প্রমাণ কর যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
উত্তর: বিশেষ নির্বচনঃ মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC একটি বৃত্ত। AB তার ব্যাস এবং CD ব্যাস ভিন্ন যে কোন একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, AB > CD. অঙ্কনঃ O, C এবং O, D যোগ করি। প্রমাণঃ OA = OB = OC = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] আমরা জানি, ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। এখন, ΔOCD-এ OC + OD > CD বা, OA + OB > CD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে, OC = OA = OB = OD] অর্থাৎ AB > CD অর্থাৎ AB ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমানিত) [চিত্র]
SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
উদ্দীপক
(i) O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AK ও BP দুইটি সমান জ্যা এবং ও .
(ii) MNST চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক।
Jessore · 2025
উত্তর
বিশেষ নির্বচনঃ মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC একটি বৃত্ত। AB তার ব্যাস এবং CD ব্যাস ভিন্ন যে কোন একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, AB > CD.
অঙ্কনঃ O, C এবং O, D যোগ করি।
প্রমাণঃ OA = OB = OC = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] আমরা জানি, ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
এখন, ΔOCD-এ
OC + OD > CD
বা, OA + OB > CD
[একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে, OC = OA = OB = OD]
অর্থাৎ AB > CD
অর্থাৎ AB ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমানিত)
উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AK ও BP দুইটি সমান জ্যা। OL এবং . প্রমাণ করতে হবে যে, .
অঙ্কন : O, A এবং O, B যোগ করি।
প্রমাণ : ধাপ-১ : OL এবং OS .
সুতরাং এবং [ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
এবং
ধাপ-২ : কিন্তু [দেওয়া আছে]
ধাপ-৩ : এখন, এবং সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে অতিভুজ OA = অতিভুজ OB [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এবং AL = BS [ধাপ (২) হতে]
[সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
OL OS. (প্রমাণিত)উত্তর
মনে করি, MNST চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক অর্থাৎ দুই সমকোণ এবং দুই সমকোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, M, N, S ও T বিন্দু চারটি সমবৃত্ত ।
অঙ্কন : যেহেতু M, N, S বিন্দু তিনটি সমরেখ নয়। সুতরাং, বিন্দু তিনটি দিয়ে যায় এরূপ একটি ও কেবল একটি বৃত্ত আছে। মনে করি, বৃত্তটি MT রেখাংশকে Z বিন্দুতে ছেদ করে। S, Z যোগ করি,। প্রমাণ :
ধাপ ১ : অঙ্কন অনুসারে MNSZ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।সুতরাং দুই সমকোণ বৃত্তে অন্তর্লিখিতচতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ]ধাপ ২ : কিন্তু দুই সমকোণ [দেওয়া আছে]
কিন্তু তা অসম্ভব। কারণ এর বহিঃস্থ বিপরীত অন্তঃস্থ সুতরাং Z এবং T বিন্দুদ্ধয় ভিন্ন হতে পারে না। Z বিন্দু অবশ্যই Tবিন্দুর সাথে মিলে যাবে।অতএব M, N, S ও T বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)
