Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

PB ও PD বৃত্তের দুইটি স্পর্শক হলে প্রমাণ করো যে, PB = PD.

উত্তর: মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে B ও D বিন্দুতে PB ও PD দুইটি স্পর্শক। প্রমাণ করতে হবে যে, PB = PD. [চিত্র] অঙ্কন: O, P; O, B এবং O, D যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ-১ : যেহেতু PB স্পর্শক এবং OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। সেহেতু PB ⟂ OB । [ ∵ স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব] [গণিত] সমকোণ। অনুরূপভাবে, [গণিত] সমকোণ [গণিত] এবং [গণিত] উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ। ধাপ-২ : এখন, [গণিত] ও [গণিত] সমকোণী ত্রিভুজে, অতিভুজ OP = অতিভুজ OP [সাধারণ বাহু] OB = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] [গণিত] [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা] সুতরাং, PB = PD. (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল

PB ও PD বৃত্তের দুইটি স্পর্শক হলে প্রমাণ করো যে, PB = PD.

উদ্দীপক

question image চিত্রে, বৃত্তের কেন্দ্র O

উত্তর

[বি.দ্র.: 5 সে.মি. এর পরিবর্তে 3 সে.মি. হবে।] question image এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = r = 5 সে.মি.। বৃত্তটির A বিন্দুতে AP স্পর্শক আঁকা হলো।

উত্তর

[সমাধান দ্রষ্টব্য] মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABC+∠ADC=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}= দুই সমকোণ। এবং ∠BAD+∠BCD=\angle \mathrm{BAD}+\angle \mathrm{BCD}= দুই সমকোণ। অঙ্কন : O, A এবং O, C যোগ করি। question image প্রমাণ : ধাপ ১: একই চাপ ADC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠AOC=2\angle \mathrm{AOC}=2 (বৃত্তস্থ ∠ABC\angle \mathrm{ABC} ) [একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ, ∠AOC=2∠ABC\angle \mathrm{AOC}=2 \angle \mathrm{ABC} ধাপ ২ : আবার, একই চাপ ABC এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC=2\angle \mathrm{AOC}=2 (বৃত্তস্থ ∠ADC\angle \mathrm{ADC} ) [একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC=2∠ADC\angle \mathrm{AOC}=2 \angle \mathrm{ADC} ∴∠AOC+\therefore \quad \angle \mathrm{AOC}+ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC=2(∠ABC+∠ADC)\angle \mathrm{AOC}=2(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}) কিন্তু ∠AOC+\angle \mathrm{AOC}+ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC=4\angle \mathrm{AOC}=4 সমকোণ ∴2(∠ABC+∠ADC)=4\therefore \quad 2(\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC})=4 সমকোণ ∴∠ABC+∠ADC=2\therefore \quad \angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}=2 সমকোণ। একইভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, ∠BAD+∠BCD=2\angle \mathrm{BAD}+\angle \mathrm{BCD}=2 সমকোণ ∴∠ABC+∠ADC=2\therefore \quad \angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}=2 সমকোণ এবং ∠BAD+∠BCD=2\angle \mathrm{BAD}+\angle \mathrm{BCD}=2 সমকোণ। (প্রমাণিত)

উত্তর

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে B ও D বিন্দুতে PB ও PD দুইটি স্পর্শক। প্রমাণ করতে হবে যে, PB = PD. question image অঙ্কন: O, P; O, B এবং O, D যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ-১ : যেহেতু PB স্পর্শক এবং OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। সেহেতু PB ⟂ OB । [ ∵ স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব] ∴∠OBP=1\therefore \quad \angle \mathrm{OBP}=1 সমকোণ। অনুরূপভাবে, ∠ODP=1\angle \mathrm{ODP}=1 সমকোণ ∴△OBP\therefore \quad \triangle \mathrm{OBP} এবং △ODP\triangle \mathrm{ODP} উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ। ধাপ-২ : এখন, △OBP\triangle \mathrm{OBP} ও △ODP\triangle \mathrm{ODP} সমকোণী ত্রিভুজে, অতিভুজ OP = অতিভুজ OP [সাধারণ বাহু] OB = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] ∴△OBP≅△ODP\therefore \triangle \mathrm{OBP} \cong \triangle \mathrm{ODP} [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা] সুতরাং, PB = PD. (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 8 : বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] হলে, [গণিত] কত?যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।[চিত্র] O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং [গণিত] হলে, [গণিত] কত?10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নচিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে সএকটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন