Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ করো যে, [গণিত] রেখা [গণিত] জ্যা এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।

উত্তর: মনে করি, [গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ [গণিত] বিন্দু হতে [গণিত] ও [গণিত] দুইটি স্পর্শক। [গণিত] হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। [গণিত] রেখাংশ স্পর্শ জ্যা [গণিত] কে [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমান করতে হবে যে, [গণিত] রেখাংশ [গণিত] জ্যা এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। [চিত্র] অঙ্কন: [গণিত] যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ-১ : [গণিত] এবং [গণিত] এর মধ্যে [গণিত] [ [গণিত] একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] [গণিত] [বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান] এবং [গণিত] [সাধারণ বাহু] [গণিত] [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] ধাপ-২ : এখন, [গণিত] ও [গণিত] -এ, [গণিত] [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] [গণিত] [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত [গণিত] অন্তর্ভুক্ত [গণিত] [ধাপ (১) হতে] [গণিত] [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] [গণিত] এবং [গণিত] ধাপ-৩: এখন, [গণিত] সমকোণ [সরণকোণ বলে] বা, [গণিত] সমকোণ বা, [গণিত] সমকোণ [ধাপ (২) হতে] বা, [গণিত] সমকোণ [গণিত] সমকোণ [গণিত] সমকোণ [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] আবার, [গণিত] কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অতএব, [গণিত] রেখাংশ [গণিত] জ্যা এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল

প্রমাণ করো যে, রেখা জ্যা এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।

উদ্দীপক

question image

Rajshahi · 2026

উত্তর

এখানে, O\mathrm{O} কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD\mathrm{ABCD} চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত। ABCD\mathrm{ABCD} চতুর্ভুজের ∠A=56∘\angle \mathrm{A} = 56^\circ এবং ∠B=115∘\angle \mathrm{B} = 115^\circ. question image আমরা জানি, বৃত্তের অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180∘180^\circ. অর্থাৎ, বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCD\mathrm{ABCD} চতুর্ভুজে ∠A+∠C=180∘\angle \mathrm{A} + \angle \mathrm{C} = 180^\circ বা, 56∘+∠C=180∘56^\circ + \angle \mathrm{C} = 180^\circ বা, ∠C=180∘−56∘\angle \mathrm{C} = 180^\circ - 56^\circ ∴∠C=124∘\therefore \angle \mathrm{C} = 124^\circ আবার, ∠B+∠D=180∘\angle \mathrm{B} + \angle \mathrm{D} = 180^\circ বা, 115∘+∠D=180∘115^\circ + \angle \mathrm{D} = 180^\circ বা, ∠D=180∘−115∘\angle \mathrm{D} = 180^\circ - 115^\circ ∴∠D=65∘\therefore \angle \mathrm{D} = 65^\circ নির্ণেয় ∠C=124∘\angle \mathrm{C} = 124^\circ এবং ∠D=65∘\angle \mathrm{D} = 65^\circ.

উত্তর

মনে করি, O\mathrm{O} কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে উপচাপ QS\mathrm{QS} এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ∠QPS\angle \mathrm{QPS} এবং কেন্দ্রস্থ কোণ ∠QOS\angle \mathrm{QOS}। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠QPS=12∠QOS\angle \mathrm{QPS} = \frac{1}{2} \angle \mathrm{QOS}। question image অঙ্কন: P\mathrm{P} বিন্দু দিয়ে কেন্দ্রগামী রেখাংশ PD\mathrm{PD} আঁকি। প্রমাণ: ধাপ ১ : △POQ\triangle \mathrm{POQ} এর বহিঃস্থ কোণ ∠QOD=∠QPO+∠PQO\angle \mathrm{QOD} = \angle \mathrm{QPO} + \angle \mathrm{PQO} [∵\because ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান] ধাপ ২ : △POQ\triangle \mathrm{POQ} এ OP=OQ\mathrm{OP} = \mathrm{OQ} [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] অতএব, ∠QPO=∠PQO\angle \mathrm{QPO} = \angle \mathrm{PQO} [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমিসংলগ্ন কোণ দুইটি সমান] ধাপ ৩ : ধাপ (১) ও (২) থেকে ∠QOD=2∠QPO\angle \mathrm{QOD} = 2\angle \mathrm{QPO} ধাপ ৪ : একইভাবে △POS\triangle \mathrm{POS} থেকে ∠SOD=2∠SPO\angle \mathrm{SOD} = 2\angle \mathrm{SPO} ধাপ ৫ : ধাপ (৩) ও (৪) থেকে ∠QOD+∠SOD=2∠QPO+2∠SPO\angle \mathrm{QOD} + \angle \mathrm{SOD} = 2\angle \mathrm{QPO} + 2\angle \mathrm{SPO} বা, ∠QOS=2∠QPS\angle \mathrm{QOS} = 2\angle \mathrm{QPS} [∵∠QOD+∠SOD=∠QOS\because \angle \mathrm{QOD} + \angle \mathrm{SOD} = \angle \mathrm{QOS}] ∴∠QPS=12∠QOS\therefore \angle \mathrm{QPS} = \frac{1}{2} \angle \mathrm{QOS}. (প্রমাণিত)

উত্তর

মনে করি, O\mathrm{O} কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ R\mathrm{R} বিন্দু হতে PR\mathrm{PR} ও QR\mathrm{QR} দুইটি স্পর্শক। PQ\mathrm{PQ} হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। OR\mathrm{OR} রেখাংশ স্পর্শ জ্যা PQ\mathrm{PQ} কে T\mathrm{T} বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমান করতে হবে যে, OR\mathrm{OR} রেখাংশ PQ\mathrm{PQ} জ্যা এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। question image অঙ্কন: O,P\mathrm{O, P} যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ-১ : △OPR\triangle \mathrm{OPR} এবং △OQR\triangle \mathrm{OQR} এর মধ্যে OP=OQ\mathrm{OP} = \mathrm{OQ} [∵\because একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] RP=RQ\mathrm{RP} = \mathrm{RQ} [বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান] এবং OR=OR\mathrm{OR} = \mathrm{OR} [সাধারণ বাহু] ∴△OPR≅△OQR\therefore \triangle \mathrm{OPR} \cong \triangle \mathrm{OQR} [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] ∴∠POR=∠QOR\therefore \angle \mathrm{POR} = \angle \mathrm{QOR} অর্থাৎ, ∠POT=∠QOT\angle \mathrm{POT} = \angle \mathrm{QOT} ধাপ-২ : এখন, △OPT\triangle \mathrm{OPT} ও △OQT\triangle \mathrm{OQT}-এ, OP=OQ\mathrm{OP} = \mathrm{OQ} [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] OT=OT\mathrm{OT} = \mathrm{OT} [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত ∠POT=\angle \mathrm{POT} = অন্তর্ভুক্ত ∠QOT\angle \mathrm{QOT} [ধাপ (১) হতে] ∴△OPT≅△OQT\therefore \triangle \mathrm{OPT} \cong \triangle \mathrm{OQT} [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] ∴PT=QT\therefore \mathrm{PT} = \mathrm{QT} এবং ∠PTO=∠QTO\angle \mathrm{PTO} = \angle \mathrm{QTO} ধাপ-৩: এখন, ∠PTQ=2\angle \mathrm{PTQ} = 2 সমকোণ [সরণকোণ বলে] বা, ∠PTO+∠QTO=2\angle \mathrm{PTO} + \angle \mathrm{QTO} = 2 সমকোণ বা, ∠PTO+∠PTO=2\angle \mathrm{PTO} + \angle \mathrm{PTO} = 2 সমকোণ [ধাপ (২) হতে] বা, 2∠PTO=22\angle \mathrm{PTO} = 2 সমকোণ ∴∠PTO=1\therefore \angle \mathrm{PTO} = 1 সমকোণ ∴∠QTO=∠PTO=1\therefore \angle \mathrm{QTO} = \angle \mathrm{PTO} = 1 সমকোণ ∴OT⊥PQ\therefore \mathrm{OT} \perp \mathrm{PQ} অর্থাৎ, OR⊥PQ\mathrm{OR} \perp \mathrm{PQ} আবার, PT=QT\mathrm{PT} = \mathrm{QT} ∴OR,PQ\therefore \mathrm{OR}, \mathrm{PQ} কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অতএব, OR\mathrm{OR} রেখাংশ PQ\mathrm{PQ} জ্যা এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 8 : বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] হলে, [গণিত] কত?যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।[চিত্র] O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং [গণিত] হলে, [গণিত] কত?10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নচিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে সএকটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন