Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, CO রেখাংশ স্পর্শ জ্যা DE এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক।

উত্তর: মনে করি, [গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে বৃত্তে CD ও CE দুইটি স্পর্শক। D, E এবং O, C যোগ করি। DE হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। CO রেখাংশ DE জ্যাকে T বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, CO রেখাংশ DE স্পর্শ জ্যা-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ : ধাপ-১ : [গণিত] এবং [গণিত] এর মধ্যে [গণিত] একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] CD = CE [বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান] এবং [গণিত] [সাধারণ বাহু] [গণিত] [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] ধাপ-২ : এখন, [গণিত] ও [গণিত] -এ, [গণিত] [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] [গণিত] [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত [গণিত] অন্তর্ভুক্ত [গণিত] [ধাপ (১) হতে] [গণিত] [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] [গণিত] এবং [গণিত] ধাপ-৩ : এখন, [গণিত] সমকোণ [সরণকোণ বলে] বা, [গণিত] সমকোণ বা, [গণিত] সমকোণ [ধাপ (২) হতে] বা, [গণিত] সমকোণ [গণিত] সমকোণ [গণিত] সমকোণ [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] আবার, [গণিত] কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অতএব, [গণিত] রেখাংশ স্পর্শ জ্যা DE এর লম্বদ্বিখন্ডক (প্রমাণিত)

SSC সাধারণ গণিত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · সাধারণ গণিত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, CO রেখাংশ স্পর্শ জ্যা DE এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক।

উদ্দীপক

DEF বৃত্তের কেন্দ্র O এবং CD ও CE রশ্মিদ্বয় বৃত্তের দুইটি স্পর্শক।

Rajshahi · 2025

উত্তর

question image মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC একটি বৃত্ত। AB ব্যাস এবং CD ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, AB>CD\mathrm{AB}>\mathrm{CD}. অঙ্কন: O, C এবং O, D যোগ করি। প্রমাণ : OA=OB=OC=OD\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD} [একই বৃত্তের ব্যাসাধ] এখন, △OCD\triangle \mathrm{OCD}-এ, OC+OD>CD\mathrm{OC}+\mathrm{OD}>\mathrm{CD} [: ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমস্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর] বা, OA+OB>CD[∵OA=OB=OC=OD]O A+O B>C D[\because O A=O B=O C=O D] ∴\therefore AB >> CD, (প্রমাণিত)

উত্তর

question image মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট DEF বৃত্তে DE চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠DOE\angle \mathrm{DOE} এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠DFE\angle \mathrm{DFE}. প্রমাণ করতে হবে যে, ∠DOE=2∠DFE\angle \mathrm{DOE}=2 \angle \mathrm{DFE} অঞ্চন : FF বিন্দু দিয়ে OO কেন্দ্রগামী রেখাশে FP আঁকি। প্রমাণ : ধাপ-১ : △FOD\triangle \mathrm{FOD}-এর বহিঃস্থ ∠DOP=∠DFO+∠FDO\angle \mathrm{DOP}=\angle \mathrm{DFO}+\angle \mathrm{FDO} [: ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণঘয়ের সমষ্টির সমান] ধাপ-২ : △FOD−এ,OF=OD[∵\triangle \mathrm{FOD}-এ, \mathrm{OF}=\mathrm{OD}[\because একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] ∴∠FDO=∠DFO[∵\therefore \angle \mathrm{FDO}=\angle \mathrm{DFO}[\because সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি সমান] ধাপ-৩ : ধাপ (১) ও (২) থেকে পাই, ∠DOP=∠DFO+∠DFO\angle \mathrm{DOP}=\angle \mathrm{DFO}+\angle \mathrm{DFO} বা, ∠DOP=2∠DFO\angle \mathrm{DOP}=2 \angle \mathrm{DFO} ধাপ-৪ : একইভাবে, △FOE\triangle \mathrm{FOE} থেকে পাই, ∠EOP=2∠EFO\angle \mathrm{EOP}=2 \angle \mathrm{EFO} ধাপ-৫ : ধাপ (৩) ও (৪) থেকে পাই, ∠DOP+∠EOP=2∠DFO+2∠EFO\angle \mathrm{DOP}+\angle \mathrm{EOP}=2 \angle \mathrm{DFO}+2 \angle \mathrm{EFO} [যোগ করে] বা, ∠DOE=2(∠DFO+∠EFO)\angle \mathrm{DOE}=2(\angle \mathrm{DFO}+\angle \mathrm{EFO}) ∴∠DOE=2∠DFE\therefore \quad \angle \mathrm{DOE}=2 \angle \mathrm{DFE}. (প্রমাণিত)

উত্তর

মনে করি, O\quad O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে বৃত্তে CD ও CE দুইটি স্পর্শক। D, E এবং O, C যোগ করি। DE হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। CO রেখাংশ DE জ্যাকে T বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, CO রেখাংশ DE স্পর্শ জ্যা-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ : ধাপ-১ : △ODC\triangle \mathrm{ODC} এবং △OEC\triangle \mathrm{OEC} এর মধ্যে OD=OE[∵\mathrm{OD}=\mathrm{OE}[\because একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] CD = CE [বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান] এবং OC=OC\mathrm{OC}=\mathrm{OC} [সাধারণ বাহু] ∴△ODC≅△OEC\therefore \quad \triangle \mathrm{ODC} \cong \triangle \mathrm{OEC} [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] ∴∠DOC=∠EOC\therefore \quad \angle \mathrm{DOC}=\angle \mathrm{EOC} অর্থাৎ, \angle \mathrm{\dot}=\angle \mathrm{EOT} ধাপ-২ : এখন, △ODT\triangle \mathrm{ODT} ও △OET\triangle \mathrm{OET}-এ, OD=OE\mathrm{OD}=\mathrm{OE} [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] OT=OTOT= OT [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত \angle \mathrm{\dot}= অন্তর্ভুক্ত ∠EOT\angle \mathrm{EOT} [ধাপ (১) হতে] ∴ΔODT≅△OET\therefore \Delta \mathrm{ODT} \cong \triangle \mathrm{OET} [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] DT=ET\mathrm{DT}=\mathrm{ET} এবং ∠DTO=∠ETO\angle \mathrm{DTO}=\angle \mathrm{ETO} ধাপ-৩ : এখন, ∠DTE=2\angle \mathrm{DTE}=2 সমকোণ [সরণকোণ বলে] বা, ∠DTO+∠ETO=2\angle \mathrm{DTO}+\angle \mathrm{ETO}=2 সমকোণ বা, ∠DTO+∠DTO=2\angle \mathrm{DTO}+\angle \mathrm{DTO}=2 সমকোণ [ধাপ (২) হতে] বা, 2∠DTO=22 \angle \mathrm{DTO}=2 সমকোণ ∴∠DTO=1\therefore \quad \angle \mathrm{DTO}=1 সমকোণ ∴∠ETO=∠DTO=1\therefore \quad \angle \mathrm{ETO}=\angle \mathrm{DTO}=1 সমকোণ ∴OT⊥DE\therefore \quad \mathrm{OT} \perp \mathrm{DE} অর্থাৎ, OC⊥DE\mathrm{OC} \perp \mathrm{DE} আবার, DT=ETDT = ET ∴OC,DE\therefore \quad \mathrm{OC}, \mathrm{DE} কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অতএব, OCOC রেখাংশ স্পর্শ জ্যা DE এর লম্বদ্বিখন্ডক (প্রমাণিত)
SSCসাধারণ গণিত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.x4×x14\sqrt[4]{x} \times x^{\frac{1}{4}} এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2016

  • ক
    x\sqrt{x}
  • খ
    xx
  • গ
    x14\mathrm{x}^{\frac{1}{4}}
  • ঘ
    x3\sqrt[3]{x}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. এবং 5 সে.মি. হলে — i. পরিসীমা = 12 সে.মি. ii. অর্ধ-পরিসীমা =6=6 সে.মি. iii. ক্ষেত্রফল =6=6 বর্গ সে.মি. নিচের কোনটি সঠিক?

Dinajpur · 2016

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.x2=2x\mathrm{x}^2=\sqrt{2} \mathrm{x} সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি?

Dinajpur · 2016

  • ক
    {0}\{0\}
  • খ
    {0,2}\{0, \sqrt{2}\}
  • গ
    {2}\{\sqrt{2}\}
  • ঘ
    ∅\varnothing

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.একটি বৃত্তের কতটি ঘূর্ণায়মান প্রতিসাম্য থাকে?

Dinajpur · 2016

  • ক
    2
  • খ
    4
  • গ
    ৪
  • ঘ
    অসংখ্য

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.শুধু পরিসীমা দেওয়া থাকলে নিচের কোনটি আঁকা সম্ভব?

Dinajpur · 2016

  • ক
    রম্বস
  • খ
    ট্রাপিজিয়াম
  • গ
    বর্গ
  • ঘ
    আয়তক্ষেত্র

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.নিচের কোন সমীকরণটির জন্য নিচের ছকটি সত্য? question image

Dinajpur · 2016

  • ক
    2x−y=32 x-y=3
  • খ
    2x+y=32 x+y=3
  • গ
    4x−3y=64 x-3 y=6
  • ঘ
    4x+3y=64 x+3 y=6

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.যদি log⁡x400=4\log_x 400=4 হয়, ভিত্তি কোনটি?

Dinajpur · 2016

  • ক
    252 \sqrt{5}
  • খ
    353 \sqrt{5}
  • গ
    −25-2 \sqrt{5}
  • ঘ
    ±25\pm 2 \sqrt{5}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.question image চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূমির ব্যাসার্ধ একক এবং উচ্চতা h একক। উপরের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাওঃ Q. সিলিন্ডারটির সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

Dinajpur · 2016

  • ক
    πr2\pi r^2
  • খ
    2πrh2 \pi \mathrm{rh}
  • গ
    πr(r+h)\pi \mathrm{r}(\mathrm{r}+\mathrm{h})
  • ঘ
    2πr(r+h)2 \pi r(r+h)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.question image চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূমির ব্যাসার্ধ একক এবং উচ্চতা h একক। উপরের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাওঃ Q. সিলিন্ডারটির কয়টি পৃষ্ঠতল আছে?

Dinajpur · 2016

  • ক
    1
  • খ
    2
  • গ
    3
  • ঘ
    4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?

Dinajpur · 2016

  • ক
    1
  • খ
    2
  • গ
    3
  • ঘ
    4

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.কোনটি সরল কোণ?

Dinajpur · 2016

  • ক
    0°
  • খ
    90°
  • গ
    120°
  • ঘ
    180°

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ΔABC\Delta \mathrm{ABC} এর উচ্চতা ও ভূমির অনুপাত কোনটি? question image

Dinajpur · 2016

  • ক
    25\frac{2}{5}
  • খ
    12\frac{1}{2}
  • গ
    45\frac{4}{5}
  • ঘ
    54\frac{5}{4}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর মান কোনটি?একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. এবং 5 সে.মি. হলে — [গণিত] সমীকরণের সমাধান সেট কোনটি?একটি বৃত্তের কতটি ঘূর্ণায়মান প্রতিসাম্য থাকে?শুধু পরিসীমা দেওয়া থাকলে নিচের কোনটি আঁকা সম্ভব?নিচের কোন সমীকরণটির জন্য নিচের ছকটি সত্য? [চিত্র]যদি [গণিত] হয়, ভিত্তি কোনটি?[চিত্র] চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূ[চিত্র] চিত্রটি লক্ষ্য কর। ABCD একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার। O ভূমির কেন্দ্র, ভূবৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?কোনটি সরল কোণ?[গণিত] এর উচ্চতা ও ভূমির অনুপাত কোনটি? [চিত্র]

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন