Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি AB ও CD জ্যাদ্যয় বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ E বিন্দুতে পরস্পর সমকোণে ছেদ করে, তবে প্রমাণ করো যে, [গণিত] দুই সমকোণ।

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQ ও RS ব্যাস ভিন্ন জ্যাদ্বয় বৃত্তের অভ্যন্তরে E বিন্দুতে পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করেছে। O, P; O, Q; O, R ও O, S যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] দুই সমকোণ অঙ্কন : P, R যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ-১ : PS চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠ POS এবং বৃত্তস্থ [গণিত] . [গণিত] [ ∵ বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। ধাপ-২ : QR চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ [গণিত] এবং বৃত্তস্থ [গণিত] . [গণিত] [একই কারণে] ধাপ-৩ : ধাপ (১) ও (২) থেকে পাই, [গণিত] [যোগ করে] [গণিত] ধাপ-৪ : [গণিত] সমকোণ [গণিত] সমকোণ বা, [গণিত] সমকোণ ধাপ-৫ : ধাপ (৩) ও (৪) নং থেকে পাই, [গণিত] সমকোণ [গণিত] সমকোণ। (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল

যদি AB ও CD জ্যাদ্যয় বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ E বিন্দুতে পরস্পর সমকোণে …

উদ্দীপক

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD দুইটি সমান জ্যা এবং কেন্দ্র O হতে AB ও CD জ্যাদ্বয়ের উপর যথাক্রমে OM ও ON লম্ব।

উত্তর

question image মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC একটি বৃত্ত। AB ব্যাস এবং CD ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, AB>CD\mathrm{AB}>\mathrm{CD}. অঙ্কন : O, C এবং O, D যোগ করি। প্রমাণ: OA=OB=OC=OD\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD} [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এখন, △\triangle OCD-এ, OC + OD > CD [ ∵ ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর] বা, OA+OB>CD[∵OA=OB=OC=OD]O A+O B>C D[\because O A=O B=O C=O D] ∴AB>CD\therefore \quad \mathrm{AB}>\mathrm{CD}. (প্রমাণিত)

উত্তর

question image মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD দুইটি সমান জ্যা। AB এবং CD জ্যা এর উপর যথাক্রমে OP এবং OQ লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, OP=OQ. অঙ্কন : O, A এবং O, C যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ ১ : OP⊥AB\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB} ও OQ⊥CD\mathrm{OQ} \perp \mathrm{CD}. সুতরাং AP = BP এবং CQ = DQ. [কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] ∴AP=12AB\therefore \quad \mathrm{AP}=\frac{1}{2} \mathrm{AB} এবং CQ=12CD.\mathrm{CQ}=\frac{1}{2}\mathrm{CD} . ধাপ ২ : কিন্তু AB = CD [কল্পনা] ∴AP=CQ.\therefore \quad \mathrm{AP}=\mathrm{CQ} . ধাপ ৩ : এখন OAP এবং OCQ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে, অতিভুজ OA = অতিভুজ OC [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ][ধাপ ২ হতে] এবং AP=CQ\mathrm{AP}=\mathrm{CQ} ∴△OAP≅△OCQ\therefore \quad \triangle \mathrm{OAP} \cong \triangle \mathrm{OCQ} [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] ∴OP=OQ\therefore \quad \mathrm{OP}=\mathrm{OQ}. (প্রমাণিত)

উত্তর

question image মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQ ও RS ব্যাস ভিন্ন জ্যাদ্বয় বৃত্তের অভ্যন্তরে E বিন্দুতে পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করেছে। O, P; O, Q; O, R ও O, S যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠POS+∠QOR=\angle \mathrm{POS}+ \angle \mathrm{QOR}= দুই সমকোণ অঙ্কন : P, R যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ-১ : PS চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠ POS এবং বৃত্তস্থ ∠PRS\angle \mathrm{PRS}. ∴∠POS=2∠PRS\therefore \quad \angle \mathrm{POS}=2 \angle \mathrm{PRS} [ ∵ বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। ধাপ-২ : QR চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠QOR\angle \mathrm{QOR} এবং বৃত্তস্থ ∠QPR\angle \mathrm{QPR}. ∴∠QOR=2∠QPR\therefore \quad \angle \mathrm{QOR}=2 \angle \mathrm{QPR} [একই কারণে] ধাপ-৩ : ধাপ (১) ও (২) থেকে পাই, ∠POS+∠QOR\angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{QOR} =2∠PRS+2∠QPR=2 \angle \mathrm{PRS}+2 \angle \mathrm{QPR} [যোগ করে] =2(∠PRS+∠QPR)=2(\angle \mathrm{PRS}+\angle \mathrm{QPR})…..(i)\ldots..(i) ধাপ-৪ : △PER−এ,∠PER=1\triangle \mathrm{PER}-এ, \angle \mathrm{PER}=1 সমকোণ ∴∠PRE+∠RPE=1\therefore \quad \angle \mathrm{PRE}+\angle \mathrm{RPE}=1 সমকোণ বা, ∠PRS+∠QPR=1\angle \mathrm{PRS}+\angle \mathrm{QPR}=1 সমকোণ ধাপ-৫ : ধাপ (৩) ও (৪) নং থেকে পাই, ∠POS+∠QOR=2×1\angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{QOR}=2 \times 1 সমকোণ ∴∠POS+∠QOR=2\therefore \quad \angle \mathrm{POS}+\angle \mathrm{QOR}=2 সমকোণ। (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 8 : বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] হলে, [গণিত] কত?যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।[চিত্র] O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং [গণিত] হলে, [গণিত] কত?10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নচিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে সএকটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন