প্রমাণ কর যে, P, AB এর মধ্যবিন্দু।
উত্তর: [চিত্র] মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB জ্যার উপর OP লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, P, AB এর মধ্যবিন্দু। অঙ্কন: A, O ও B, O যোগ করি। প্রমাণ: △AOP ও △BOP-এ, AO = BO [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ) OP = OP [সাধারণ বাহু] ∠ΑΡΟ = ∠ΒΡΟ [প্রত্যেকে সমকোণ] [গণিত] অতএব, P, AB এর মধ্যবিন্দু। (প্রমাণিত)
SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে, P, AB এর মধ্যবিন্দু।
উদ্দীপক
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD দুইটি সমান জ্যা। O থেকে AB ও CD এর উপর যথাক্রমে OP ও OQ লম্ব।
Dhaka · 2024
উত্তর
কি মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB একটি ব্যাস এবং ∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACB = এক সমকোণ।
অঙ্কন: AB এর যে পাশে C বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু D নিই।
প্রমাণ:
ধাপ-১: ADB চাপের উপর দণ্ডায়মান
বৃত্তস্থ (কেন্দ্রস্থ সরলকোণ )
[∵ বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]
ধাপ-২: কিন্তু সরলকোণ দুই সমকোণ।
(দুই সমকোণ)
এক সমকোণ। (প্রমাণিত)উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB জ্যার উপর OP লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, P, AB এর মধ্যবিন্দু।
অঙ্কন: A, O ও B, O যোগ করি।
প্রমাণ:
△AOP ও △BOP-এ, AO = BO [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
OP = OP [সাধারণ বাহু]
∠ΑΡΟ = ∠ΒΡΟ [প্রত্যেকে সমকোণ]
অতএব, P, AB এর মধ্যবিন্দু। (প্রমাণিত)উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD দুইটি সমান জ্যা। AB এবং CD জ্যা এর উপর যথাক্রমে OP এবং OQ লম্ব। O, A এবং O, C যোগ করি।
প্রমাণ করতে হবে যে, OP = OQ.
প্রমাণ:
ধাপ ১ : ও .
সুতরাং AP = BP এবং CQ = DQ. [কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
এবং .
ধাপ ২: কিন্তু AB = CD [কল্পনা]
AP = CQ
ধাপ ৩: এখন OAP এবং OCQ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে, অতিভুজ OA = অতিভুজ OC [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] [ধাপ ২ হতে] এবং AP = CQ
[সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
OP = OQ. (প্রমাণিত)
