প্রমাণ কর যে, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
উত্তর: অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ। [চিত্র] মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB একটি ব্যাস এবং ∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACB এক সমকোণ। অঙ্কন: AB এর যে পাশে C বিন্দু অবস্থিত, তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু D নিই। প্রমাণ : ধাপ-১ : ADB চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ [গণিত] (কেন্দ্রস্থ সরল কোণ [গণিত] ) [ ∵ একই চাপের ওপর দড্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক] ধাপ-২ : কিন্তু সরলকোণ [গণিত] দুই সমকোণ। [গণিত] (দুই সমকোণ) = এক সমকোণ। (প্রমাণিত)
SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
উদ্দীপক
চিত্রে C বৃত্তের কেন্দ্র।
Sylhet · 2023
উত্তর
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB একটি ব্যাস এবং ∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACB এক সমকোণ।
অঙ্কন: AB এর যে পাশে C বিন্দু অবস্থিত, তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু D নিই।
প্রমাণ :
ধাপ-১ : ADB চাপের উপর দণ্ডায়মান
বৃত্তস্থ (কেন্দ্রস্থ সরল কোণ )
[ ∵ একই চাপের ওপর দড্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]
ধাপ-২ : কিন্তু সরলকোণ দুই সমকোণ।
(দুই সমকোণ) = এক সমকোণ। (প্রমাণিত)
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB একটি ব্যাস এবং ∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACB এক সমকোণ।
অঙ্কন: AB এর যে পাশে C বিন্দু অবস্থিত, তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু D নিই।
প্রমাণ :
ধাপ-১ : ADB চাপের উপর দণ্ডায়মান
বৃত্তস্থ (কেন্দ্রস্থ সরল কোণ )
[ ∵ একই চাপের ওপর দড্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]
ধাপ-২ : কিন্তু সরলকোণ দুই সমকোণ।
(দুই সমকোণ) = এক সমকোণ। (প্রমাণিত)উত্তর
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, C কেন্দ্রবিশিষ্ট PQMN বৃত্তের PQ ও MN দুইটি সমান জ্যা। C থেকে PQ এবং MN জ্যা এর উপর যথাক্রমে AC এবং BC লম্ব। এবং যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে .
প্রমাণ :
ধাপ-১. ও .
সুতরাং, এবং . [কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।]
এবং
ধাপ-২. কিন্তু PQ = MN
ধাপ-৩. এখন এবং সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে [কল্পনা] অতিভুজ CP = অতিভুজ CM [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এবং [ধাপ ২]
[সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
প্রমাণিত)উত্তর
মনে করি, C কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু E থেকে ঐ বৃত্তের উপর PE ও ME দুইটি স্পর্শক টানা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, .অঙ্কন : C, M; C, P এবং C, E যোগ করি।প্রমাণ :ধাপ-১ : বৃত্তের P বিন্দুতে PE একটি স্পর্শক এবং CP স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।সুতরাং অর্থাৎ এক সমকোণ।ধাপ-২ : আবার, বৃত্তের M বিন্দুতে ME একটি স্পর্শক এবং CM স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।সুতরাং অর্থাৎ এক সমকোণ।
ধাপ-৩ : এখন, এবং সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে] এবং অতিভুজ CE উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু। [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা] সুতরাং PE = ME. (প্রমাণিত)
