যদি [গণিত] এর সমদ্বিখণ্ডক QS হয় তবে প্রমাণ করো যে, [গণিত] RS.
উত্তর: এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট PQRS বৃত্তে [গণিত] সমদ্বিখণ্ডক QS যা কেন্দ্র O বিন্দুগামী। P, S এবং R, S যোগ করি।প্রমাণ করতে হবে যে, PS =RS। প্রমাণ : ধাপ ১ : PS চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ [গণিত] এবং বৃত্তস্থ কোণ [গণিত] । [গণিত] [∴ একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক] একইভাবে, RS চাপের ক্ষেত্রে পাই, [গণিত] ধাপ ২ : যেহেতু ∠ PQR এর সমদ্বিখণ্ডক QS সেহেতু [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, চাপ PS = চাপ RS [ ∵ কেন্দ্রস্থ কোণ চাপের সমানুপাতিক] ∴ PS [গণিত] RS. (প্রমাণিত)
SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল
যদি এর সমদ্বিখণ্ডক QS হয় তবে প্রমাণ করো যে, RS.
উদ্দীপক
চিত্রে PSRQ বৃত্তের কেন্দ্র O এবং S, O, Q সমরেখ।
উত্তর
এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, সে.মি. সে.মি.
বৃত্তের পরিধি সে.মি.
সে.মি. (প্রায়)
বৃত্তের ক্ষেত্রফল বর্গ সে.মি.
বর্গ সে.মি.
বর্গ সে.মি. (প্রায়)
নির্ণেয় বৃত্তের পরিধি 28.274 সে.মি. (প্রায়) এবং ক্ষেত্রফল 63.617 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।
উত্তর
[বি.দ্র.: X, Y এবং Z এর পরিবর্তে যথাক্রমে Q, P এবং R হবে।]
মনে করি,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা XY > জ্যা XZ ।বৃত্তের একই উপচাপ YZ এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ এর বৃত্তস্থ কোণ .
প্রমাণ করতে হবে যে, .
অঙ্কন: X বিন্দু দিয়ে কেন্দ্রগামী রেখাংশ XT আঁকি।
প্রমাণ:
ধাপ-১ : ΔXOY এর বহিঃস্থ = অন্তঃস্থ বিপরীত ()
[∵ ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
ধাপ-২ : -এ, OX = OY [একই বৃত্তের র্যাসার্ধ]
[∵সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি সমান]
ধাপ-৩ : ধাপ (১) ও (২) থেকে পাই,
ধাপ-৪ : একইভাবে থেকে পাই,
ধাপ-৫ : ধাপ (৩) ও (৪) থেকে পাই,
[যোগ করে]
বা,
বা,
অতএব, . (প্রমাণিত)
অঙ্কন: X বিন্দু দিয়ে কেন্দ্রগামী রেখাংশ XT আঁকি।
প্রমাণ:
ধাপ-১ : ΔXOY এর বহিঃস্থ = অন্তঃস্থ বিপরীত ()
[∵ ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
ধাপ-২ : -এ, OX = OY [একই বৃত্তের র্যাসার্ধ]
[∵সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি সমান]
ধাপ-৩ : ধাপ (১) ও (২) থেকে পাই,
ধাপ-৪ : একইভাবে থেকে পাই,
ধাপ-৫ : ধাপ (৩) ও (৪) থেকে পাই,
[যোগ করে]
বা,
বা,
অতএব, . (প্রমাণিত)উত্তর
এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট PQRS বৃত্তে সমদ্বিখণ্ডক QS যা কেন্দ্র O বিন্দুগামী। P, S এবং R, S যোগ করি।প্রমাণ করতে হবে যে, PS =RS।
প্রমাণ : ধাপ ১ : PS চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ এবং বৃত্তস্থ কোণ ।
[∴ একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]
একইভাবে, RS চাপের ক্ষেত্রে পাই,
ধাপ ২ : যেহেতু ∠ PQR এর সমদ্বিখণ্ডক QS
সেহেতু
বা,
বা,
বা, চাপ PS = চাপ RS [ ∵ কেন্দ্রস্থ কোণ চাপের সমানুপাতিক]
∴ PS RS. (প্রমাণিত)
