প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
উত্তর: [চিত্র] DEF বৃত্তের কেন্দ্র O এবং CD ও CE রশ্মিদ্বয় বৃত্তের দুইটি স্পর্শক।
SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল
প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
উদ্দীপক
চিত্রে, DEFG চতুর্ভুজটি বৃত্তে অন্তলিখিত যার কেন্দ্র O
উত্তর
DEF বৃত্তের কেন্দ্র O এবং CD ও CE রশ্মিদ্বয় বৃত্তের দুইটি স্পর্শক।উত্তর
[বি.দ্র.: P, Q, R এবং S এর পরিবর্তে যথাক্রমে D, E, F এবং G হবে।]
মনে করি, ০ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে উপচাপ QRS এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ । প্রমাণ করতে হবে যে, ।
অক্ষন : বিন্দু দিয়ে কেন্দ্রগামী রেখাংশ PD আঁকি।
প্রমাণ :
ধাপ ১ : এর বহিঃস্থ কোণ
[: ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
ধাপ ২: এ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
অতএব, [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমিসংলগ্ন কোণ দুইটি সমান]
ধাপ ৩ : ধাপ (১) ও (২) থেকে
ধাপ ৪ : একইভাবে থেকে
ধাপ ৫ : ধাপ (৩) ও (৪) থেকে
বা,
. (প্রমাণিত )
মনে করি, ০ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে উপচাপ QRS এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ । প্রমাণ করতে হবে যে, ।
অক্ষন : বিন্দু দিয়ে কেন্দ্রগামী রেখাংশ PD আঁকি।
প্রমাণ :
ধাপ ১ : এর বহিঃস্থ কোণ
[: ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
ধাপ ২: এ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
অতএব, [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমিসংলগ্ন কোণ দুইটি সমান]
ধাপ ৩ : ধাপ (১) ও (২) থেকে
ধাপ ৪ : একইভাবে থেকে
ধাপ ৫ : ধাপ (৩) ও (৪) থেকে
বা,
. (প্রমাণিত )উত্তর
[বি.দ্র.: R,L এবং K এর পরিবর্তে যথাক্রমে P, D এবং F হবে।]
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু R হতে L ও K বিন্দুতে RL ও RK দুইটি স্পর্শক। প্রমাণ করতে হবে যে, .
অঙ্কন : O, R; O, L এবং O, K যোগ করি।প্রমাণ : ধাপ-১ : যেহেতু RL স্পর্শক এবং OL স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।সেহেতু [: স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব] সমকোণ।অনুরূপভাবে, সমকোণ এবং উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।ধাপ-২ : এখন, OLR ও OKR সমকোণী ত্রিভুজে,অতিভুজ OR = অতিভুজ OR [সাধারণ বাহু]OL OK [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]
সুতরাং, RL = RK, (প্রমাণিত)
