∠ABC এর পরিমাণ নির্ণয় করো।
উত্তর: [চিত্র] এখানে ০ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AC ব্যাস এবং B পরিধিস্থ একটি বিন্দু। A, B এবং C, B যোগ করি। বৃত্তে AC ব্যাস হওয়ায় ∠ABC একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ সেহেতু [গণিত] এক সমকোণ 90° [গণিত] এর পরিমাণ [গণিত] .
SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল
∠ABC এর পরিমাণ নির্ণয় করো।
উদ্দীপক
কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AC ব্যাস এবং B পরিধিস্থ একটি বিন্দু। B ও C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর D বিন্দুতে ছেদ করে।
উত্তর
এখানে ০ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AC ব্যাস এবং B পরিধিস্থ একটি বিন্দু। A, B এবং C, B যোগ করি। বৃত্তে AC ব্যাস হওয়ায় ∠ABC একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ
সেহেতু এক সমকোণ 90°
এর পরিমাণ .উত্তর
[বি.দ্র.: P এর পরিবর্তে C হবে।]
মনে করি, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ওপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এরং OP স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। প্রমাণ করতে হবে যে, .
অঙ্কন: PT স্পর্শকের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু Q নিই এবং O, Q যোগ করি।
প্রমাণ :
ধাপ ১. যেহেতু বৃত্তের P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক, সুতরাং ঐ । বন্দু ব্যতীত PT এর ওপরস্থ অন্য সকল বিন্দু বৃত্তের বাইরে থাকবে। সুতরাং Q বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত।
ধাপ ২. OQ বৃত্তের ব্যাসার্ধ OP এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ, OQ > OP এবং তা স্পর্শ বিন্দু P ব্যতীত PT এর ওপরস্থ Q বিন্দুর সকল অবস্থানের জন্য সত্য ।
∴ কেন্দ্র O থেকে PT স্পর্শকের ওপর OP হলো ক্ষুদ্রতম দূরত্ব। সুতরাং PT ⟂ OP. (প্রমাণিত)
মনে করি, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ওপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এরং OP স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। প্রমাণ করতে হবে যে, .
অঙ্কন: PT স্পর্শকের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু Q নিই এবং O, Q যোগ করি।
প্রমাণ :
ধাপ ১. যেহেতু বৃত্তের P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক, সুতরাং ঐ । বন্দু ব্যতীত PT এর ওপরস্থ অন্য সকল বিন্দু বৃত্তের বাইরে থাকবে। সুতরাং Q বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত।
ধাপ ২. OQ বৃত্তের ব্যাসার্ধ OP এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ, OQ > OP এবং তা স্পর্শ বিন্দু P ব্যতীত PT এর ওপরস্থ Q বিন্দুর সকল অবস্থানের জন্য সত্য ।
∴ কেন্দ্র O থেকে PT স্পর্শকের ওপর OP হলো ক্ষুদ্রতম দূরত্ব। সুতরাং PT ⟂ OP. (প্রমাণিত)উত্তর
এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AC ব্যাস এবং B পরিধিস্থ একটি বিন্দু। B ও C বিন্দুতে BD ও CD স্পর্শকদ্বয় পরস্পর D বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং AB = OB। B, C যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, △ BCD একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ : ধাপ ১. -এ,
[দেওয়া আছে]
[একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
অর্থাৎ একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
[ ∵ সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক কোণ ]
ধাপ ২. [এক সরলকোণ]
বা,
ধাপ ৩. BD ও CD যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে স্পর্শক বলে,
OB ও OC স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
এবং
এখন, DBOC চতুর্ভুজে,
[∵ চতুভূজের চার কোণের সমষ্টি ]
বা,
বা,
ধাপ ৪. আবার, - এ BD = CD
[∵ বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান]
ধাপ ৫. এখন,
[ ∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ]
বা,
বা,
অর্থাৎ,
অতএব, একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)
