Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, OP স্পর্শ জ্যা AB এর লম্ব-দ্বিখণ্ডক।

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের কেন্দ্র O এবং P বহিঃস্থ বিন্দু। P হতে অঙ্কিত PA ও PB স্পর্শক বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। O, P এবং A, B যোগ করি। AB স্পর্শ জ্যা। OP, AB কে E বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করতে হবে যে, OP স্পর্শ জ্যা AB এর লম্বদ্বিখণ্ডক। অঙ্কন : O, P যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ-১. [গণিত] এক সমকোণ। [যেহেতু OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ] এবং [গণিত] এক সমকোণ [যেহেতু OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ] ধাপ-২. সমকোণী [গণিত] ও সমকোণী [গণিত] এর মধ্যে [গণিত] একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ্য [গণিত] সুতরাং [গণিত] ধাপ-৩. আবার, [গণিত] এবং [গণিত] এর মধ্যে [গণিত] OE [গণিত] OE [সাধারণ বাহু] [গণিত] এক সমকোণ [গণিত] , অর্থাৎ, [গণিত] অর্থাৎ, OP স্পর্শ জ্যা AB এর লম্বদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, OP স্পর্শ জ্যা AB এর লম্ব-দ্বিখণ্ডক।

উদ্দীপক

question image চিত্রে, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং BD ব্যাস, PA ও PB দুটি স্পর্শক।

Jessore · 2023

উত্তর

দেওয়া আছে, AB = 6 সে.মি. এবং OB = 5 সে.মি. ∴BD=2×OB\therefore \mathrm{BD}=2 \times \mathrm{OB} সে.মি. =2×5=2 \times 5 সে.মি. =10= 10 সে.মি ABCDABCD বৃত্তে ∠BAD\angle \mathrm{BAD} অর্ধবৃত্তক্ষ কোণ হওয়ায় ∠BAD=\angle \mathrm{BAD}= এক সমকোণ সমকোণী ত্রিভুজ △BAD\triangle \mathrm{BAD}-এ, BD2=AB2+AD2\mathrm{BD}^2=\mathrm{AB}^2+\mathrm{AD}^2 বা, (10)2=(6)2+AD2(10)^2=(6)^2+\mathrm{AD}^2 বা, 100=36+AD2100=36+\mathrm{AD}^2 বা, AD2=64A D^2=64 বা, AD=64\mathrm{AD}=\sqrt{64} ∴AD=8\therefore \mathrm{AD}=8 সে.মি. (Ans.)

উত্তর

question image মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ADC+∠ABC=2\angle \mathrm{ADC}+\angle \mathrm{ABC}=2 সমকোণ। অঙ্কন : O, C যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ-১ : একই চাপ ABC এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠AOC=2\angle A O C=2 (বৃত্তস্থ ∠ADC\angle \mathrm{ADC} ) অর্থাৎ, ∠AOC=2∠ADC\angle \mathrm{AOC}=2 \angle \mathrm{ADC} [ ∵ বৃত্তের একই চাপের উপর দডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] ধাপ-২ : আবার একই চাপ ADC এর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC=2(\angle \mathrm{AOC}=2( বৃত্তস্থ ∠ABC)\angle \mathrm{ABC}) অর্থাৎ, ∠AOC=2∠ABC\angle \mathrm{AOC}=2 \angle \mathrm{ABC} এখন, ∠AOC+∠AOC=2(∠ADC+∠ABC)\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOC}=2(\angle \mathrm{ADC}+\angle \mathrm{ABC}) কিন্তু, ∠AOC+∠AOC=4\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOC}=4 সমকোণ বা, 2(∠ADC+∠ABC)=42(\angle \mathrm{ADC}+\angle \mathrm{ABC})=4 সমকোণ ∴∠ADC+∠ABC=2\therefore \angle \mathrm{ADC}+\angle \mathrm{ABC}=2 সমকোণ (প্রমাণিত)

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের কেন্দ্র O এবং P বহিঃস্থ বিন্দু। P হতে অঙ্কিত PA ও PB স্পর্শক বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। O, P এবং A, B যোগ করি। AB স্পর্শ জ্যা। OP, AB কে E বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করতে হবে যে, OP স্পর্শ জ্যা AB এর লম্বদ্বিখণ্ডক। অঙ্কন : O, P যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ-১. ∠PAO=\angle \mathrm{PAO}= এক সমকোণ। [যেহেতু OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ] এবং ∠PBO=\angle \mathrm{PBO}= এক সমকোণ [যেহেতু OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ] ধাপ-২. সমকোণী △PAO\triangle \mathrm{PAO} ও সমকোণী △PBO\triangle \mathrm{PBO} এর মধ্যে PA=PB\mathrm{PA}=\mathrm{PB} OA=OB[∵\mathrm{OA}=\mathrm{OB}[\because একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ্য ]] ∴△PAO≅△PBO\therefore \triangle \mathrm{PAO} \cong \triangle \mathrm{PBO} সুতরাং ∠POA=∠POB\angle \mathrm{POA}=\angle \mathrm{POB} ধাপ-৩. আবার, △AOE\triangle \mathrm{AOE} এবং △BOE\triangle \mathrm{BOE} এর মধ্যে OA=OB\mathrm{OA}=\mathrm{OB} OE == OE [সাধারণ বাহু] ∠AOE=∠BOE\angle \mathrm{AOE}=\angle \mathrm{BOE} ∴△AOE≅△BOE\therefore \triangle \mathrm{AOE} \cong \triangle \mathrm{BOE} ∴AE=BE,∠AEO=∠BEO=\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{BE}, \angle \mathrm{AEO}=\angle \mathrm{BEO}= এক সমকোণ ∴OE⊥AB\therefore \mathrm{OE} \perp \mathrm{AB}, অর্থাৎ, OP⊥AB\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB} অর্থাৎ, OP স্পর্শ জ্যা AB এর লম্বদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 8 : বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] হলে, [গণিত] কত?যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।[চিত্র] O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং [গণিত] হলে, [গণিত] কত?10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নচিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে সএকটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন