(i) হতে প্রমাণ করো যে, QM = RM এবং OM ⊥ QR.
উত্তর: [চিত্র] মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PQ এবং PR দুইটি স্পর্শক। Q, R এবং O, P যোগ করি। OP রেখাংশ QR স্পর্শ জ্যাকে M বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, QM = RM এবং OM ⊥ QR। অঙ্কন: O, Q এবং O, R যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ-১: ∆OQP এবং ∆ORP এর মধ্যে OQ = OR [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] PQ = PR [বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর সমান] এবং OP = OP [সাধারণ বাহু] [গণিত] ∆OQP ≅ ∆ORP [বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] [গণিত] ∠QOP = ∠ROP অর্থাৎ ∠QOM = ∠ROM ধাপ-২: ∆MOQ ও ∆MOR-এ, OQ = OR [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] OM = OM [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত ∠QOM = অন্তর্ভুক্ত ∠ROM [ধাপ (১) হতে] [গণিত] ∆MOQ ≅ ∆MOR [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] [গণিত] MR = MQ এবং ∠OMQ = ∠OMR কিন্তু এরা রৈখিক যুগল কোণ হওয়ায় প্রত্যেকেই সমকোণ। [গণিত] ∠OMQ = ∠OMR = 1 সমকোণ [গণিত] OM ⊥ QR অতএব, QM = RM এবং OM ⊥ QR. (প্রমাণিত)
SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল
(i) হতে প্রমাণ করো যে, QM = RM এবং OM ⊥ QR.
উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PQ এবং PR দুইটি স্পর্শক। Q, R এবং O, P যোগ করি। OP রেখাংশ QR স্পর্শ জ্যাকে M বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, QM = RM এবং OM ⊥ QR।
অঙ্কন: O, Q এবং O, R যোগ করি।
প্রমাণ :
ধাপ-১: ∆OQP এবং ∆ORP এর মধ্যে
OQ = OR [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
PQ = PR [বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর সমান]
এবং OP = OP [সাধারণ বাহু]
∆OQP ≅ ∆ORP [বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
∠QOP = ∠ROP
অর্থাৎ ∠QOM = ∠ROM
ধাপ-২: ∆MOQ ও ∆MOR-এ,
OQ = OR [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OM = OM [সাধারণ বাহু]
এবং অন্তর্ভুক্ত ∠QOM = অন্তর্ভুক্ত ∠ROM [ধাপ (১) হতে]
∆MOQ ≅ ∆MOR [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
MR = MQ এবং ∠OMQ = ∠OMR
কিন্তু এরা রৈখিক যুগল কোণ হওয়ায় প্রত্যেকেই সমকোণ।
∠OMQ = ∠OMR = 1 সমকোণ
OM ⊥ QR
অতএব, QM = RM এবং OM ⊥ QR. (প্রমাণিত)
