প্রমাণ করো যে, [গণিত] .
উত্তর: [চিত্র] মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD দুইটি সমান জ্যা। AB এবং CD জ্যা এর উপর যথাক্রমে OP এবং OQ লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, OP=OQ. অঙ্কন : O, A এবং O, C যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ ১ : [গণিত] ও [গণিত] . সুতরাং AP = BP এবং CQ = DQ. [কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] [গণিত] এবং [গণিত] ধাপ ২ : কিন্তু AB = CD [কল্পনা] [গণিত] ধাপ ৩ : এখন OAP এবং OCQ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে, অতিভুজ OA = অতিভুজ OC [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ][ধাপ ২ হতে] এবং [গণিত] [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] [গণিত] . (প্রমাণিত)
SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল
প্রমাণ করো যে, .
উদ্দীপক
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD দুইটি সমান জ্যা এবং কেন্দ্র O হতে AB ও CD জ্যাদ্বয়ের উপর যথাক্রমে OM ও ON লম্ব।
উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC একটি বৃত্ত। AB ব্যাস এবং CD ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, . অঙ্কন : O, C এবং O, D যোগ করি।
প্রমাণ: [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এখন, OCD-এ, OC + OD > CD
[ ∵ ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
বা,
. (প্রমাণিত)উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD দুইটি সমান জ্যা। AB এবং CD জ্যা এর উপর যথাক্রমে OP এবং OQ লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, OP=OQ. অঙ্কন : O, A এবং O, C যোগ করি।
প্রমাণ :
ধাপ ১ : ও .
সুতরাং AP = BP এবং CQ = DQ. [কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
এবং
ধাপ ২ : কিন্তু AB = CD [কল্পনা]
ধাপ ৩ : এখন OAP এবং OCQ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে, অতিভুজ OA = অতিভুজ OC [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ][ধাপ ২ হতে] এবং
[সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
. (প্রমাণিত)উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQ ও RS ব্যাস ভিন্ন জ্যাদ্বয় বৃত্তের অভ্যন্তরে E বিন্দুতে পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করেছে। O, P; O, Q; O, R ও O, S যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, দুই সমকোণঅঙ্কন : P, R যোগ করি।
প্রমাণ :ধাপ-১ : PS চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠ POS এবং বৃত্তস্থ . [ ∵ বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।ধাপ-২ : QR চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ এবং বৃত্তস্থ . [একই কারণে]
ধাপ-৩ : ধাপ (১) ও (২) থেকে পাই,
[যোগ করে]
ধাপ-৪ : সমকোণ সমকোণবা, সমকোণধাপ-৫ : ধাপ (৩) ও (৪) নং থেকে পাই, সমকোণ সমকোণ। (প্রমাণিত)
