প্রমাণ করো যে, OA রেখাংশ স্পর্শ জ্যা KM এর লম্বদ্বিখন্ডক।

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে বৃত্তে AK ও AE দুইটি স্পর্শক। K, E এবং O, A যোগ করি। KM হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। AO রেখাংশ KM জ্যাকে T বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, OA রেখাংশ KM স্পর্শ জ্যা-এর লম্বদ্বিখন্ডক। প্রমাণ : ধাপ-১: ∆ OKA এবং ∆ OMA এর মধ্যে OK = OM [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] AK = AM [বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান] এবং OA = OA [সাধারণ বাহু] ∴ ∆ OKA ≅ ∆ OMA [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] ∴ ∠KOA = ∠MOA অর্থাৎ, ∠KOT = ∠MOT ধাপ-২: এখন, ∆ OKT ও ∆ OMT-এ, OK = OM [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] OT = OT [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত ∠KOT = অন্তর্ভুক্ত ∠MOT [ধাপ (১) হতে] ∴ ∆ OKT ≅ ∆ OMT [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] KT = MT এবং ∠KTO = ∠MTO ধাপ-৩: এখন, ∠KTM = 2 সমকোণ [সরলকোণ বলে] বা, ∠KTO + ∠MTO = 2 সমকোণ বা, ∠KTO + ∠KTO = 2 সমকোণ [ধাপ (২) হতে] বা, 2∠KTO = 2 সমকোণ ∴ ∠KTO = 1 সমকোণ ∴ ∠MTO = ∠KTO = 1 সমকোণ ∴ OT ⊥ KM অর্থাৎ, OA ⊥ KM আবার, KT = MT ∴ OA, KM কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অতএব, OA রেখাংশ স্পর্শ জ্যা KM এর লম্বদ্বিখন্ডক। (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক