Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] এবং [গণিত] হয় তবে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন : XYZ বৃত্তের কেন্দ্র O । XY > জ্যা XZ, O থেকে XY ও XZ এর উপরে যথাক্রমে OE ও OF লম্ব। তাহলে OE ও OF কেন্দ্র থেকে যথাক্রমে XY ও XZ জ্যায়ের দূরত্ব নির্দেশ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, XY, XZ অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতর অর্থাৎ [গণিত] X Y> [গণিত] X Z$ বা, YE > FZ বা, [গণিত] [ধাপ-৩ হতে] [গণিত] [(i)] নং হতে] বা, [গণিত] বা, OF > OE ∴ [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল

যদি এবং হয় তবে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

question image চিত্রে, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং জ্যা XY > জ্যা XZ

Jessore · 2023

উত্তর

দেওয়া আছে, XYZ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r=OZ=3 সে.মি. ∴ বৃত্তটির পরিধি =2πr=2 \pi \mathrm{r} সে.মি. =2×3.1416×3=2 \times 3.1416 \times 3 সে.মি. = 18.85 সে.মি. (প্রায়) (Ans.)

উত্তর

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট XYZ বৃত্তে YZ উপচাপের উপর দডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ∠YXZ\angle \mathrm{YXZ} এবং কেন্দ্রস্থ কোণ ∠YOZ\angle \mathrm{YOZ} । প্রমাণ করতে হবে যে, ∠YOZ=2∠YXZ\angle \mathrm{YOZ}=2 \angle \mathrm{YXZ} । question image অঙ্কন : X এবং O কে যোগ করে T পর্যন্ত বর্ধিত করি। প্রমাণ : ধাপ-১ : △XYO\triangle \mathrm{XYO}-এর বহিঃস্থ কোণ ∠YOT=∠OXY+∠OYX\angle \mathrm{YOT}=\angle \mathrm{OXY}+\angle \mathrm{OYX} ধাপ-২ : △XYO\triangle \mathrm{XYO}-এ OX = OY [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] অতএব, ∠OXY=∠OYX\angle \mathrm{OXY}=\angle \mathrm{OYX} [ ∵ ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান] ধাপ-৩ : ধাপ (১) ও (২) থেকে পাই, ∠YOT=2∠OXY\angle \mathrm{YOT}=2 \angle \mathrm{OXY} ধাপ-৪ : একইভাবে △XOZ\triangle \mathrm{XOZ} থেকে পাই, ∠ZOT=2∠ZXO\angle \mathrm{ZOT}=2 \angle \mathrm{ZXO} ধাপ-৫ : ধাপ (৩) ও (৪) থেকে পাই, ∠YOT+∠ZOT=2∠OXY+2∠ZXO\angle \mathrm{YOT}+\angle \mathrm{ZOT}=2 \angle \mathrm{OXY}+2 \angle \mathrm{ZXO} বা, ∠YOZ=2(∠OXY+∠ZXO)\angle \mathrm{YOZ}=2(\angle \mathrm{OXY}+\angle \mathrm{ZXO}) ∴∠YOZ=2∠YXZ\therefore \angle \mathrm{YOZ}=2 \angle \mathrm{YXZ}. (প্রমাণিত)

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন : XYZ বৃত্তের কেন্দ্র O । XY > জ্যা XZ, O থেকে XY ও XZ এর উপরে যথাক্রমে OE ও OF লম্ব। তাহলে OE ও OF কেন্দ্র থেকে যথাক্রমে XY ও XZ জ্যায়ের দূরত্ব নির্দেশ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, XY, XZ অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতর অর্থাৎ OE<OF\mathrm{OE}<\mathrm{OF}. অঙ্কন : OE⊥XY\mathrm{OE} \perp \mathrm{XY} এবং OF⊥XZ\mathrm{OF} \perp \mathrm{XZ} আঁকি। প্রমাণ : ধাপ-১ : যেহেতু OE⊥XY\mathrm{OE} \perp \mathrm{XY} এবং OF⊥XZ\mathrm{OF} \perp \mathrm{XZ} [সমকোণ] সুতরাং OFZ ও OEY সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই, OZ2=OF2+FZ2\mathrm{OZ}^2=\mathrm{OF}^2+\mathrm{FZ}^2 এবং OY2=OE2+YE2\mathrm{OY}^2=\mathrm{OE}^2+\mathrm{YE}^2 ধাপ-২ : যেহেতু, OZ = OY ∴OZ2=OY2\therefore \mathrm{OZ}^2=\mathrm{OY}^2 [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] ∴OF2+FZ2=OE2+YE2\therefore \mathrm{OF}^2+\mathrm{FZ}^2=\mathrm{OE}^2+\mathrm{YE}^2 বা, OF2−OE2=YE2−FZ2\mathrm{OF}^2-\mathrm{OE}^2=\mathrm{YE}^2-\mathrm{FZ}^2…….(i)\ldots\ldots.(i). ধাপ-৩ : এখন, YE=12XY\mathrm{YE}=\frac{1}{2} \mathrm{XY} এবং FZ=12XZ\mathrm{FZ}=\frac{1}{2} \mathrm{XZ}[কেন্দ্র থেকে] ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] ধাপ-৪ : যেহেতু XY > জ্যা XZ, সেহেতু 12XY>12XZ\frac{1}{2} X Y>\frac{1}{2} X Z বা, YE > FZ বা, YE2>FZ2\mathrm{YE}^2>\mathrm{FZ}^2 [ধাপ-৩ হতে] ∴YE2−FZ2>0\therefore \mathrm{YE}^2-\mathrm{FZ}^2>0 ∴OF2−OE2>0\therefore \mathrm{OF}^2-\mathrm{OE}^2>0 [(i)] নং হতে] বা, OF2>OE2\mathrm{OF}^2>\mathrm{OE}^2 বা, OF > OE ∴ OE<OF\mathrm{OE}<\mathrm{OF} (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 8 : বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] হলে, [গণিত] কত?যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।[চিত্র] O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং [গণিত] হলে, [গণিত] কত?10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নচিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে সএকটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন