016

  • ক
    {0}\{0\}
  • খ
    {0,2}\{0, \sqrt{2}\}
  • গ
    {2}\{\sqrt{2}\}
  • ঘ
    ∅\varnothing

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.একটি বৃত্তের কতটি ঘূর্ণায়মান প্রতিসাম্য থাকে?

Dinajpur · 2016

  • ক
    2
  • খ
    4
  • গ
    ৪
  • ঘ
    অসংখ্য

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.শুধু পরিসীমা দেওয়া থাকলে নিচের কোনটি আঁকা সম্ভব?

Dinajpur · 2016

  • ক
    রম্বস
  • খ
    ট্রাপিজিয়াম
  • গ
    বর্গ
  • ঘ
    আয়তক্ষেত্র

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.নিচের কোন সমীকরণটির জন্য নিচের ছকটি সত্য? question image

Dinajpur · 2016

  • ক
    2x−y=32 x-y=3
  • খ
    2x+y=32 x+y=3
  • গ
    4x−3y=64 x-3 y=6
  • ঘ
    4x+3y=64 x+3 y=6

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.যদি log⁡x400=4\log_x 400=4 হয়, ভিত্তি কোনটি?

Dinajpur · 2016

  • ক
    252 \sqrt{5}
  • খ
    353 \sqrt{5}
  • গ
    −25-2 \sqrt{5}
  • ঘ
    ±25\pm 2 \sqrt{5}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.question image চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূমির ব্যাসার্ধ একক এবং উচ্চতা h একক। উপরের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাওঃ Q. সিলিন্ডারটির সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

Dinajpur · 2016

  • ক
    πr2\pi r^2
  • খ
    2πrh2 \pi \mathrm{rh}
  • গ
    πr(r+h)\pi \mathrm{r}(\mathrm{r}+\mathrm{h})
  • ঘ
    2πr(r+h)2 \pi r(r+h)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.question image চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূমির ব্যাসার্ধ একক এবং উচ্চতা h একক। উপরের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাওঃ Q. সিলিন্ডারটির কয়টি পৃষ্ঠতল আছে?

Dinajpur · 2016

  • ক
    1
  • খ
    2
  • গ
    3
  • ঘ
    4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?

Dinajpur · 2016

  • ক
    1
  • খ
    2
  • গ
    3
  • ঘ
    4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.কোনটি সরল কোণ?

Dinajpur · 2016

  • ক
    0°
  • খ
    90°
  • গ
    120°
  • ঘ
    180°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ΔABC\Delta \mathrm{ABC} এর উচ্চতা ও ভূমির অনুপাত কোনটি? question image

Dinajpur · 2016

  • ক
    25\frac{2}{5}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    45\frac{4}{5}
  • ঘ
    54\frac{5}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. এবং 5 সে.মি. হলে — [গণিত] সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি?একটি বৃত্তের কতটি ঘূর্ণায়মান প্রতিসাম্য থাকে?শুধু পরিসীমা দেওয়া থাকলে নিচের কোনটি আঁকা সম্ভব?নিচের কোন সমীকরণটির জন্য নিচের ছকটি সত্য? [চিত্র]যদি [গণিত] হয়, ভিত্তি কোনটি?[চিত্র] চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূ[চিত্র] চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূবৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?কোনটি সরল কোণ?[গণিত] এর উচ্চতা ও ভূমির অনুপাত কোনটি? [চিত্র]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন