Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ করো যে, ON সরলরেখা স্পর্শ জ্যা MS এর লম্বদ্বিখন্ডক।

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ N বিন্দু থেকে বৃত্তে MN এবং SN দুইটি সমান স্পর্শক। MS হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। ON রেখাংশ MS কে F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, ON রেখাংশ স্পর্শ জ্যা MS এর লম্ব দ্বিখণ্ডক। অঙ্কন: O, M এবং O, S যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ-১: [গণিত] OMN এবং [গণিত] OSN এর মধ্যে OM = OS [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] MN = SN [দেওয়া আছে] এবং ON = ON [সাধারণ বাহু] [গণিত] [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] ধাপ-২: এখন, [গণিত] OMF ও [গণিত] OSF-এ, OM = OS [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] OF = OF [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত [গণিত] অন্তর্ভুক্ত [গণিত] [ধাপ (১) হতে] [গণিত] [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] [গণিত] MF = SF এবং [গণিত] ধাপ-৩: কিন্তু [গণিত] সমকোণ [সরলকোণ বলে] বা, [গণিত] সমকোণ বা, [গণিত] সমকোণ [ধাপ (২) হতে] বা, [গণিত] সমকোণ [গণিত] সমকোণ [গণিত] সমকোণ [গণিত] OF [গণিত] MS অর্থাৎ, ON [গণিত] MS আবার, MF = SF [গণিত] ON, MS কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অতএব, ON রেখাংশ স্পর্শ জ্যা MS এর লম্বদ্বিখন্ডক। (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল

প্রমাণ করো যে, ON সরলরেখা স্পর্শ জ্যা MS এর লম্বদ্বিখন্ডক।

উদ্দীপক

question image চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং MN ও SN দুটি সমান স্পর্শক।

Mymensingh · 2026

উত্তর

মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ =r= \mathrm{r} একক ∴\therefore বৃত্তের ক্ষেত্রফল =πr2= \pi \mathrm{r}^2 বর্গ একক শর্তমতে, πr2=25\pi \mathrm{r}^2 = 25 বা, r2=25π\mathrm{r}^2 = \frac{25}{\pi} বা, r2=253.1416\mathrm{r}^2 = \frac{25}{3.1416} বা, r2=7.9577\mathrm{r}^2 = 7.9577 বা, r=7.9577\mathrm{r} = \sqrt{7.9577} ∴r=2.8209\therefore \mathrm{r} = 2.8209 (প্রায়) ∴\therefore বৃত্তের পরিধি =2πr= 2\pi \mathrm{r} একক =2×3.1416×2.8209= 2 \times 3.1416 \times 2.8209 সে.মি. =17.724= 17.724 সে.মি. (প্রায়) নির্ণেয় বৃত্তের পরিধি 17.724 সে.মি. (প্রায়)।

উত্তর

question image মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে KMTS চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠STM+∠SKM=2\angle \mathrm{STM} + \angle \mathrm{SKM} = 2 সমকোণ। অঙ্কন: O, M ও O, S যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ-১ : একই চাপ SKM এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠SOM=2\angle \mathrm{SOM} = 2 বৃত্তস্থ ∠STM)\angle \mathrm{STM}) [বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] অর্থাৎ ∠SOM=2∠STM\angle \mathrm{SOM} = 2\angle \mathrm{STM}। ধাপ-২ : আবার, একই চাপ STM এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ ∠SOM=2\angle \mathrm{SOM} = 2 বৃত্তস্থ ∠SKM)\angle \mathrm{SKM}) অর্থাৎ, প্রবৃদ্ধ ∠SOM=2∠SKM\angle \mathrm{SOM} = 2\angle \mathrm{SKM} [বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] কিন্তু, ∠SOM+\angle \mathrm{SOM} + প্রবৃদ্ধ ∠SOM=360∘\angle \mathrm{SOM} = 360^{\circ} বা, 2∠STM+2∠SKM=360∘2\angle \mathrm{STM} + 2\angle \mathrm{SKM} = 360^{\circ} বা, 2(∠STM+∠SKM)=360∘2(\angle \mathrm{STM} + \angle \mathrm{SKM}) = 360^{\circ} বা, ∠STM+∠SKM=360∘2=180∘\angle \mathrm{STM} + \angle \mathrm{SKM} = \frac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ} ∴∠STM+∠SKM=2\therefore \angle \mathrm{STM} + \angle \mathrm{SKM} = 2 সমকোণ। (প্রমাণিত)

উত্তর

question image মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ N বিন্দু থেকে বৃত্তে MN এবং SN দুইটি সমান স্পর্শক। MS হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। ON রেখাংশ MS কে F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, ON রেখাংশ স্পর্শ জ্যা MS এর লম্ব দ্বিখণ্ডক। অঙ্কন: O, M এবং O, S যোগ করি। প্রমাণ: ধাপ-১: △\triangleOMN এবং △\triangleOSN এর মধ্যে OM = OS [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] MN = SN [দেওয়া আছে] এবং ON = ON [সাধারণ বাহু] ∴△OMN≅△OSN\therefore \triangle \mathrm{OMN} \cong \triangle \mathrm{OSN} [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] ∴∠MON=∠SON\therefore \angle \mathrm{MON} = \angle \mathrm{SON} অর্থাৎ, ∠MOF=∠SOF\angle \mathrm{MOF} = \angle \mathrm{SOF} ধাপ-২: এখন, △\triangle OMF ও △\triangle OSF-এ, OM = OS [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] OF = OF [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত ∠MOF=\angle \mathrm{MOF} = অন্তর্ভুক্ত ∠SOF\angle \mathrm{SOF} [ধাপ (১) হতে] ∴△OMF≅△OSF\therefore \triangle \mathrm{OMF} \cong \triangle \mathrm{OSF} [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] ∴\therefore MF = SF এবং ∠MFO=∠SFO\angle \mathrm{MFO} = \angle \mathrm{SFO} ধাপ-৩: কিন্তু ∠MFS=2\angle \mathrm{MFS} = 2 সমকোণ [সরলকোণ বলে] বা, ∠MFO+∠SFO=2\angle \mathrm{MFO} + \angle \mathrm{SFO} = 2 সমকোণ বা, ∠MFO+∠MFO=2\angle \mathrm{MFO} + \angle \mathrm{MFO} = 2 সমকোণ [ধাপ (২) হতে] বা, 2∠MFO=22\angle \mathrm{MFO} = 2 সমকোণ ∴∠MFO=1\therefore \angle \mathrm{MFO} = 1 সমকোণ ∴∠SFO=∠MFO=1\therefore \angle \mathrm{SFO} = \angle \mathrm{MFO} = 1 সমকোণ ∴\therefore OF ⊥\perp MS অর্থাৎ, ON ⊥\perp MS আবার, MF = SF ∴\therefore ON, MS কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অতএব, ON রেখাংশ স্পর্শ জ্যা MS এর লম্বদ্বিখন্ডক। (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 8 : বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] হলে, [গণিত] কত?যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।[চিত্র] O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং [গণিত] হলে, [গণিত] কত?10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নচিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে সএকটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন