Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ করো যে, C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক OC এর উপর লম্ব।

উত্তর: [বি.দ্র.: P এর পরিবর্তে C হবে।] [চিত্র] মনে করি, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ওপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এরং OP স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] . অঙ্কন: PT স্পর্শকের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু Q নিই এবং O, Q যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ ১. যেহেতু বৃত্তের P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক, সুতরাং ঐ । বন্দু ব্যতীত PT এর ওপরস্থ অন্য সকল বিন্দু বৃত্তের বাইরে থাকবে। সুতরাং Q বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত। ধাপ ২. OQ বৃত্তের ব্যাসার্ধ OP এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ, OQ > OP এবং তা স্পর্শ বিন্দু P ব্যতীত PT এর ওপরস্থ Q বিন্দুর সকল অবস্থানের জন্য সত্য । ∴ কেন্দ্র O থেকে PT স্পর্শকের ওপর OP হলো ক্ষুদ্রতম দূরত্ব। সুতরাং PT ⟂ OP. (প্রমাণিত)

SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল

প্রমাণ করো যে, C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক OC এর উপর লম্ব।

উদ্দীপক

কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AC ব্যাস এবং B পরিধিস্থ একটি বিন্দু। B ও C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর D বিন্দুতে ছেদ করে।

উত্তর

question image এখানে ০ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AC ব্যাস এবং B পরিধিস্থ একটি বিন্দু। A, B এবং C, B যোগ করি। বৃত্তে AC ব্যাস হওয়ায় ∠ABC একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ সেহেতু ∠ABC=\angle \mathrm{ABC}= এক সমকোণ 90° ∴∠ABC\therefore \angle \mathrm{ABC} এর পরিমাণ 90∘90^{\circ}.

উত্তর

[বি.দ্র.: P এর পরিবর্তে C হবে।] question image মনে করি, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ওপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এরং OP স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। প্রমাণ করতে হবে যে, PT⊥OP\mathrm{PT} \perp \mathrm{OP}. অঙ্কন: PT স্পর্শকের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু Q নিই এবং O, Q যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ ১. যেহেতু বৃত্তের P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক, সুতরাং ঐ । বন্দু ব্যতীত PT এর ওপরস্থ অন্য সকল বিন্দু বৃত্তের বাইরে থাকবে। সুতরাং Q বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত। ধাপ ২. OQ বৃত্তের ব্যাসার্ধ OP এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ, OQ > OP এবং তা স্পর্শ বিন্দু P ব্যতীত PT এর ওপরস্থ Q বিন্দুর সকল অবস্থানের জন্য সত্য । ∴ কেন্দ্র O থেকে PT স্পর্শকের ওপর OP হলো ক্ষুদ্রতম দূরত্ব। সুতরাং PT ⟂ OP. (প্রমাণিত)

উত্তর

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AC ব্যাস এবং B পরিধিস্থ একটি বিন্দু। B ও C বিন্দুতে BD ও CD স্পর্শকদ্বয় পরস্পর D বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং AB = OB। B, C যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, △ BCD একটি সমবাহু ত্রিভুজ। প্রমাণ : ধাপ ১. △OAB\triangle \mathrm{OAB}-এ, AB=OB\mathrm{AB}=\mathrm{OB} [দেওয়া আছে] OA=OB\mathrm{OA}=\mathrm{OB} [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] ∴OA=OB=AB\therefore \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB} অর্থাৎ △OAB\triangle \mathrm{OAB} একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ∴∠OAB=∠OBA=∠AOB=60∘\therefore \quad \angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{AOB}=60^{\circ} [ ∵ সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক কোণ 60∘60^{\circ} ] ধাপ ২. ∠AOC=180∘\angle \mathrm{AOC}=180^{\circ} [এক সরলকোণ] ∴∠BOC=180∘−∠AOB\therefore \quad \angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{AOB} বা, ∠BOC=180∘−60∘\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}-60^{\circ} ∴∠BOC=120∘\therefore \quad \angle \mathrm{BOC}=120^{\circ} ধাপ ৩. BD ও CD যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে স্পর্শক বলে, OB ও OC স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ ∴OB⊥BD\therefore \quad \mathrm{OB} \perp \mathrm{BD} এবং OC⊥CD\mathrm{OC} \perp \mathrm{CD} ∴∠DBO=∠DCO=90∘\therefore \angle \mathrm{DBO}=\angle \mathrm{DCO}=90^{\circ} ∴∠DBO+∠DCO=90∘+90∘=180∘\therefore \angle \mathrm{DBO}+\angle \mathrm{DCO}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ} এখন, DBOC চতুর্ভুজে, ∠CDB+∠DBO+∠BOC+∠DCO=360∘\angle \mathrm{CDB}+\angle \mathrm{DBO}+ \angle \mathrm{BOC}+\angle \mathrm{DCO}=360^{\circ} [∵ চতুভূজের চার কোণের সমষ্টি 360∘360^{\circ} ] বা, ∠CDB+90∘+120∘+90∘=360∘\angle \mathrm{CDB}+90^{\circ}+120^{\circ}+90^{\circ}=360^{\circ} বা, ∠CDB=360∘−300∘\angle \mathrm{CDB}=360^{\circ}-300^{\circ} ∴∠CDB=60∘\therefore \quad \angle \mathrm{CDB}=60^{\circ} ধাপ ৪. আবার, △BCD\triangle \mathrm{BCD} - এ BD = CD [∵ বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান] ∴∠DBC=∠DCB\therefore \quad \angle \mathrm{DBC}=\angle \mathrm{DCB} ধাপ ৫. এখন, ∠CDB+∠DBC+∠DCB=180∘\angle \mathrm{CDB}+\angle \mathrm{DBC}+\angle \mathrm{DCB}=180^{\circ} [ ∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180∘180^{\circ} ] বা, 60∘+∠DBC+∠DBC=180∘[∵∠DBC=∠DCB]60^{\circ}+\angle \mathrm{DBC}+\angle \mathrm{DBC}=180^{\circ}[\because \angle \mathrm{DBC}=\angle \mathrm{DCB}] বা, 2∠DBC=180∘−60∘2 \angle \mathrm{DBC}=180^{\circ}-60^{\circ} ∴∠DBC=60∘\therefore \angle \mathrm{DBC}=60^{\circ} ∴∠DCB=∠DBC=60∘\therefore \angle \mathrm{DCB}= \angle \mathrm{DBC}=60^{\circ} অর্থাৎ, △BCD−Ω,∠CDB=∠DBC=∠DCB=60∘\triangle \mathrm{BCD}-\Omega, \angle \mathrm{CDB}=\angle \mathrm{DBC}=\angle \mathrm{DCB}=60^{\circ} ∴BC=BD=CD\therefore \quad B C=B D=C D অতএব, △BCD\triangle \mathrm{BCD} একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)
SSCসাধারণ গণিত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.x4×x14\sqrt[4]{x} \times x^{\frac{1}{4}} এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2016

  • ক
    x\sqrt{x}
  • খ
    xx
  • গ
    x14\mathrm{x}^{\frac{1}{4}}
  • ঘ
    x3\sqrt[3]{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. এবং 5 সে.মি. হলে — i. পরিসীমা = 12 সে.মি. ii. অর্ধ-পরিসীমা =6=6 সে.মি. iii. ক্ষেত্রফল =6=6 বর্গ সে.মি. নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2016

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2=2x\mathrm{x}^2=\sqrt{2} \mathrm{x} সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি?

Dinajpur · 2016

  • ক
    {0}\{0\}
  • খ
    {0,2}\{0, \sqrt{2}\}
  • গ
    {2}\{\sqrt{2}\}
  • ঘ
    ∅\varnothing

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.একটি বৃত্তের কতটি ঘূর্ণায়মান প্রতিসাম্য থাকে?

Dinajpur · 2016

  • ক
    2
  • খ
    4
  • গ
    ৪
  • ঘ
    অসংখ্য

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.শুধু পরিসীমা দেওয়া থাকলে নিচের কোনটি আঁকা সম্ভব?

Dinajpur · 2016

  • ক
    রম্বস
  • খ
    ট্রাপিজিয়াম
  • গ
    বর্গ
  • ঘ
    আয়তক্ষেত্র

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.নিচের কোন সমীকরণটির জন্য নিচের ছকটি সত্য? question image

Dinajpur · 2016

  • ক
    2x−y=32 x-y=3
  • খ
    2x+y=32 x+y=3
  • গ
    4x−3y=64 x-3 y=6
  • ঘ
    4x+3y=64 x+3 y=6

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.যদি log⁡x400=4\log_x 400=4 হয়, ভিত্তি কোনটি?

Dinajpur · 2016

  • ক
    252 \sqrt{5}
  • খ
    353 \sqrt{5}
  • গ
    −25-2 \sqrt{5}
  • ঘ
    ±25\pm 2 \sqrt{5}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.question image চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূমির ব্যাসার্ধ একক এবং উচ্চতা h একক। উপরের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাওঃ Q. সিলিন্ডারটির সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

Dinajpur · 2016

  • ক
    πr2\pi r^2
  • খ
    2πrh2 \pi \mathrm{rh}
  • গ
    πr(r+h)\pi \mathrm{r}(\mathrm{r}+\mathrm{h})
  • ঘ
    2πr(r+h)2 \pi r(r+h)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.question image চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূমির ব্যাসার্ধ একক এবং উচ্চতা h একক। উপরের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাওঃ Q. সিলিন্ডারটির কয়টি পৃষ্ঠতল আছে?

Dinajpur · 2016

  • ক
    1
  • খ
    2
  • গ
    3
  • ঘ
    4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?

Dinajpur · 2016

  • ক
    1
  • খ
    2
  • গ
    3
  • ঘ
    4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.কোনটি সরল কোণ?

Dinajpur · 2016

  • ক
    0°
  • খ
    90°
  • গ
    120°
  • ঘ
    180°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ΔABC\Delta \mathrm{ABC} এর উচ্চতা ও ভূমির অনুপাত কোনটি? question image

Dinajpur · 2016

  • ক
    25\frac{2}{5}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    45\frac{4}{5}
  • ঘ
    54\frac{5}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. এবং 5 সে.মি. হলে — [গণিত] সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি?একটি বৃত্তের কতটি ঘূর্ণায়মান প্রতিসাম্য থাকে?শুধু পরিসীমা দেওয়া থাকলে নিচের কোনটি আঁকা সম্ভব?নিচের কোন সমীকরণটির জন্য নিচের ছকটি সত্য? [চিত্র]যদি [গণিত] হয়, ভিত্তি কোনটি?[চিত্র] চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূ[চিত্র] চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূবৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?কোনটি সরল কোণ?[গণিত] এর উচ্চতা ও ভূমির অনুপাত কোনটি? [চিত্র]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন