(ii) হতে প্রমাণ করো যে, D, E, F, G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।
উত্তর: [চিত্র] মনে করি, DEFG চতুর্ভুজে ∠DEF + ∠DGF = 180° প্রমাণ করতে হবে যে, D, E, F ও G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। অঙ্কন: যেহেতু D, E, F বিন্দু তিনটি সমরেখ নয়। সুতরাং, বিন্দু তিনটি দিয়ে যায় এরূপ একটি ও কেবল একটি বৃত্ত আছে। মনে করি, বৃত্তটি DG রেখাংশকে M বিন্দুতে ছেদ করে। F, M যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ ১ : অঙ্কন অনুসারে DEFM বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। সুতরাং ∠DEF + ∠DMF = 180° [ [গণিত] বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা, 180°] ধাপ ২: কিন্তু ∠DEF + ∠DGF = 180°[দেওয়া আছে] [গণিত] ∠DMF = ∠DGF কিন্তু তা অসম্ভব। কারণ ∆FMG এর বহিঃস্থ ∠DMF > বিপরীত অন্তঃস্থ ∠DGF সুতরাং M এবং G বিন্দুদ্বয় ভিন্ন হতে পারে না। M বিন্দু অবশ্যই G বিন্দুর সাথে মিলে যাবে। অতএব D, E, F ও G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)
SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল
(ii) হতে প্রমাণ করো যে, D, E, F, G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।
উদ্দীপক
Dhaka · 2026
উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB একটি ব্যাস এবং ∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACB = এক সমকোণ।
অঙ্কন : AB এর যে পাশে C বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু D নিই।
প্রমাণ:
ধাপ-১: ADB চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ ∠ACB = (কেন্দ্রস্থ সরলকোণ ∠AOB) [ বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]
ধাপ-২ : কিন্তু সরলকোণ ∠AOB = দুই সমকোণ।
∠ACB = (দুই সমকোণ)
∠ACB = এক সমকোণ। (প্রমাণিত)উত্তর
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PQ এবং PR দুইটি স্পর্শক। Q, R এবং O, P যোগ করি। OP রেখাংশ QR স্পর্শ জ্যাকে M বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, QM = RM এবং OM ⊥ QR।
অঙ্কন: O, Q এবং O, R যোগ করি।
প্রমাণ :
ধাপ-১: ∆OQP এবং ∆ORP এর মধ্যে
OQ = OR [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
PQ = PR [বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর সমান]
এবং OP = OP [সাধারণ বাহু]
∆OQP ≅ ∆ORP [বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
∠QOP = ∠ROP
অর্থাৎ ∠QOM = ∠ROM
ধাপ-২: ∆MOQ ও ∆MOR-এ,
OQ = OR [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OM = OM [সাধারণ বাহু]
এবং অন্তর্ভুক্ত ∠QOM = অন্তর্ভুক্ত ∠ROM [ধাপ (১) হতে]
∆MOQ ≅ ∆MOR [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
MR = MQ এবং ∠OMQ = ∠OMR
কিন্তু এরা রৈখিক যুগল কোণ হওয়ায় প্রত্যেকেই সমকোণ।
∠OMQ = ∠OMR = 1 সমকোণ
OM ⊥ QR
অতএব, QM = RM এবং OM ⊥ QR. (প্রমাণিত)উত্তর
মনে করি, DEFG চতুর্ভুজে ∠DEF + ∠DGF = 180°
প্রমাণ করতে হবে যে, D, E, F ও G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।
অঙ্কন: যেহেতু D, E, F বিন্দু তিনটি সমরেখ নয়। সুতরাং, বিন্দু তিনটি দিয়ে যায় এরূপ একটি ও কেবল একটি বৃত্ত আছে। মনে করি, বৃত্তটি DG রেখাংশকে M বিন্দুতে ছেদ করে। F, M যোগ করি।
প্রমাণ:
ধাপ ১ : অঙ্কন অনুসারে DEFM বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
সুতরাং ∠DEF + ∠DMF = 180° [ বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা, 180°]
ধাপ ২: কিন্তু ∠DEF + ∠DGF = 180°[দেওয়া আছে]
∠DMF = ∠DGF
কিন্তু তা অসম্ভব। কারণ ∆FMG এর বহিঃস্থ ∠DMF > বিপরীত অন্তঃস্থ ∠DGF
সুতরাং M এবং G বিন্দুদ্বয় ভিন্ন হতে পারে না। M বিন্দু অবশ্যই G বিন্দুর সাথে মিলে যাবে।
অতএব D, E, F ও G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)
