PB ও PD বৃত্তের দুইটি স্পর্শক হলে প্রমাণ করো যে, PB = PD.
উত্তর: মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে B ও D বিন্দুতে PB ও PD দুইটি স্পর্শক। প্রমাণ করতে হবে যে, PB = PD. অঙ্কন: O, P; O, B এবং O, D যোগ করি। প্রমাণ :ধাপ-১ : যেহেতু PB স্পর্শক এবং OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। সেহেতু PB ⟂ OB । [ ∵ স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব] [গণিত] সমকোণ।অনুরূপভাবে, [গণিত] সমকোণ [গণিত] এবং [গণিত] উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।ধাপ-২ : এখন, [গণিত] ও [গণিত] সমকোণী ত্রিভুজে,অতিভুজ OP = অতিভুজ OP [সাধারণ বাহু]OB = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] [গণিত] [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]সুতরাং, PB = PD. (প্রমাণিত)
SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল
PB ও PD বৃত্তের দুইটি স্পর্শক হলে প্রমাণ করো যে, PB = PD.
উদ্দীপক
চিত্রে, বৃত্তের কেন্দ্র O
উত্তর
[বি.দ্র.: 5 সে.মি. এর পরিবর্তে 3 সে.মি. হবে।]
এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = r = 5 সে.মি.। বৃত্তটির A বিন্দুতে AP স্পর্শক আঁকা হলো।
এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = r = 5 সে.মি.। বৃত্তটির A বিন্দুতে AP স্পর্শক আঁকা হলো।উত্তর
[সমাধান দ্রষ্টব্য]
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, দুই সমকোণ। এবং দুই সমকোণ।
অঙ্কন : O, A এবং O, C যোগ করি।
প্রমাণ : ধাপ ১: একই চাপ ADC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ (বৃত্তস্থ )
[একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ,
ধাপ ২ : আবার, একই চাপ ABC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ (বৃত্তস্থ )
[একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ কোণ
প্রবৃদ্ধ কোণ
কিন্তু প্রবৃদ্ধ কোণ সমকোণ
সমকোণ
সমকোণ।
একইভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, সমকোণ
সমকোণ
এবং সমকোণ। (প্রমাণিত)
প্রমাণ : ধাপ ১: একই চাপ ADC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ (বৃত্তস্থ )
[একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ,
ধাপ ২ : আবার, একই চাপ ABC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ (বৃত্তস্থ )
[একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ কোণ
প্রবৃদ্ধ কোণ
কিন্তু প্রবৃদ্ধ কোণ সমকোণ
সমকোণ
সমকোণ।
একইভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, সমকোণ
সমকোণ
এবং সমকোণ। (প্রমাণিত)উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে B ও D বিন্দুতে PB ও PD দুইটি স্পর্শক। প্রমাণ করতে হবে যে, PB = PD.
অঙ্কন: O, P; O, B এবং O, D যোগ করি।
প্রমাণ :ধাপ-১ : যেহেতু PB স্পর্শক এবং OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। সেহেতু PB ⟂ OB । [ ∵ স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব] সমকোণ।অনুরূপভাবে, সমকোণ এবং উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।ধাপ-২ : এখন, ও সমকোণী ত্রিভুজে,অতিভুজ OP = অতিভুজ OP [সাধারণ বাহু]OB = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]সুতরাং, PB = PD. (প্রমাণিত)
