বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু E হতে দু'টি স্পর্শক PE ও ME; প্রমাণ কর যে, PE = ME |
উত্তর: [চিত্র] মনে করি, C কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু E থেকে ঐ বৃত্তের উপর PE ও ME দুইটি স্পর্শক টানা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] . অঙ্কন : C, M; C, P এবং C, E যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ-১ : বৃত্তের P বিন্দুতে PE একটি স্পর্শক এবং CP স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। সুতরাং [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] এক সমকোণ। ধাপ-২ : আবার, বৃত্তের M বিন্দুতে ME একটি স্পর্শক এবং CM স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। সুতরাং [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] এক সমকোণ। ধাপ-৩ : এখন, [গণিত] এবং [গণিত] সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে [গণিত] [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে] এবং অতিভুজ CE উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু। [গণিত] [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা] সুতরাং PE = ME. (প্রমাণিত)
SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল
বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু E হতে দু'টি স্পর্শক PE ও ME; প্রমাণ কর যে, PE…
উদ্দীপক
চিত্রে C বৃত্তের কেন্দ্র।Sylhet · 2023
উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB একটি ব্যাস এবং ∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACB এক সমকোণ।
অঙ্কন: AB এর যে পাশে C বিন্দু অবস্থিত, তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু D নিই।
প্রমাণ :
ধাপ-১ : ADB চাপের উপর দণ্ডায়মান
বৃত্তস্থ (কেন্দ্রস্থ সরল কোণ )
[ ∵ একই চাপের ওপর দড্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]
ধাপ-২ : কিন্তু সরলকোণ দুই সমকোণ।
(দুই সমকোণ) = এক সমকোণ। (প্রমাণিত)উত্তর
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, C কেন্দ্রবিশিষ্ট PQMN বৃত্তের PQ ও MN দুইটি সমান জ্যা। C থেকে PQ এবং MN জ্যা এর উপর যথাক্রমে AC এবং BC লম্ব। এবং যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে .
প্রমাণ :
ধাপ-১. ও .
সুতরাং, এবং . [কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।]
এবং
ধাপ-২. কিন্তু PQ = MN
ধাপ-৩. এখন এবং সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে [কল্পনা] অতিভুজ CP = অতিভুজ CM [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এবং [ধাপ ২]
[সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
প্রমাণিত)উত্তর
মনে করি, C কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু E থেকে ঐ বৃত্তের উপর PE ও ME দুইটি স্পর্শক টানা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, .
অঙ্কন : C, M; C, P এবং C, E যোগ করি।
প্রমাণ :
ধাপ-১ : বৃত্তের P বিন্দুতে PE একটি স্পর্শক এবং CP স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
সুতরাং অর্থাৎ এক সমকোণ।
ধাপ-২ : আবার, বৃত্তের M বিন্দুতে ME একটি স্পর্শক এবং CM স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
সুতরাং অর্থাৎ এক সমকোণ।
ধাপ-৩ : এখন, এবং সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে] এবং অতিভুজ CE উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু।
[সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা] সুতরাং PE = ME. (প্রমাণিত)
