Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি PQ = RS হয়, প্রমাণ কর যে, OM = ON.

উত্তর: মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQ ও RS দুইটি সমান জ্যা। OM [গণিত] এবং ON [গণিত] RS. প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] . [চিত্র] অঙ্কন: O, P এবং O, R যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ-১ : [গণিত] এবং [গণিত] . সুতরাং [গণিত] এবং [গণিত] [: : বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] [গণিত] এবং [গণিত] ধাপ-২ : কিন্তু PQ = RS [দেওয়া আছে] বা, [গণিত] ধাপ-৩ : এখন, [গণিত] এবং [গণিত] সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে অতিভুজ OP = অতিভুজ OR [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এবং PM = RN [ধাপ (২) হতে] [গণিত] [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] [গণিত] .( প্রমাণিত )

SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল

যদি PQ = RS হয়, প্রমাণ কর যে, OM = ON.

উদ্দীপক

(i) O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের PQ এবং RS দুইটি জ্যা। OM⊥PQ\mathrm{OM} \perp \mathrm{PQ} এবং ON⊥RS\mathrm{ON} \perp \mathrm{RS}.(ii) O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PE এবং PF দুইটি স্পর্শক।

Dinajpur · 2025

উত্তর

এখানে, বৃত্তের ব্যাস =6=6 সে.মি. ∴\therefore বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r=62\mathrm{r}=\frac{6}{2} সে.মি. =3=3 সে.মি. ∴\therefore বৃত্তের ক্ষেত্রফল =πr2=3.1416×32=\pi \mathrm{r}^2=3.1416 \times 3^2 বর্গ সে.মি. =3.1416×9=3.1416 \times 9 বর্গ সে.মি. =28.274=28.274 বর্গ সে.মি. (প্রায়) নির্ণেয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল 28.274 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

উত্তর

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQ ও RS দুইটি সমান জ্যা। OM ⊥PQ\perp \mathrm{PQ} এবং ON ⊥\perp RS. প্রমাণ করতে হবে যে, OM=ON\mathrm{OM}=\mathrm{ON}. question image অঙ্কন: O, P এবং O, R যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ-১ : OM⊥PQ\mathrm{OM} \perp \mathrm{PQ} এবং ON⊥RS\mathrm{ON} \perp \mathrm{RS}. সুতরাং PM=QM\mathrm{PM}=\mathrm{QM} এবং RN=SN\mathrm{RN}=\mathrm{SN} [: : বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] ∴PM=12PQ\therefore \quad \mathrm{PM}=\frac{1}{2} \mathrm{PQ} এবং RN=12RS\mathrm{RN}=\frac{1}{2} \mathrm{RS} ধাপ-২ : কিন্তু PQ = RS [দেওয়া আছে] বা, 12PQ=12RS\frac{1}{2} P Q=\frac{1}{2} R S ∴PM=RN\therefore \quad \mathrm{PM}=\mathrm{RN} ধাপ-৩ : এখন, △OPM\triangle \mathrm{OPM} এবং △ORN\triangle \mathrm{ORN} সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে অতিভুজ OP = অতিভুজ OR [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এবং PM = RN [ধাপ (২) হতে] ∴△OPM≅△ORN\therefore \quad \triangle \mathrm{OPM} \cong \triangle \mathrm{ORN} [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] ∴OM=ON\therefore \quad \mathrm{OM}=\mathrm{ON}.( প্রমাণিত )

উত্তর

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PE এবং PF দুইটি স্পর্শক। E, F এবং O, P যোগ করি। OP রেখাংশ EF স্পর্শ জ্যাকে A বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, OP রেখাংশ স্পর্শ জ্যা EF এর লম্বদ্বিখণ্ডক। প্রমাণঃধাপ-১ : △OEP\triangle \mathrm{OEP} এবং △OFP\triangle \mathrm{OFP} এর মধ্যেOE=OF\mathrm{OE}=\mathrm{OF} [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]PE=PF [বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর সমান]এবং OP=OP\mathrm{OP}=\mathrm{OP}. [সাধারণ বাহু]∴△OEP≅△OFP\therefore \quad \triangle \mathrm{OEP} \cong \triangle \mathrm{OFP} [বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]∴∠EOP=∠FOP\therefore \quad \angle \mathrm{EOP}=\angle \mathrm{FOP}অর্থাৎ ∠EOA=∠FOA\angle \mathrm{EOA}=\angle \mathrm{FOA}ধাপ-২ : △AOE\triangle \mathrm{AOE} ও △AOF−\triangle \mathrm{AOF}- এ,OE == OF [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]OA=OA [সাধারণ বাহু]এবং অন্তর্ভুক্ত ∠EOA=\angle \mathrm{EOA}= অন্তর্ভুক্ত ∠FOA\angle \mathrm{FOA} [ধাপ (১) হতে]∴△AOE≅△AOF\therefore \quad \triangle \mathrm{AOE} \cong \triangle \mathrm{AOF} [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]∴AE=AF\therefore \quad \mathrm{AE}=\mathrm{AF}এবং ∠OAE=∠OAF\angle \mathrm{OAE}=\angle \mathrm{OAF}কিন্তু এরা রৈখিক যুগল কোণ হওয়ায় প্রত্যেকেই সমকোণ।∵∠OAE=∠OAF=1\because \angle \mathrm{OAE}=\angle \mathrm{OAF}=1 সমকোণ∴OA⊥EF\therefore \mathrm{OA} \perp \mathrm{EF} বা, OP⊥EF\mathrm{OP} \perp \mathrm{EF}যেহেতু AE=AF\mathrm{AE}=\mathrm{AF} এবং OP⊥EF\mathrm{OP} \perp \mathrm{EF}সুতরাং OP রেখাংশ স্পর্শ জ্যা EF এর লম্বছিখণ্ডক। (প্রমাণিত)
SSCসাধারণ গণিতDinajpur 2025
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.x4×x14\sqrt[4]{x} \times x^{\frac{1}{4}} এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2016

  • ক
    x\sqrt{x}
  • খ
    xx
  • গ
    x14\mathrm{x}^{\frac{1}{4}}
  • ঘ
    x3\sqrt[3]{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. এবং 5 সে.মি. হলে — i. পরিসীমা = 12 সে.মি. ii. অর্ধ-পরিসীমা =6=6 সে.মি. iii. ক্ষেত্রফল =6=6 বর্গ সে.মি. নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2016

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2=2x\mathrm{x}^2=\sqrt{2} \mathrm{x} সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি?

Dinajpur · 2016

  • ক
    {0}\{0\}
  • খ
    {0,2}\{0, \sqrt{2}\}
  • গ
    {2}\{\sqrt{2}\}
  • ঘ
    ∅\varnothing

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.একটি বৃত্তের কতটি ঘূর্ণায়মান প্রতিসাম্য থাকে?

Dinajpur · 2016

  • ক
    2
  • খ
    4
  • গ
    ৪
  • ঘ
    অসংখ্য

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.শুধু পরিসীমা দেওয়া থাকলে নিচের কোনটি আঁকা সম্ভব?

Dinajpur · 2016

  • ক
    রম্বস
  • খ
    ট্রাপিজিয়াম
  • গ
    বর্গ
  • ঘ
    আয়তক্ষেত্র

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.নিচের কোন সমীকরণটির জন্য নিচের ছকটি সত্য? question image

Dinajpur · 2016

  • ক
    2x−y=32 x-y=3
  • খ
    2x+y=32 x+y=3
  • গ
    4x−3y=64 x-3 y=6
  • ঘ
    4x+3y=64 x+3 y=6

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.যদি log⁡x400=4\log_x 400=4 হয়, ভিত্তি কোনটি?

Dinajpur · 2016

  • ক
    252 \sqrt{5}
  • খ
    353 \sqrt{5}
  • গ
    −25-2 \sqrt{5}
  • ঘ
    ±25\pm 2 \sqrt{5}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.question image চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূমির ব্যাসার্ধ একক এবং উচ্চতা h একক। উপরের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাওঃ Q. সিলিন্ডারটির সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

Dinajpur · 2016

  • ক
    πr2\pi r^2
  • খ
    2πrh2 \pi \mathrm{rh}
  • গ
    πr(r+h)\pi \mathrm{r}(\mathrm{r}+\mathrm{h})
  • ঘ
    2πr(r+h)2 \pi r(r+h)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.question image চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূমির ব্যাসার্ধ একক এবং উচ্চতা h একক। উপরের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাওঃ Q. সিলিন্ডারটির কয়টি পৃষ্ঠতল আছে?

Dinajpur · 2016

  • ক
    1
  • খ
    2
  • গ
    3
  • ঘ
    4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?

Dinajpur · 2016

  • ক
    1
  • খ
    2
  • গ
    3
  • ঘ
    4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.কোনটি সরল কোণ?

Dinajpur · 2016

  • ক
    0°
  • খ
    90°
  • গ
    120°
  • ঘ
    180°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ΔABC\Delta \mathrm{ABC} এর উচ্চতা ও ভূমির অনুপাত কোনটি? question image

Dinajpur · 2016

  • ক
    25\frac{2}{5}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    45\frac{4}{5}
  • ঘ
    54\frac{5}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. এবং 5 সে.মি. হলে — [গণিত] সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি?একটি বৃত্তের কতটি ঘূর্ণায়মান প্রতিসাম্য থাকে?শুধু পরিসীমা দেওয়া থাকলে নিচের কোনটি আঁকা সম্ভব?নিচের কোন সমীকরণটির জন্য নিচের ছকটি সত্য? [চিত্র]যদি [গণিত] হয়, ভিত্তি কোনটি?[চিত্র] চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূ[চিত্র] চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূবৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?কোনটি সরল কোণ?[গণিত] এর উচ্চতা ও ভূমির অনুপাত কোনটি? [চিত্র]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
যদি PQ = RS হয়, প্রমাণ কর যে, OM = ON. | Prosthuti