Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি AB = OB হয়, তবে প্রমাণ করো যে, [গণিত] BCD একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

উত্তর: [চিত্র] এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AC ব্যাস এবং B পরিধিস্থ একটি বিন্দু। B ও C বিন্দুতে BD ও CD স্পর্শকদ্বয় পরস্পর D বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং AB = OB। B, C যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, △ BCD একটি সমবাহু ত্রিভুজ। প্রমাণ : ধাপ ১. [গণিত] -এ, [গণিত] [দেওয়া আছে] [গণিত] [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] একটি সমবাহু ত্রিভুজ। [গণিত] [ ∵ সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক কোণ [গণিত] ] ধাপ ২. [গণিত] [এক সরলকোণ] [গণিত] বা, [গণিত] ধাপ ৩. BD ও CD যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে স্পর্শক বলে, OB ও OC স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ [গণিত] এবং [গণিত] এখন, DBOC চতুর্ভুজে, [গণিত] [∵ চতুভূজের চার কোণের সমষ্টি [গণিত] ] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ধাপ ৪. আবার, [গণিত] - এ BD = CD [∵ বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান] [গণিত] ধাপ ৫. এখন, [গণিত] [ ∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি [গণিত] ] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] অতএব, [গণিত] একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল

যদি AB = OB হয়, তবে প্রমাণ করো যে, BCD একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

উদ্দীপক

কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AC ব্যাস এবং B পরিধিস্থ একটি বিন্দু। B ও C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর D বিন্দুতে ছেদ করে।

উত্তর

question image এখানে ০ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AC ব্যাস এবং B পরিধিস্থ একটি বিন্দু। A, B এবং C, B যোগ করি। বৃত্তে AC ব্যাস হওয়ায় ∠ABC একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ সেহেতু ∠ABC=\angle \mathrm{ABC}= এক সমকোণ 90° ∴∠ABC\therefore \angle \mathrm{ABC} এর পরিমাণ 90∘90^{\circ}.

উত্তর

[বি.দ্র.: P এর পরিবর্তে C হবে।] question image মনে করি, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ওপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এরং OP স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। প্রমাণ করতে হবে যে, PT⊥OP\mathrm{PT} \perp \mathrm{OP}. অঙ্কন: PT স্পর্শকের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু Q নিই এবং O, Q যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ ১. যেহেতু বৃত্তের P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক, সুতরাং ঐ । বন্দু ব্যতীত PT এর ওপরস্থ অন্য সকল বিন্দু বৃত্তের বাইরে থাকবে। সুতরাং Q বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত। ধাপ ২. OQ বৃত্তের ব্যাসার্ধ OP এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ, OQ > OP এবং তা স্পর্শ বিন্দু P ব্যতীত PT এর ওপরস্থ Q বিন্দুর সকল অবস্থানের জন্য সত্য । ∴ কেন্দ্র O থেকে PT স্পর্শকের ওপর OP হলো ক্ষুদ্রতম দূরত্ব। সুতরাং PT ⟂ OP. (প্রমাণিত)

উত্তর

question image এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AC ব্যাস এবং B পরিধিস্থ একটি বিন্দু। B ও C বিন্দুতে BD ও CD স্পর্শকদ্বয় পরস্পর D বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং AB = OB। B, C যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, △ BCD একটি সমবাহু ত্রিভুজ। প্রমাণ : ধাপ ১. △OAB\triangle \mathrm{OAB}-এ, AB=OB\mathrm{AB}=\mathrm{OB} [দেওয়া আছে] OA=OB\mathrm{OA}=\mathrm{OB} [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] ∴OA=OB=AB\therefore \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{AB} অর্থাৎ △OAB\triangle \mathrm{OAB} একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ∴∠OAB=∠OBA=∠AOB=60∘\therefore \quad \angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{AOB}=60^{\circ} [ ∵ সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক কোণ 60∘60^{\circ} ] ধাপ ২. ∠AOC=180∘\angle \mathrm{AOC}=180^{\circ} [এক সরলকোণ] ∴∠BOC=180∘−∠AOB\therefore \quad \angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{AOB} বা, ∠BOC=180∘−60∘\angle \mathrm{BOC}=180^{\circ}-60^{\circ} ∴∠BOC=120∘\therefore \quad \angle \mathrm{BOC}=120^{\circ} ধাপ ৩. BD ও CD যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে স্পর্শক বলে, OB ও OC স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ ∴OB⊥BD\therefore \quad \mathrm{OB} \perp \mathrm{BD} এবং OC⊥CD\mathrm{OC} \perp \mathrm{CD} ∴∠DBO=∠DCO=90∘\therefore \angle \mathrm{DBO}=\angle \mathrm{DCO}=90^{\circ} ∴∠DBO+∠DCO=90∘+90∘=180∘\therefore \angle \mathrm{DBO}+\angle \mathrm{DCO}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ} এখন, DBOC চতুর্ভুজে, ∠CDB+∠DBO+∠BOC+∠DCO=360∘\angle \mathrm{CDB}+\angle \mathrm{DBO}+ \angle \mathrm{BOC}+\angle \mathrm{DCO}=360^{\circ} [∵ চতুভূজের চার কোণের সমষ্টি 360∘360^{\circ} ] বা, ∠CDB+90∘+120∘+90∘=360∘\angle \mathrm{CDB}+90^{\circ}+120^{\circ}+90^{\circ}=360^{\circ} বা, ∠CDB=360∘−300∘\angle \mathrm{CDB}=360^{\circ}-300^{\circ} ∴∠CDB=60∘\therefore \quad \angle \mathrm{CDB}=60^{\circ} ধাপ ৪. আবার, △BCD\triangle \mathrm{BCD} - এ BD = CD [∵ বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান] ∴∠DBC=∠DCB\therefore \quad \angle \mathrm{DBC}=\angle \mathrm{DCB} ধাপ ৫. এখন, ∠CDB+∠DBC+∠DCB=180∘\angle \mathrm{CDB}+\angle \mathrm{DBC}+\angle \mathrm{DCB}=180^{\circ} [ ∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180∘180^{\circ} ] বা, 60∘+∠DBC+∠DBC=180∘[∵∠DBC=∠DCB]60^{\circ}+\angle \mathrm{DBC}+\angle \mathrm{DBC}=180^{\circ}[\because \angle \mathrm{DBC}=\angle \mathrm{DCB}] বা, 2∠DBC=180∘−60∘2 \angle \mathrm{DBC}=180^{\circ}-60^{\circ} ∴∠DBC=60∘\therefore \angle \mathrm{DBC}=60^{\circ} ∴∠DCB=∠DBC=60∘\therefore \angle \mathrm{DCB}= \angle \mathrm{DBC}=60^{\circ} অর্থাৎ, △BCD−Ω,∠CDB=∠DBC=∠DCB=60∘\triangle \mathrm{BCD}-\Omega, \angle \mathrm{CDB}=\angle \mathrm{DBC}=\angle \mathrm{DCB}=60^{\circ} ∴BC=BD=CD\therefore \quad B C=B D=C D অতএব, △BCD\triangle \mathrm{BCD} একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 8 : বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] হলে, [গণিত] কত?যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।[চিত্র] O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং [গণিত] হলে, [গণিত] কত?10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নচিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে সএকটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন