Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, M, N, S, T বিন্দু চারটি সমবৃত্ত ।

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, MNST চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক অর্থাৎ [গণিত] দুই সমকোণ এবং [গণিত] দুই সমকোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, M, N, S ও T বিন্দু চারটি সমবৃত্ত । অঙ্কন : যেহেতু M, N, S বিন্দু তিনটি সমরেখ নয়। সুতরাং, বিন্দু তিনটি দিয়ে যায় এরূপ একটি ও কেবল একটি বৃত্ত আছে। মনে করি, বৃত্তটি MT রেখাংশকে Z বিন্দুতে ছেদ করে। S, Z যোগ করি,। প্রমাণ : ধাপ ১ : অঙ্কন অনুসারে MNSZ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। সুতরাং [গণিত] দুই সমকোণ [গণিত] বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ] ধাপ ২ : কিন্তু [গণিত] দুই সমকোণ [দেওয়া আছে] [গণিত] কিন্তু তা অসম্ভব। কারণ [গণিত] এর বহিঃস্থ [গণিত] বিপরীত অন্তঃস্থ [গণিত] সুতরাং Z এবং T বিন্দুদ্ধয় ভিন্ন হতে পারে না। Z বিন্দু অবশ্যই T বিন্দুর সাথে মিলে যাবে। অতএব M, N, S ও T বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)

SSC গণিত Chapter 8 : বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · গণিত · Chapter 8 : বৃত্ত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, M, N, S, T বিন্দু চারটি সমবৃত্ত ।

উদ্দীপক

(i) O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AK ও BP দুইটি সমান জ্যা এবং OL⊥AK\mathrm{OL} \perp \mathrm{AK} ও OS⊥BP\mathrm{OS} \perp \mathrm{BP}. (ii) MNST চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক।

Jessore · 2025

উত্তর

বিশেষ নির্বচনঃ মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC একটি বৃত্ত। AB তার ব্যাস এবং CD ব্যাস ভিন্ন যে কোন একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, AB > CD. অঙ্কনঃ O, C এবং O, D যোগ করি। প্রমাণঃ OA = OB = OC = OD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] আমরা জানি, ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। এখন, ΔOCD-এ OC + OD > CD বা, OA + OB > CD [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে, OC = OA = OB = OD] অর্থাৎ AB > CD অর্থাৎ AB ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমানিত) question image

উত্তর

question image মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AK ও BP দুইটি সমান জ্যা। OL ⊥AK\perp \mathrm{AK} এবং OS⊥BP\mathrm{OS} \perp \mathrm{BP}. প্রমাণ করতে হবে যে, OL=OS\mathrm{OL}=\mathrm{OS}. অঙ্কন : O, A এবং O, B যোগ করি। প্রমাণ : ধাপ-১ : OL ⊥AK\perp \mathrm{AK} এবং OS ⊥BP\perp \mathrm{BP}. সুতরাং AL=KLA L=K L এবং BS=PSB S=P S [ ∵\because বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] ∴AL=12AK\therefore \quad \mathrm{AL}=\frac{1}{2} \mathrm{AK}এবং BS=12BP\mathrm{BS}=\frac{1}{2}\mathrm{BP} ধাপ-২ : কিন্তু AK=BPAK = BP [দেওয়া আছে] ∴AL=BS\therefore \quad \mathrm{AL}=\mathrm{BS} ধাপ-৩ : এখন, △OAL\triangle \mathrm{OAL} এবং △OBS\triangle \mathrm{OBS} সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে অতিভুজ OA = অতিভুজ OB [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] এবং AL = BS [ধাপ (২) হতে] ∴△OAL≅△OBS\therefore \triangle \mathrm{OAL} \cong \triangle \mathrm{OBS} [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য] ∴\therefore \quad OL == OS. (প্রমাণিত)

উত্তর

question image মনে করি, MNST চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক অর্থাৎ ∠MNS+∠MTS=\angle \mathrm{MNS}+\angle \mathrm{MTS}= দুই সমকোণ এবং ∠NMT+∠NST=\angle \mathrm{NMT}+\angle \mathrm{NST}= দুই সমকোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, M, N, S ও T বিন্দু চারটি সমবৃত্ত । অঙ্কন : যেহেতু M, N, S বিন্দু তিনটি সমরেখ নয়। সুতরাং, বিন্দু তিনটি দিয়ে যায় এরূপ একটি ও কেবল একটি বৃত্ত আছে। মনে করি, বৃত্তটি MT রেখাংশকে Z বিন্দুতে ছেদ করে। S, Z যোগ করি,। প্রমাণ : ধাপ ১ : অঙ্কন অনুসারে MNSZ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। সুতরাং ∠MNS+∠MZS=\angle \mathrm{MNS}+\angle \mathrm{MZS}= দুই সমকোণ [∵[\because বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ] ধাপ ২ : কিন্তু ∠MNS+∠MTS=\angle \mathrm{MNS}+\angle \mathrm{MTS}= দুই সমকোণ [দেওয়া আছে] ∴∠MZS=∠MTS\therefore \angle \mathrm{MZS}=\angle \mathrm{MTS} কিন্তু তা অসম্ভব। কারণ △SZT\triangle \mathrm{SZT} এর বহিঃস্থ ∠MZS>\angle \mathrm{MZS}> বিপরীত অন্তঃস্থ ∠ZTS\angle \mathrm{ZTS} সুতরাং Z এবং T বিন্দুদ্ধয় ভিন্ন হতে পারে না। Z বিন্দু অবশ্যই T বিন্দুর সাথে মিলে যাবে। অতএব M, N, S ও T বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)
SSCগণিতChapter 8 : বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

question image চিত্রে, ∠ABC+∠BAD\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BAD} এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

question image চিত্রে, ∠x=55∘\angle \mathrm{x}=55^{\circ} হলে, ∠y=\angle \mathrm{y}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

question image O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং ∠PAB=70∘\angle \mathrm{PAB}=70^{\circ} হলে, ∠AOB=\angle \mathrm{AOB}= কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি ∠AOB=120∘\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ} হয়, তবে ∠APB\angle \mathrm{APB} এর মান নির্ণয় করো। question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

একটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA = 5 সে.মি. হলে, PA এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।[চিত্র] চিত্রে, [গণিত] হলে, [গণিত] কত?যেকোনো বিন্দু হতে 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকো।[চিত্র] O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক এবং [গণিত] হলে, [গণিত] কত?10 সে. মি. ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 3 সে. মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নচিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে সএকটি বৃত্তচাপের কেন্দ্র নির্ণয় করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সে.মি. হলে, এর বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PA স্পর্শক। OP = 13 সে.মি. এবং OA 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 5 সে.মি. দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন