প্রমাণ কর যে, [গণিত] .
উত্তর: [চিত্র] মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] . অঙ্কন: O, C এবং O, A যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ ১: একই চাপ ADC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠AOC = 2 (বৃত্তস্থ ∠ABC) [গণিত] [একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ, ∠AOC = 2∠ABC ধাপ ২ : আবার, একই চাপ ABC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 2 (বৃত্তস্থ ∠ADC) [গণিত] [একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 2/ADC [গণিত] প্রবৃদ্ধ কোণ [গণিত] কিন্তু [গণিত] প্রবৃদ্ধ কোণ [গণিত] সমকোণ [গণিত] সমকোণ বা, [গণিত] সমকোণ। [গণিত] (প্রমাণিত)
SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে, .
Rajshahi · 2024
উত্তর
চিত্রে, AP, BP উভয়ই নির্ণেয় স্পর্শক।উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, .
অঙ্কন: O, C এবং O, A যোগ করি।
প্রমাণ:
ধাপ ১: একই চাপ ADC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠AOC = 2 (বৃত্তস্থ ∠ABC)
[একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
অর্থাৎ, ∠AOC = 2∠ABC
ধাপ ২ : আবার, একই চাপ ABC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 2 (বৃত্তস্থ ∠ADC)
[একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 2/ADC
প্রবৃদ্ধ কোণ
কিন্তু প্রবৃদ্ধ কোণ সমকোণ
সমকোণ
বা, সমকোণ।
(প্রমাণিত)উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABCD বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু E থেকে বৃত্তে AE ও DE দুইটি স্পর্শক এবং AD হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। OE রেখাংশ AD জ্যাকে F বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, OE সরলরেখা স্পর্শ জ্যা AD এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।
অঙ্কন: O, A এবং O, D যোগ করি।
প্রমাণ:
ধাপ-১: ΔOAE এবং △ODE এর মধ্যে,
OA = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
AE = DE [বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান]
এবং OE = OE [সাধারণ বাহু]
[বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
∠AOE = ∠DOE
অর্থাৎ, ∠AOF = ∠DOF
ধাপ-২: এখন, △OAF ও A ODF-এ
OA = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OF = OF [সাধারণ বাহু]
এবং অন্তর্ভুক্ত ∠AOF = অন্তর্ভুক্ত ∠DOF [ধাপ (১) হতে]
[বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
AF = DF এবং ∠AFO = ∠DFO
ধাপ-৩: এখন, ∠AFD = 1 সরলকোণ
বা, ∠AFO+ ∠DFO = 2 সমকোণ [∵ এক সরলকোণ = 2 সমকোণ]
বা, ∠AFO+ ∠AFO = 2 সমকোণ [ধাপ (২) হতে]
বা, 2∠AFO = 2 সমকোণ
বা, ∠AFO = 1 সমকোণ
সমকোণ
অর্থাৎ
আবার, AF = DF
OE, AD কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অতএব, OE সরলরেখা স্পর্শ জ্যা AD এর লম্ব-সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)
