Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

(ii)নং হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] আমরা জানি, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] [মান বসিয়ে] [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] [প্রমাণিত]

SSC সাধারণ গণিত Chapter 3 : বীজগাণিতিক রাশি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · সাধারণ গণিত · Chapter 3 : বীজগাণিতিক রাশি · সৃজনশীল

(ii)নং হতে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

(i) y4=527−1y4\mathrm{y}^4 = 527 - \frac{1}{\mathrm{y}^4}, যেখানে y>0\mathrm{y} > 0 (ii) a+1a=4\mathrm{a} + \frac{1}{\mathrm{a}} = 4, যেখানে a>0\mathrm{a} > 0

Barisal · 2020

উত্তর

প্রদত্ত রাশি =x4−38x2+1= \mathrm{x}^4 - 38\mathrm{x}^2 + 1 =(x2)2−2⋅x2⋅1+(1)2−36x2= (\mathrm{x}^2)^2 - 2 \cdot \mathrm{x}^2 \cdot 1 + (1)^2 - 36\mathrm{x}^2 =(x2−1)2−(6x)2= (\mathrm{x}^2 - 1)^2 - (6\mathrm{x})^2 [∵a2+2ab+b2=(a+b)2][\because \mathrm{a}^2 + 2\mathrm{ab} + \mathrm{b}^2 = (\mathrm{a}+\mathrm{b})^2] =(x2−1−6x)(x2−1+6x)= (\mathrm{x}^2 - 1 - 6\mathrm{x})(\mathrm{x}^2 - 1 + 6\mathrm{x}) [∵a2−b2=(a+b)(a−b)][\because \mathrm{a}^2 - \mathrm{b}^2 = (\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{a}-\mathrm{b})] =(x2−6x−1)(x2+6x−1)= (\mathrm{x}^2 - 6\mathrm{x} - 1)(\mathrm{x}^2 + 6\mathrm{x} - 1) [Ans.]

উত্তর

দেওয়া আছে, y4=527−1y4\mathrm{y}^4 = 527 - \frac{1}{\mathrm{y}^4}; যেখানে, y>0\mathrm{y} > 0 বা, y4+1y4=527\mathrm{y}^4 + \frac{1}{\mathrm{y}^4} = 527 বা, (y2)2+(1y2)2=527(\mathrm{y}^2)^2 + \left(\frac{1}{\mathrm{y}^2}\right)^2 = 527 বা, (y2+1y2)2−2⋅y2⋅1y2=527\left(\mathrm{y}^2 + \frac{1}{\mathrm{y}^2}\right)^2 - 2 \cdot \mathrm{y}^2 \cdot \frac{1}{\mathrm{y}^2} = 527 [∵a2+b2=(a+b)2−2ab][\because \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 = (\mathrm{a}+\mathrm{b})^2 - 2\mathrm{ab}] বা, (y2+1y2)2−2=527\left(\mathrm{y}^2 + \frac{1}{\mathrm{y}^2}\right)^2 - 2 = 527 বা, (y2+1y2)2=527+2\left(\mathrm{y}^2 + \frac{1}{\mathrm{y}^2}\right)^2 = 527 + 2 বা, (y2+1y2)2=529\left(\mathrm{y}^2 + \frac{1}{\mathrm{y}^2}\right)^2 = 529 বা, (y2+1y2)2=(23)2\left(\mathrm{y}^2 + \frac{1}{\mathrm{y}^2}\right)^2 = (23)^2 বা, y2+1y2=23\mathrm{y}^2 + \frac{1}{\mathrm{y}^2} = 23 [উভয়পক্ষে বর্গমূল করে] বা, (y+1y)2−2⋅y⋅1y=23\left(\mathrm{y} + \frac{1}{\mathrm{y}}\right)^2 - 2 \cdot \mathrm{y} \cdot \frac{1}{\mathrm{y}} = 23 [∵a2+b2=(a+b)2−2ab][\because \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 = (\mathrm{a}+\mathrm{b})^2 - 2\mathrm{ab}] বা, (y+1y)2=23+2\left(\mathrm{y} + \frac{1}{\mathrm{y}}\right)^2 = 23 + 2 বা, (y+1y)2=25\left(\mathrm{y} + \frac{1}{\mathrm{y}}\right)^2 = 25 বা, (y+1y)2=(5)2\left(\mathrm{y} + \frac{1}{\mathrm{y}}\right)^2 = (5)^2 বা, y+1y=5\mathrm{y} + \frac{1}{\mathrm{y}} = 5 [উভয়পক্ষে বর্গমূল করে] ∴y+1y=5\therefore \mathrm{y} + \frac{1}{\mathrm{y}} = 5 বামপক্ষ =y3+1y3= \mathrm{y}^3 + \frac{1}{\mathrm{y}^3} =(y+1y)3−3⋅y⋅1y(y+1y)= \left(\mathrm{y} + \frac{1}{\mathrm{y}}\right)^3 - 3 \cdot \mathrm{y} \cdot \frac{1}{\mathrm{y}}\left(\mathrm{y} + \frac{1}{\mathrm{y}}\right) [∵a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)][\because \mathrm{a}^3 + \mathrm{b}^3 = (\mathrm{a}+\mathrm{b})^3 - 3\mathrm{ab}(\mathrm{a}+\mathrm{b})] =(5)3−3×5= (5)^3 - 3 \times 5 [মান বসিয়ে] =125−15= 125 - 15 =110== 110 = ডানপক্ষ ∴y3+1y3=110\therefore \mathrm{y}^3 + \frac{1}{\mathrm{y}^3} = 110 [দেখানো হলো]

উত্তর

দেওয়া আছে, a+1a=4\mathrm{a} + \frac{1}{\mathrm{a}} = 4, যেখানে a>0\mathrm{a} > 0 আমরা জানি, (a−1a)2=(a+1a)2−4⋅a⋅1a\left(\mathrm{a} - \frac{1}{\mathrm{a}}\right)^2 = \left(\mathrm{a} + \frac{1}{\mathrm{a}}\right)^2 - 4 \cdot \mathrm{a} \cdot \frac{1}{\mathrm{a}} =(4)2−4= (4)^2 - 4 =16−4=12= 16 - 4 = 12 ∴a−1a=12=4×3=23\therefore \mathrm{a} - \frac{1}{\mathrm{a}} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} ∴\therefore বামপক্ষ =a8−1a4= \frac{\mathrm{a}^8 - 1}{\mathrm{a}^4} =a8a4−1a4= \frac{\mathrm{a}^8}{\mathrm{a}^4} - \frac{1}{\mathrm{a}^4} =a4−1a4= \mathrm{a}^4 - \frac{1}{\mathrm{a}^4} =(a2)2−(1a2)2= (\mathrm{a}^2)^2 - \left(\frac{1}{\mathrm{a}^2}\right)^2 =(a2+1a2)(a2−1a2)= \left(\mathrm{a}^2 + \frac{1}{\mathrm{a}^2}\right)\left(\mathrm{a}^2 - \frac{1}{\mathrm{a}^2}\right) [∵a2−b2=(a+b)(a−b)][\because \mathrm{a}^2 - \mathrm{b}^2 = (\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{a}-\mathrm{b})] ={(a+1a)2−2a⋅1a}{(a+1a)(a−1a)}= \left\{\left(\mathrm{a} + \frac{1}{\mathrm{a}}\right)^2 - 2\mathrm{a} \cdot \frac{1}{\mathrm{a}}\right\} \left\{\left(\mathrm{a} + \frac{1}{\mathrm{a}}\right)\left(\mathrm{a} - \frac{1}{\mathrm{a}}\right)\right\} ={(4)2−2}(4×23)= \{(4)^2 - 2\} (4 \times 2\sqrt{3}) [মান বসিয়ে] =(16−2)×83= (16 - 2) \times 8\sqrt{3} =14×83= 14 \times 8\sqrt{3} =1123== 112\sqrt{3} = ডানপক্ষ ∴a8−1a4=1123\therefore \frac{\mathrm{a}^8 - 1}{\mathrm{a}^4} = 112\sqrt{3} [প্রমাণিত]
SSCসাধারণ গণিতChapter 3 : বীজগাণিতিক রাশি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.মিষ্টির উপর মূল্য সংযোজন কর (VAT) x\mathrm{x}%। একজন বিক্রেতা ভ্যাটসহ P\mathrm{P} টাকার মিষ্টি বিক্রয় করলে তাকে কত ভ্যাট দিতে হবে? x=15\mathrm{x} = 15, P=2300\mathrm{P} = 2300 হলে, ভ্যাটের পরিমাণ কত?

মিষ্টির উপর মূল্য সংযোজন কর (VAT) x\mathrm{x}%। একজন বিক্রেতা ভ্যাটসহ P\mathrm{P} টাকার মিষ্টি বিক্রয় করলে তাকে কত ভ্যাট দিতে হবে? x=15\mathrm{x} = 15, P=2300\mathrm{P} = 2300 হলে, ভ্যাটের পরিমাণ কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.৫% হার মুনাফায় ৮০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য নির্ণয় করো।

৫% হার মুনাফায় ৮০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হার সরল মুনাফায় কত টাকা ১৩ বছরের সবৃদ্ধিমূল ৯৯০ টাকা হবে?

শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হার সরল মুনাফায় কত টাকা ১৩ বছরের সবৃদ্ধিমূল ৯৯০ টাকা হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.কোনো আসল ৩ বছরের সরল মুনাফাসহ ৪৬০ টাকা এবং ৫ বছরের সরল মুনাফাসহ ৬০০ টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?

কোনো আসল ৩ বছরের সরল মুনাফাসহ ৪৬০ টাকা এবং ৫ বছরের সরল মুনাফাসহ ৬০০ টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.৪% হার মুনাফায় কোনো টাকার ২ বছরের মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য ১ টাকা হলে, মূলধন কত?

৪% হার মুনাফায় কোনো টাকার ২ বছরের মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য ১ টাকা হলে, মূলধন কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.মুনাফার একই হারে ৩০০ টাকার ৪ বছরের সরল মুনাফা ও ৪০০ টাকার ৫ বছরের সরল মুনাফা একত্রে ১২৮ টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?

মুনাফার একই হারে ৩০০ টাকার ৪ বছরের সরল মুনাফা ও ৪০০ টাকার ৫ বছরের সরল মুনাফা একত্রে ১২৮ টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.একটি খাতা ৩৬ টাকায় বিক্রয় করায় যত ক্ষতি হলো, ৭২ টাকায় বিক্রয় করলে তার দ্বিগুণ লাভ হতো। খাতাটির ক্রয়মূল্য কত?

একটি খাতা ৩৬ টাকায় বিক্রয় করায় যত ক্ষতি হলো, ৭২ টাকায় বিক্রয় করলে তার দ্বিগুণ লাভ হতো। খাতাটির ক্রয়মূল্য কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.একটি কলম ১১ টাকায় বিক্রয় করলে ১০% লাভ হয়। কলমটির ক্রয়মূল্য কত?

একটি কলম ১১ টাকায় বিক্রয় করলে ১০% লাভ হয়। কলমটির ক্রয়মূল্য কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.একটি দ্রব্য x\mathrm{x}% ক্ষতিতে বিক্রয় করলে যে মূল্য পাওয়া যায়, 3x3\mathrm{x}% লাভে বিক্রয় করলে তার চেয়ে 18x18\mathrm{x} টাকা বেশি পাওয়া যায়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত ছিল?

একটি দ্রব্য x\mathrm{x}% ক্ষতিতে বিক্রয় করলে যে মূল্য পাওয়া যায়, 3x3\mathrm{x}% লাভে বিক্রয় করলে তার চেয়ে 18x18\mathrm{x} টাকা বেশি পাওয়া যায়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত ছিল?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.ক, খ ও গ এর মধ্যে ২৬০ টাকা এরূপে ভাগ করে দাও যেন ক এর অংশের ২ গুণ, খ এর অংশের ৩ গুণ এবং গ এর অংশের ৪ গুণ পরস্পর সমান হয়।

ক, খ ও গ এর মধ্যে ২৬০ টাকা এরূপে ভাগ করে দাও যেন ক এর অংশের ২ গুণ, খ এর অংশের ৩ গুণ এবং গ এর অংশের ৪ গুণ পরস্পর সমান হয়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.একটি নল দ্বারা ১২ মিনিটে একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়। অপর একটি নল দ্বারা ১ মিনিটে তা থেকে ১৫ লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসাথে খুলে দেওয়া হয় এবং চৌবাচ্চাটি ৪৮ মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?

একটি নল দ্বারা ১২ মিনিটে একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়। অপর একটি নল দ্বারা ১ মিনিটে তা থেকে ১৫ লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসাথে খুলে দেওয়া হয় এবং চৌবাচ্চাটি ৪৮ মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.একটি চৌবাচ্চার দুইটি নল সংযুক্ত আছে। প্রথম নল দ্বারা চৌবাচ্চাটি t1\mathrm{t}_1 মিনিটে পূর্ণ হয় এবং দ্বিতীয় নল দ্বারা t2\mathrm{t}_2 মিনিটে খালি হয়। নল দুইটি একসাথে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে? (এখানে t2>t1\mathrm{t}_2 > \mathrm{t}_1)

একটি চৌবাচ্চার দুইটি নল সংযুক্ত আছে। প্রথম নল দ্বারা চৌবাচ্চাটি t1\mathrm{t}_1 মিনিটে পূর্ণ হয় এবং দ্বিতীয় নল দ্বারা t2\mathrm{t}_2 মিনিটে খালি হয়। নল দুইটি একসাথে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে? (এখানে t2>t1\mathrm{t}_2 > \mathrm{t}_1)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

মিষ্টির উপর মূল্য সংযোজন কর (VAT) [গণিত] %। একজন বিক্রেতা ভ্যাটসহ [গণিত] টাকার ম৫% হার মুনাফায় ৮০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য নির্শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হার সরল মুনাফায় কত টাকা ১৩ বছরের সবৃদ্ধিমূল ৯৯০ টাকা হবে?কোনো আসল ৩ বছরের সরল মুনাফাসহ ৪৬০ টাকা এবং ৫ বছরের সরল মুনাফাসহ ৬০০ টাকা হলে, শত৪% হার মুনাফায় কোনো টাকার ২ বছরের মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য ১ টাকা হমুনাফার একই হারে ৩০০ টাকার ৪ বছরের সরল মুনাফা ও ৪০০ টাকার ৫ বছরের সরল মুনাফা একতএকটি খাতা ৩৬ টাকায় বিক্রয় করায় যত ক্ষতি হলো, ৭২ টাকায় বিক্রয় করলে তার দ্বিগএকটি কলম ১১ টাকায় বিক্রয় করলে ১০% লাভ হয়। কলমটির ক্রয়মূল্য কত?একটি দ্রব্য [গণিত] % ক্ষতিতে বিক্রয় করলে যে মূল্য পাওয়া যায়, [গণিত] % লাভে বিক, খ ও গ এর মধ্যে ২৬০ টাকা এরূপে ভাগ করে দাও যেন ক এর অংশের ২ গুণ, খ এর অংশের ৩ একটি নল দ্বারা ১২ মিনিটে একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়। অপর একটি নল দ্বারা ১ মিনিটে তাএকটি চৌবাচ্চার দুইটি নল সংযুক্ত আছে। প্রথম নল দ্বারা চৌবাচ্চাটি [গণিত] মিনিটে পূ

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন