প্রমাণ কর, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
উত্তর: মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC একটি বৃত্ত। AB ব্যাস এবং CD ব্যাস - ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, AB > CD. [চিত্র] অঙ্কন: O, C এবং O, D যোগ করি। প্রমাণ: OA = OB = OC = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এখন, [গণিত] OCD-এ, OC + OD > CD [ [গণিত] ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর] বা, [গণিত] AB [গণিত] . (প্রমাণিত)
SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল
প্রমাণ কর, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
উদ্দীপক
উপরের চিত্রে, O বৃত্তের কেন্দ্র।
Mymensingh · 2025
উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC একটি বৃত্ত। AB ব্যাস এবং CD ব্যাস - ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা।
প্রমাণ করতে হবে যে, AB > CD.
অঙ্কন: O, C এবং O, D যোগ করি।
প্রমাণ: OA = OB = OC = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এখন, OCD-এ, OC + OD > CD
[ ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
বা,
AB . (প্রমাণিত)
অঙ্কন: O, C এবং O, D যোগ করি।
প্রমাণ: OA = OB = OC = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এখন, OCD-এ, OC + OD > CD
[ ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
বা,
AB . (প্রমাণিত)উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, .
অঙ্কন : O, A এবং O, C যোগ করি।
প্রমাণ :
ধাপ ১ : একই চাপ ADC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ (বৃত্তস্থ )
[ বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ, প্রবৃদ্ধ
ধাপ ২ : আবার, একই চাপ ABC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ (বৃত্তস্থ )
[ একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ, কোণ
প্রবৃদ্ধ কোণ
কিন্তু, প্রবৃদ্ধ কোণ সমকোণ
বা, .
(প্রমাণিত)
অঙ্কন : O, A এবং O, C যোগ করি।
প্রমাণ :
ধাপ ১ : একই চাপ ADC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ (বৃত্তস্থ )
[ বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ, প্রবৃদ্ধ
ধাপ ২ : আবার, একই চাপ ABC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ (বৃত্তস্থ )
[ একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ, কোণ
প্রবৃদ্ধ কোণ
কিন্তু, প্রবৃদ্ধ কোণ সমকোণ
বা, .
(প্রমাণিত)উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABCD বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু E থেকে বৃত্তে AE ও DE দুইটি স্পর্শক এবং AD হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। OE রেখাংশ AD জ্যাকে F বিন্দুতে ছেদ করে।প্রমাণ করতে হবে যে, OE রেখাংশ স্পর্শ জ্যা AD এর সমদ্বিখণ্ডক।
অঙ্কন: O, A এবং O, D যোগ করি।প্রমাণ:ধাপ-১ : এবং এর মধ্যে, [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] AE = DE[বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান] এবং [সাধারণ বাহু] [বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
অর্থাৎ, ধাপ-২ : এখন, ও -এ OA = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ষ]OF = OF [সাধারণ বাহু]
এবং অন্তর্ভুক্ত অন্তর্ভুক্ত [ধাপ (১) হতে] [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
অতএব, OR রেখাংশ স্পর্শ জ্যা AD এর সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)
