প্রমাণ কর যে, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন : O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে CD একটি ব্যাস এবং ∠DBC একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠DBC = এক সমকোণ। অঙ্কন : DC এর যে পাশে B বিন্দু অবস্থিত, তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু E নিই। প্রমাণ : ধাপ-১. DEC চাপের উপর দড্ডায়মান বৃত্তস্থ [গণিত] (কেন্দ্রস্থ সরলকোণ [গণিত] ) [একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক] ধাপ-২. কিন্তু সরলকোণ [গণিত] দুই সমকোণ। [গণিত] (দুই সমকোণ) = এক সমকোণ। অর্থাৎ, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ। (প্রমাণিত)
SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
উদ্দীপক
DEFG চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক।
Comilla · 2023
উত্তর
বিশেষ নির্বচন : O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে CD একটি ব্যাস এবং ∠DBC একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠DBC = এক সমকোণ।
অঙ্কন : DC এর যে পাশে B বিন্দু অবস্থিত, তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু E নিই।
প্রমাণ :
ধাপ-১. DEC চাপের উপর দড্ডায়মান বৃত্তস্থ
(কেন্দ্রস্থ সরলকোণ )
[একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]
ধাপ-২. কিন্তু সরলকোণ দুই সমকোণ। (দুই সমকোণ) = এক সমকোণ। অর্থাৎ, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ। (প্রমাণিত)উত্তর
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, DEFG চতুর্ভুজে । প্রমাণ করতে হবে যে, D, E, F, G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।
অঙ্কন : যেহেতু D, E, F বিন্দু তিনটি সমরেখ নয়, সুতরাং বিন্দু তিনটি দিয়ে যায় এরূপ একটি ও কেবল একটি বৃত্ত আছে। মনে করি, বৃত্তটি DG রেখাংশকে T বিন্দুতে ছেদ করে। F, T যোগ করি।
প্রমাণ:
অঙ্কন অনুসারে DEFT বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
সুতরাং, [বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ]
কিন্তু [দেওয়া আছে]
কিন্তু তা অসমভব। কারণ চিত্রে এর বহিঃস্থ বিপরীত অন্তঃস্থ ।
সুতরাং, T এবং G বিন্দুদ্বয় ভিন্ন হতে পারে না। T বিন্দু অবশ্যই G বিন্দুর সাথে মিলে যাবে।
অতএব, D, E, F, G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত (প্রমাণিত)উত্তর
বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, DEFG চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক। অর্থাৎ, DEFG চতুর্ভুজটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত এবং বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। DF রেখা, এর সমদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, .অঙ্কন : E, G যোগ করি।প্রমাণ :ধাপ-১. দেওয়া আছে, এর সমদ্বিখণ্ডক
ধাপ-২. এখন একই চাপ FG এ অবস্থিত বলে,
[বৃত্তের একই চাপের উপর দডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।] আবার, একই চাপ EF এ অবস্থিত বলে,
একই কারণে
বা, [(i) নং হতে মান বসিয়ে]বা, [(ii) নং হতে মান বসিয়ে]এখন, এর হওয়ায় .[ত্রিভুজের সমান সমান কোণদ্বয়ের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান]. (প্রমাণিত)
