প্রমাণ কর যে, ∠RCS = 2∠RPS.
উত্তর: [চিত্র] এখানে, C কেন্দ্রবিশিষ্ট PRQS বৃত্তে RQS উপচাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ∠RPS এবং কেন্দ্রস্থ কোণ ∠RCS। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠RCS = 2∠RPS । অঙ্কন: P এবং C যোগ করে T পর্যন্ত বর্ধিত করি। প্রমাণ: ধাপ ১: △PRC এর বহিস্থ কোণ ∠RCT = ∠CPR+ ∠CRP ধাপ ২: △PRC এ CP = CR [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] অতএব, ∠CPR = ∠CRP [ ∵ ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান] ধাপ ৩: ধাপ (১) ও (২) থেকে পাই [গণিত] ধাপ ৪: একইভাবে △PCS থেকে পাই [গণিত] ধাপ ৫: ধাপ (৩) ও (৪) থেকে পাই, ∠RCT + ∠SCT = 2∠CPR+2∠SPC বা, [গণিত] অর্থাৎ ∠RCS = 2∠RPS. (প্রমাণিত)
SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে, ∠RCS = 2∠RPS.
উদ্দীপক
চিত্রে QO স্পর্শক এবং CQ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
Jessore · 2024
উত্তর
দেওয়া আছে,
অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাসার্ধ
বৃত্তের ক্ষেত্রফল (প্রায়)
নির্ণেয় ক্ষেত্রফল (প্রায়)।
উত্তর
এখানে, C কেন্দ্রবিশিষ্ট PRQS বৃত্তে RQS উপচাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ∠RPS এবং কেন্দ্রস্থ কোণ ∠RCS। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠RCS = 2∠RPS ।
অঙ্কন: P এবং C যোগ করে T পর্যন্ত বর্ধিত করি।
প্রমাণ:
ধাপ ১: △PRC এর বহিস্থ কোণ ∠RCT = ∠CPR+ ∠CRP
ধাপ ২: △PRC এ CP = CR [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
অতএব, ∠CPR = ∠CRP [ ∵ ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান]
ধাপ ৩: ধাপ (১) ও (২) থেকে পাই
ধাপ ৪: একইভাবে △PCS থেকে পাই
ধাপ ৫: ধাপ (৩) ও (৪) থেকে পাই, ∠RCT + ∠SCT = 2∠CPR+2∠SPC
বা,
অর্থাৎ ∠RCS = 2∠RPS. (প্রমাণিত)উত্তর
মনে করে, C কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ওপরস্থ Q বিন্দুতে QO একটি স্পর্শক এবং CQ স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। প্রমাণ করতে হবে যে, .
অঙ্কন; QO স্পর্শকের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু M নিই এবং C, M যোগ করি।
প্রমাণ:
ধাপ ১: যেহেতু বৃত্তের Q বিন্দুতে QO একটি স্পর্শক, সুতরাং ঐ Q বিন্দু ব্যতীত QO এর ওপরস্থ অন্য সকল বিন্দু বৃত্তের বাইরে থাকবে। সুতরাং M বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত।
ধাপ ২: CM বৃত্তের ব্যাসার্ধ CQ এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ, CM > CQ এবং তা স্পর্শ বিন্দু Q ব্যতীত QO এর ওপরস্থ M বিন্দুর সকল অবস্থানের জন্য সত্য।
∴ কেন্দ্র C থেকে QO স্পর্শকের ওপর CQ হলো ক্ষুদ্রতম দূরত্ব।
সুতরাং . (প্রমাণিত)
