প্রমাণ কর যে, [গণিত] .
উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো বৃত্তে MNTS একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। এর MT ও NS কর্ণদ্বয় পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] প্রমাণ : ধাপ-১. MN চাপের উপর অবস্থিত [গণিত] [বৃত্তের একই চাপের উপর দডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] ধাপ-২. TS চাপের উপর অবস্থিত [গণিত] [একই কারণে] ধাপ-৩. [গণিত] ধাপ (১) ও (২) হতে [গণিত] ধাপ-৪. [গণিত] এর বহিঃস্থ [গণিত] অন্তঃস্থ [গণিত] ) [ধাপ (৩) হতে] [গণিত] (প্রমাণিত)
SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে, .
উদ্দীপক
(i) O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু R থেকে ঐ বৃত্তে RL ও RK দুইটি স্পর্শক।
(ii) O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তে MNTS একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। MT ও NS কর্ণদ্বয় পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে।
Barisal · 2023
উত্তর
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB একটি ব্যাস এবং একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, এক সমকোণ।
অঙ্কন : AB এর যে পাশে C বিন্দু অবস্থিত, তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু D নিই।
প্রমাণ :
ধাপ-১ : ADB চাপের উপর দণ্ডায়মান
বৃত্তস্থ (কেন্দ্রস্থ সরল কোণ )
[ ∵ একই চাপের ওপর দডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]
ধাপ-২ : কিন্তু সরলকোণ দুই সমকোণ।
(দুই সমকোণ) = এক সমকোণ। (প্রমাণিত)
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB একটি ব্যাস এবং একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, এক সমকোণ।
অঙ্কন : AB এর যে পাশে C বিন্দু অবস্থিত, তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু D নিই।
প্রমাণ :
ধাপ-১ : ADB চাপের উপর দণ্ডায়মান
বৃত্তস্থ (কেন্দ্রস্থ সরল কোণ )
[ ∵ একই চাপের ওপর দডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]
ধাপ-২ : কিন্তু সরলকোণ দুই সমকোণ।
(দুই সমকোণ) = এক সমকোণ। (প্রমাণিত)উত্তর
বিশেষ নির্বচন : O কেন্দ্রবিশিষ্ট LKM বৃত্তের R একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং RL ও RK রশ্মিদ্বয় বৃত্তের L ও K বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক। প্রমাণ করতে হবে যে, .
অঙ্কন : O, L; O, K এবং O, R যোগ করি।
প্রমাণ :
ধাপ-১: যেহেতু RL স্পর্শক এবং OL স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। সেহেতু RL ⟂ OL [ ∵ স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব] এক সমকোণ।
অনুরূপভাবে, এক সমকোণ।
এবং উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।
ধাপ-২ : এখন, RLO ও RKO সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ে
অতিভুজ RO = অতিভুজ RO
এবং [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
[সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]
(প্রমাণিত)উত্তর
বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো বৃত্তে MNTS একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। এর MT ও NS কর্ণদ্বয় পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে,
প্রমাণ :
ধাপ-১. MN চাপের উপর অবস্থিত
[বৃত্তের একই চাপের উপর দডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
ধাপ-২. TS চাপের উপর অবস্থিত
[একই কারণে]
ধাপ-৩.
ধাপ (১) ও (২) হতে
ধাপ-৪. এর বহিঃস্থ অন্তঃস্থ ) [ধাপ (৩) হতে]
(প্রমাণিত)
