11 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তর: এখানে, বৃত্তের ব্যাস = 11 সে.মি. [গণিত] বৃত্তের ব্যাসার্ধ, [গণিত] সে.মি. [গণিত] সে.মি. বৃত্তের ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ সে.মি. [গণিত] বর্গ সে.মি. [গণিত] বর্গ সে.মি. (প্রায়) নির্ণেয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল 95.033 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল
11 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উদ্দীপক
চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AC = BD.
Barisal · 2025
উত্তর
এখানে, বৃত্তের ব্যাস = 11 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, সে.মি. সে.মি.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল বর্গ সে.মি. বর্গ সে.মি. বর্গ সে.মি. (প্রায়)
নির্ণেয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল 95.033 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা AC = জ্যা BD এবং এরা পরস্পর M বিন্দুতে ছেদ করেছে।
দেখাতে হবে যে, AM = BM এবং CM = DM
অঙ্কন: কেন্দ্র ০ থেকে AC এবং BD এর উপর যথাক্রমে OE এবং OF লম্ব আঁকি। O, M যোগ করি।
প্রমাণ : ধাপ-১ : OE AC এবং OF BD
সুতরাং এবং বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
ধাপ-২ : কিন্তু AC = BD [দেওয়া আছে]
বা,
[ধাপ ১ হতে]
ধাপ-৩ : কেন্দ্র থেকে AC এবং BD সমান জ্যাদ্বয়ের দূরত্ব যথাক্রমে OE এবং OF.
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী]
ধাপ-৪ : সমকোণী এবং সমকোণী এ
অতিভুজ OM = অতিভুজ OM [সাধারণ বাহু]
এবং [ধাপ ৩ হতে]
[সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
ধাপ-৫: ধাপ ২ ও ৪ হতে
[যোগ করে]
এবং
ধাপ-৬ : আবার,
বা, AC - - BM [ধাপ ৫ হতে]
এবং
সুতরাং এবং . (দেখানো হলো)
অঙ্কন: কেন্দ্র ০ থেকে AC এবং BD এর উপর যথাক্রমে OE এবং OF লম্ব আঁকি। O, M যোগ করি।
প্রমাণ : ধাপ-১ : OE AC এবং OF BD
সুতরাং এবং বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
ধাপ-২ : কিন্তু AC = BD [দেওয়া আছে]
বা,
[ধাপ ১ হতে]
ধাপ-৩ : কেন্দ্র থেকে AC এবং BD সমান জ্যাদ্বয়ের দূরত্ব যথাক্রমে OE এবং OF.
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী]
ধাপ-৪ : সমকোণী এবং সমকোণী এ
অতিভুজ OM = অতিভুজ OM [সাধারণ বাহু]
এবং [ধাপ ৩ হতে]
[সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
ধাপ-৫: ধাপ ২ ও ৪ হতে
[যোগ করে]
এবং
ধাপ-৬ : আবার,
বা, AC - - BM [ধাপ ৫ হতে]
এবং
সুতরাং এবং . (দেখানো হলো)উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা AC = জ্যা BD এবং এরা পরস্পর M বিন্দুতে ছেদ করেছে।O, A; O, B; O, C এবং O, D যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, .অঙ্কন : A, D যোগ করি ।
প্রমাণ:
ধাপ ১ : একই চাপ AB এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ এবং বৃত্তস্থ কোণ । বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]ধাঁপ ২ : আবার, একই চাপ CD এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ এবং বৃত্তস্থ কোণ । [: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]ধাপ ৩ : -এর বহিঃস্থ অন্তঃস্থ বিপরীত ( )ধাপ 8 ; এখন, [ধাপ (১) ও (২) হতে] [ধাপ (৩) হতে]. (প্রমাণিত)
